2020-2021学年福建省福州市鼓楼区二校联考九年级上10月份月考数学试卷（含答案解析）

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1、20202020- -20212021 学年福州市鼓楼区二校联考九年级上月考数学试卷（学年福州市鼓楼区二校联考九年级上月考数学试卷（1010 月份）月份） 一、选择题 1（3 分）已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A该函数的图象分布在第一、三象限 B点（4，3）在函数图象上 Cy随x的增大而增大 D若点（2，y1）和（1，y2）在该函数图象上，则y1y2 2（3 分）关于二次函数y（x+1） 2，下列说法正确的是（ ） A当x1 时，y值随x值的增大而增大 B当x1 时，y值随x值的增大而减小 C当x1 时，y值随x值的增大而增大 D当x1 时，y值随x值的增大而减小 3（3 分）已知

2、O的直径为 10，点P到点O的距离大于 8，那么点P的位置（ ） A一定在O的内部 B一定在O的外部 C一定在O上 D不能确定 4（3 分）函数y与ykx 2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 5（3 分）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩 形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形已知点P是抛物 线yx 2+k 上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为 16，则k的值可以是（ ） A16 B4 C12 D18 6 （3 分）二次函数yax 2+bx+c（a、b、c 是常数，且a0）的图象

3、如图所示，下列结论错误的是（ ） Aa0 Bb0 Cc0 Dab 7（3 分）如图，已知BC是O的直径，半径OABC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与 OA交于点E设AED，AOD，则（ ） A3+180 B2+180 C390 D290 8（3 分）如图，已知正方形ABCD的边长为 4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD 向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ） A22 B2 C31 D2 9（3 分）如图，在O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与O相切于点C，圆周上有一点 D与点C分居直径AB两侧，且使得M

4、CMDAC，连接AD现有下列结论： MD与O相切；四边形ACMD是菱形；ABMO；ADM120 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 10（3 分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数在第一象限经过ABO的顶点 A， 且点B在x轴上， 过点B作x轴的垂线交反比例函数图象于点C， 连结OC交AB于点D， 已知， ，则k的值为（ ） A6 B8 C D 二、填空题 11（3 分）关于x的函数y（m2）x |m|4 是二次函数，则 m 12（3 分）如图，直线yx+1 与抛物线yx 24x+5 交于 A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当PAB 的周长最小时，SP

5、AB 13（3 分）下列说法中正确的序号是 在函数yx 2中，当 x0 时，y有最大值 0； 在函数y2x 2中，当 x0 时，y随x的增大而增大； 抛物线y2x 2，yx2，y 中，抛物线y2x 2的开口最小，抛物线 yx 2的开口最大； 不论a是正数还是负数，抛物线yax 2的顶点都是坐标原点 14 （3 分） 分别以矩形OABC的边OA，OC所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 点B的坐标是 （4， 2），将矩形OABC折叠使点B落在G（3，0）上，折痕为EF，若反比例函数的图象恰好经过点E， 则k的值为 15（3 分）如图，在O中，AB是O的直径，AB10，点E是点D关于AB的对

6、称点，M 是AB上的一动点，下列结论：BOE60；CEDDOB；DMCE；CM+DM的最小值是 10， 上述结论中正确的个数是 16（3 分）如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，ABy轴于点B，点C在x轴正半轴上， 且OC2AB， 点E在线段AC上， 且AE3EC， 点D为OB的中点， 若ADE的面积为， 则k的值为 三、解答题 17（8 分）解方程： （1）x 24x10（配方法）； （2）3x（x1）22x 18（8 分）已知关于x的方程x 2（3k+3）x+2k2+4k+20 （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，

7、且x1x2+2x1+2x236，求k值及该菱形的 面积 19（8 分）如图，已知AB是O的弦，半径OA2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x 24x+a 0 的两个实数根 （1）求弦AB的长度； （2）计算SAOB； （3）O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当SPOASAOB时，求P点所经过的弧长（不 考虑点P与点B重合的情形） 20（8 分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点O作ODAB，交BC的延长线于D，交AC于点 E，F是DE的中点，连接CF （1）求证：CF是O的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC 21（8 分）如图，AB是O的直径，射线AM经过O上的点

