河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）试题（含答案）

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1、新乡市高三第一次模拟考试数学新乡市高三第一次模拟考试数学试卷试卷（理科）（理科） 第第 I 卷卷 一、选择题一、选择题 1. 复数1 i 3iz ，则z （ ） A. 4 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 【答案】B 2. 已知集合 2 ,2,0Aa a，2 , a Bab ，若 1AB ，则b（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 1 【答案】B 3. 椭圆C： 22 2 1(0) 3 xy a a 的焦点在x轴上，其离心率为 1 2 ，则（ ） A. 椭圆C的短轴长为3 B. 椭圆C的长轴长为 4 C. 椭圆C的焦距为 4 D. 4a 【答案】B 4. 下方程序框图的算法思路来源于

2、我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图， 若输入a，b，i的值分别为 6，9，0，则输出a和i的值分别为（ ） A. 0，3 B. 3，3 C. 0，4 D. 3，4 【答案】B 5. 已知a，b是两条不重合的直线，是一个平面且b ，则“a”是“a b rr ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 6. 已知 n S为等差数列 n a的前n项和， 35 18aS ， 63 aa ，则下列数值中最大的是（ ） A. 4 16 S B. 5 25 S C. 6 36 S D. 7 49 S 【答案】D 7.

3、已知函数 2 2lnf xxx，若 f x在区间2 ,1m m上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. 1 ,1 4 B. 1 , 4 C. 1 ,1 2 D. 0,1 【答案】A 8. 已知单位圆上第一象限内一点P沿圆周逆时针旋转 4 到点Q， 若点Q横坐标为 3 5 -， 则点P的横坐标 为（ ） A. 2 5 B. 2 2 5 C. 2 10 D. 7 3 10 【答案】C 9. 已知各项均为正数且单调递减等比数列 n a满足 3 a， 4 3 2 a， 5 2a成等差数列其前n项和为 n S，且 5 31S ，则（ ） A. 4 1 2 n n a B. 3 2n n a C. 5 1

4、 32 2 n n S D. 4 216 n n S 【答案】C 10. 已知函数( ) sinf xx ，函数 g x的图象可以由函数 f x的图象先向右平移 6 个单位长度，再将所 得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 (0) 得到若函数 g x在0,上恰有 5个零点， 则是（ ） A. 31 37 , 66 B. 31 37 , 66 C. 25 31 , 66 D. 25 31 , 66 【答案】D 11. 如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 3，点H在棱 1 AA上，且 1 1HA ，P是侧面 11 BCC B内 一动点，13HP ，则CP的最小值为（

5、） A. 132 B. 133 C. 152 D. 153 【答案】A 12. 已知 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点， 点P在双曲线右支上且不与顶点重合， 过 2 F作 12 FPF的角平分线的垂线，垂足为A若 1 5F Ab，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. 1, 2 B. 3 2, 2 C. 2, 3 D. 3 , 3 2 【答案】B 第第卷卷 二、填空题二、填空题 13. 已知函数 f x是定义域在R上的奇函数，当 ,0 x 时，( )2xf xxm，则 1f_ 【答案】 1 2 14. 已知实数x，y满足条件 20 22

6、0 230 xy xy xy ，则22zxy的最大值为_ 【答案】 22 5 15. 一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒 末到达点2,6P的跳法共有_种 【答案】1200 16. 伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域 增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要某景区的部分道路如图所示，30mAB， 40 2mBC ，50mCD，45ABCBCD，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD _m 【答案】40 2 三、解答题三、解答题 （一）必考题（一）必考题 17. 在ABC中

7、，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， sin3sinbAB， 222 bcabc （1）求ABC外接圆的面积； （2）若BC边上的中线长为 3 3 2 ，求ABC的周长 【答案】 （1）3； （2）9. 18. 如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且 24ABAD，60DAB， 1 ADDD （1）证明： 1 ADBD （2）若 11 2D DD B，求四棱柱 1 ABCB的正弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 7 7 . 19. 已知曲线C上每一点到直线l： 3 2 x 的距离比它到点 1 ,0 2 F 的距离大 1 （

8、1）求曲线C的方程； （2）若曲线C上存在不同两点P和Q关于直线l：20 xy对称，求线段PQ中点的坐标 【答案】 （1） 2 2yx； （2）1, 1 20. 甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往 20次的测试分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图 已知甲测试成绩的中位数为 75 （1）求x，y的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中 点值代替） （2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设 计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题例如，若甲首先答题，则他答 第 1题，若答对继续

9、答第 2 题，如果第 2 题也答对，继续答第 3 题，直到他答错则换成乙开始答题， 直到乙答错再换成甲答题依次类推两人共计答完 21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出已知甲、乙 两人答对其中每道题的概率都是 3 5 ，假设由以往 20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作 答，且记第n道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为121 n Pn，其中 1 1P 求 2 P， 3 P； 求证 1 2 n P 为等比数列，并求121 n Pn的表达式 【答案】 （1）0.025x0.02y ，甲 74.5，乙 73.5； （2） 2 3 5 P ， 3 13 25 P ；证明见解析，

10、1 11 121 22 5 n n Pn . 21. 已知函数( )ln()e a f xxax （aR，且0a，e为自然对数的底） （1）求函数 f x的单调区间 （2）若函数 ln ( )( ) e a g xf x在0,有零点，证明： 121 1eeaa 【答案】 （1）当0a时，增区间为 1 , ea ，减区间为 1 0, ea 当0a 时，增区间为 1 , ea ，减 区间为 1 ,0 ea ； （2）证明见解析. （二）选考题（二）选考题 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22. 数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C：sin3（R， 0,2）被称为“三 叶玫瑰线”（如图所示） （1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标； （2）射线 1 l， 2 l的极坐标方程分别为 0 ， 0 2 （ 0 0,2，0） ， 1 l， 2 l分别交曲线C于 点M，N两点，求22 11 OMON 的最小值 【答案】 （1）1, 6 A ， 5 1, 6 B ， 3 1, 2 C ； （2）4. 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23. 已知函数( ) 5f xxa （1）证明 5f xxa； （2）已知0a，若不等式 210f xx的解集为,m n，且 4 3 nm，求a的值 【答案】 （1）证明见解析； （2）3a .