8、E，弦AC平分MAB，过点C作CDAM，垂 足为D （1）请用尺规作图将图形补充完整，不写作法，保留痕迹，并证明：CD是O的切线； （2）若AB8，CD2，求弦AE的长 22（10 分）某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情 况进行了调查 调查发现这种水产品的每千克售价y1（元） 与销售月份x（月） 满足关系式+36， 而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示： （1）试确定b、c的值； （2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式； （3）几月份出售这种水产品每千克利润最大？最大利润是多少？ 23

9、（10 分）如图，反比例函数y（x0）过点A（4，3），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C 作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B （1）求k的值与B点的坐标； （2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的 所有D点的坐标 24（12 分）如图，在O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，NPB45 （1）若AP2，BP6，求MN的长； （2）若MP3，NP5，求AB的长； （3）当P在AB上运动时（NPB45不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值； 若变化，请求出其范围 25 （14 分）已知点（4，0）、 （2，3）为二

10、次函数图象抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线x2 （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点M（m，1），点A、B为抛物线上不重合的两点（B 在A的左侧），且直线MA与抛物线仅有一个公共点 如图 1，当点M在y轴上时，过点A、B分别作APy轴于点P，BQx轴于点Q若APM与BQO相 似，求直线AB的解析式； 如图 2，当直线MB与抛物线也只有一个公共点时，记A、B两点的横坐标分别为a、b当点M在y轴 上时，直接写出的值为 ；当点M不在y轴上时，求证：为一个定值，并求出这个 值 参考答案参考答案 一、选择题 1（3 分）已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A该

11、函数的图象分布在第一、三象限 B点（4，3）在函数图象上 Cy随x的增大而增大 D若点（2，y1）和（1，y2）在该函数图象上，则y1y2 解：A、k60，函数的图象在第二、四象限，故说法错误； B、因为3（4）126，所以点（4，3）不在函数图象上，故说法错误 C、k60，在每个象限内，y随着x的增大而增大，故说法错误； D、k60，在每个象限内，y随着x的增大而增大，因为210，则y1y2，故说法正确； 故选：D 2（3 分）关于二次函数y（x+1） 2，下列说法正确的是（ ） A当x1 时，y值随x值的增大而增大 B当x1 时，y值随x值的增大而减小 C当x1 时，y值随x值的增大而增大

12、 D当x1 时，y值随x值的增大而减小 【解答】解；如图，由图象可得：当x1 时，y值随x值的增大先减少后增大，故A错误； 当x1 时，y值随x值的增大先减少后增大，故B错误； 当x1 时，y值随x值的增大而减少，故C错误； 当x1 时，y值随x值的增大而减小，故D正确； 故选：D 3（3 分）已知O的直径为 10，点P到点O的距离大于 8，那么点P的位置（ ） A一定在O的内部 B一定在O的外部 C一定在O上 D不能确定 解：r105， d8r， 点P一定在O的外部 故选：B 4（3 分）函数y与ykx 2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 解：A、由双曲线的两

13、支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故A错误 B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴 的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故B错误； C、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴 的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故C错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴 的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故D正确； 故选：D 5（3 分）定义

14、：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩 形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形已知点P是抛物 线yx 2+k 上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为 16，则k的值可以是（ ） A16 B4 C12 D18 解：点P（m，n）是抛物线yx 2+k 上的点， nm 2+k， knm 2， 点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为 16， 2|m|+2|n|mn|16， |m|4，|n|4， 当n0 时，knm 241612； 当n0 时，knm 241620； 故选：C 6 （3 分）二次函数yax 2+bx+c（a

15、、b、c 是常数，且a0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） Aa0 Bb0 Cc0 Dab 解：开口向下，且对称轴位于y轴左侧、抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴， a0、b0，c0， 故此选项A、B、C正确； 当x1 时，yab+c0， ab+cc， ab0，即ab，故选项D错误； 故选：D 7（3 分）如图，已知BC是O的直径，半径OABC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与 OA交于点E设AED，AOD，则（ ） A3+180 B2+180 C390 D290 解：OABC， AOBAOC90， DBC90BEO90AED90， COD2DBC1802， AOD+COD

16、90， +180290， 290， 故选：D 8（3 分）如图，已知正方形ABCD的边长为 4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD 向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（ ） A22 B2 C31 D2 解：由题意得：BMCN， 四边形ABCD是正方形， ABMBCN90，ABBC4， 在ABM和BCN中，ABBC，ABMBCN，MBCN， ABMBCN（SAS）， BAMCBN， ABP+CBN90， ABP+BAM90， APB90， 点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P

17、，此时PC最小， AB4， OPOB2， 由勾股定理得：OC2， PCOCOP22； 故选：A 9（3 分）如图，在O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与O相切于点C，圆周上有一点 D与点C分居直径AB两侧，且使得MCMDAC，连接AD现有下列结论： MD与O相切；四边形ACMD是菱形；ABMO；ADM120 其中正确的结论有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 解：连接OC，OD， OCOD，CMDM，OMOM， CMODMO（SSS）， ODMOCM， MC与O相切于点C， OCM90， ODM90， MD与O相切；故正确； CMODMO， COMDOM， AOCAO

18、D， OAOA， AOCAOD（SAS）， ACAD， ACADCMDM， 四边形ACMD是菱形，故正确； ACCM， CAMCMA， COM2CAM， COM2CMO， CMO30， OCOM， OCAB， ABOM，故正确； 四边形ACMD是菱形， DAMDMAAMCCAM30， ADM120，故正确； 故选：A 10（3 分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数在第一象限经过ABO的顶点 A， 且点B在x轴上， 过点B作x轴的垂线交反比例函数图象于点C， 连结OC交AB于点D， 已知， ，则k的值为（ ） A6 B8 C D 解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点，

19、AFBC， AEDBCD， ， ， 设，则AFtBC， ， 又OFAFOBBC， ， 又EFBC， OEFOCB ， ， 解得t12，t2（舍去）， AF2BC，OB2OF， 又， ， OA3OF， 在 RtAOF中，勾股定理可得AF， ， 在 RtOBC中，OB 2+BC2OC2， ， 解得OF或（舍去）， AF4， kOFAF， 故选：C 二、填空题 11（3 分）关于x的函数y（m2）x |m|4 是二次函数，则 m 2 解：由题意得：|m|2，且m20， 解得：m2， 故答案为：2 12（3 分）如图，直线yx+1 与抛物线yx 24x+5 交于 A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当

20、PAB 的周长最小时，SPAB 解：， 解得，或， 点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5）， AB3， 作点A关于y轴的对称点A，连接AB与y轴的交于P，则此时PAB的周长最小， 点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5）， 设直线AB的函数解析式为ykx+b， ，得， 直线AB的函数解析式为yx+， 当x0 时，y， 即点P的坐标为（0，）， 将x0 代入直线yx+1 中，得y1， 直线yx+1 与y轴的夹角是 45， 点P到直线AB的距离是：（1）sin45， PAB的面积是：， 故答案为： 13（3 分）下列说法中正确的序号是 在函数yx 2中，当 x0 时，y有最大值 0；

21、 在函数y2x 2中，当 x0 时，y随x的增大而增大； 抛物线y2x 2，yx2，y 中，抛物线y2x 2的开口最小，抛物线 yx 2的开口最大； 不论a是正数还是负数，抛物线yax 2的顶点都是坐标原点 解：由函数的解析式yx 2，可知 a10，得到函数的开口向下，有最大值y0，故正确； 由函数的解析式y2x 2，可知其对称轴为 y轴，对称轴的左边（x0），y随x增大而减小，对称轴的 右边（x0），y随x增大而增大，故正确； 根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且|a|越大开口越小，可知抛物线y 2x 2的开口最小，抛物线 yx 2的开口第二小，而 y开口最大，故不正

22、确； 不论a是正数还是负数，抛物线yax 2的顶点都是坐标原点，故正确 综上，正确的结论是： 故答案为： 14 （3 分） 分别以矩形OABC的边OA，OC所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 点B的坐标是 （4， 2），将矩形OABC折叠使点B落在G（3，0）上，折痕为EF，若反比例函数的图象恰好经过点E， 则k的值为 3 解：过G作GDBC于D，则点D（3，2）， 设CE的长为a， 根据折叠的性质知：EGBE4a，ED3a， 在 RtEGD中，EG 2ED2+DG2， （4a） 2（3a）2+22， 解得：， 点E的坐标为（，2）， 反比例函数的图象恰好经过点E， ， 故答案为：3

23、15（3 分）如图，在O中，AB是O的直径，AB10，点E是点D关于AB的对称点，M 是AB上的一动点，下列结论：BOE60；CEDDOB；DMCE；CM+DM的最小值是 10， 上述结论中正确的个数是 3 解：，点E是点D关于AB的对称点， ， DOBBOECOD18060，正确； CEDCOD30DOB，正确； 的度数是 60， 的度数是 120， 只有当M和A重合时，MDE60， CED30， 只有M和A重合时，DMCE，错误； 做C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长， 连接CD， ，并且弧的度数都是 60， D12060，C

24、FD30， FCD180603090， DF是O的直径， 即DFAB10， CM+DM的最小值是 10，正确； 综上所述，正确的个数是 3 个 故答案是：3 16（3 分）如图，点A在双曲线y的第一象限的那一支上，ABy轴于点B，点C在x轴正半轴上， 且OC2AB， 点E在线段AC上， 且AE3EC， 点D为OB的中点， 若ADE的面积为， 则k的值为 解：连CD，如图， AE3EC，ADE的面积为， CDE的面积为， ADC的面积为 2， 设A点坐标为（a，b），则ABa，OC2AB2a， 点D为OB的中点， BDODb， S梯形OBACSABD+SADC+SODC， （a+2a）bab+2

25、+2ab， ab， 把A（a，b）代入双曲线y得， kab 故答案为： 三、解答题 17（8 分）解方程： （1）x 24x10（配方法）； （2）3x（x1）22x 解：（1）x 24x1， x 24x+41+4，即（x2）25， x2， x12+，x22； （2）3x（x1）2（x1）， 3x（x1）+2（x1）0， 则（x1）（3x+2）0， x10 或 3x+20， 解得x11，x2 18（8 分）已知关于x的方程x 2（3k+3）x+2k2+4k+20 （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2

26、36，求k值及该菱形的 面积 【解答】（1）证明：根据题意得：（3k+3） 24（2k2+4k+2）（k+1）2 无论k为何值，总有（k+1） 20， 无论k为何值，原方程都有实数根； （2）关于x的方程x 2（3k+3）x+2k2+4k+20 的两实数根是 x1、x2， x1+x23k+3，x1x22k 2+4k+2， 由x1x2+2x1+2x236，得 2k 2+4k+2+2（3k+3）36， 整理，得（k+7）（k2）0 解得k17（舍去），k22 x1x22（k+1） 2（2+1）29 即菱形的面积是 9 19（8 分）如图，已知AB是O的弦，半径OA2，OA和AB的长度是关于x的一元

27、二次方程x 24x+a 0 的两个实数根 （1）求弦AB的长度； （2）计算SAOB； （3）O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当SPOASAOB时，求P点所经过的弧长（不 考虑点P与点B重合的情形） 解：（1）由题意知：OA和AB的长度是x 24x+a0 的两个实数根， OA+AB4， OA2， AB2； （2）过点C作OCAB于点C， OAABOB2， AOB是等边三角形， ACAB1 在 RtACO中， 由勾股定理可得：OC SAOBABOC2 （3）延长AO交O于点D， 由于AOB与POA有公共边OA， 当SPOASAOB时， AOB与POA高相等， 由（2）可知：等边AO

28、B的高为， 点P到直线OA的距离为，这样点共有 3 个 过点B作BP1OA交O于点P1， BOP160， 此时点P经过的弧长为：， 作点P2，使得P1与P2关于直线OA对称， P2OD60， 此时点P经过的弧长为：， 作点P3，使得B与P3关于直线OA对称， P3OP260， 此时P经过的弧长为：， 综上所述：当SPOASAOB时，P点所经过的弧长分别是、 20（8 分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点O作ODAB，交BC的延长线于D，交AC于点 E，F是DE的中点，连接CF （1）求证：CF是O的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC 【解答】（1）证明：AB是O的直径， ACBA

29、CD90， 点F是ED的中点， CFEFDF， AEOFECFCE， OAOC， OCAOAC， ODAB， OAC+AEO90， OCA+FCE90，即OCFC， CF与O相切； （2）解：连接AD，ODAB，ACBD， AOEACD90， AEODEC， OAECDE22.5， AOBO， ADBD， ADOBDO22.5， ADB45， CADADC45， ACCD 21（8 分）如图，AB是O的直径，射线AM经过O上的点E，弦AC平分MAB，过点C作CDAM，垂 足为D （1）请用尺规作图将图形补充完整，不写作法，保留痕迹，并证明：CD是O的切线； （2）若AB8，CD2，求弦AE的长

30、 【解答】（1）作图如图 1 所示： 证明：连接OC，则OAOC， OACOCA AC平分MAB， OACMAC OCAMAC， AMOC， CDAM，垂足为D， CDM90 OCDCDM90， OCCD， CD是O的切线； （2）解：作OFAM，垂足为F， 则AFEF，四边形OCDF是矩形， ， 在 RtAOF中，AF 2+OF2OA2 ， AE2AF4 22（10 分）某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情 况进行了调查 调查发现这种水产品的每千克售价y1（元） 与销售月份x（月） 满足关系式+36， 而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足

31、的函数关系如图所示： （1）试确定b、c的值； （2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式； （3）几月份出售这种水产品每千克利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）根据图象，将（3，25）和（4，24）分别代入解析式得：， 解得：，； （2）由题意得：yy1y2， y（x+36）（x 2 +）x 2+ x+； （3）将yx 2+ x+化为顶点式得：， ， 抛物线开口向下， 当x6 时，二次函数取得最大值，此时y11， 所以 6 月份出售这种水产品每千克利润最大，最大利润是每千克 11 元 23（10 分）如图，反比例函数y（x0）过点A（4，3），直线AC与x轴

32、交于点C（6，0），过点C 作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B （1）求k的值与B点的坐标； （2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试直接写出符合条件的 所有D点的坐标 解：（1）把A（4，3）代入y得：k12， 当x6 时，y1262， 点 B（6，2）， 答：k的值为 12，点B的坐标为（6，2） （2）A（4，3），B（6，2）、C（6，0），BC2， 过A作BC的平行线，在这条平行线上截取AD1BC，AD2BC， 此时D1（4，1），D2（4，5）， 过点C作AB的平行线与过B作AC的平行线相交于D3， 过点A作AMBC，垂足为M，过D3作D3N

33、BC，垂足为N， ABCD3是平行四边形， ACBD3，ACMDBN， ACMD3BN （AAS） D3NAM642，CMBN3， D3的横坐标为 6+28，CN321 D3（8，1） 答：符合条件的所有D点的坐标为（4，1），（4，5），（8，1） 24（12 分）如图，在O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，NPB45 （1）若AP2，BP6，求MN的长； （2）若MP3，NP5，求AB的长； （3）当P在AB上运动时（NPB45不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值； 若变化，请求出其范围 解：（1）作OHMN于H，连接ON， AP2，BP6， AB8， OA4，OP2

34、， 在 RtPOH中，OPH45， OHOP， 在 RtOHN中，ON4，OH， NH， OHMN， HMHN， MN2NH2； （2）作OHMN于H，连接ON， 则HMHN， MP3，NP5， MN8， HMHN4， PH1， 在 RtPOH中，OPH45， OH1， 在 RtOHN中，HN4，OH1， ON， AB2ON2； （3）的值不发生变化，为定值， 作OHMN于H，连接ON， 则HMHN， 设圆的半径为R， 在 RtOHN中，OH 2+NH2ON2R2， 在 RtPOH中，OPH45， OHPH， PH 2+NH2R2， PM 2+PN2（HMPH）2+（NH+PH）2 （NHPH

35、） 2+（NH+PH）2 2（PH 2+NH2） 2R 2 又AB 24R2， 的值不发生变化，为定值 25 （14 分）已知点（4，0）、 （2，3）为二次函数图象抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线x2 （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点M（m，1），点A、B为抛物线上不重合的两点（B 在A的左侧），且直线MA与抛物线仅有一个公共点 如图 1，当点M在y轴上时，过点A、B分别作APy轴于点P，BQx轴于点Q若APM与BQO相 似，求直线AB的解析式； 如图 2，当直线MB与抛物线也只有一个公共点时，记A、B两点的横坐标分别为a、b当点M在y轴 上时， 直

36、接写出的值为 1 ； 当点M不在y轴上时， 求证：为一个定值， 并求出这个值 解：（1）设yax 2+bx+c（a0），由题意得 ，解得， 抛物线解析式； （2）M（0，1），平移后抛物线， 设MA：ykx1， 则联立， 整理得：， 则k 210， k1， 又由图，A在y轴右侧， 故k1，A（2，1）， APPM2，APM为等腰直角三角形， 又APM与BQO相似， BQO为等腰直角三角形， 设B（x，x），代入抛物线解析式得：， 解得x4 或x0（舍去）， B（4，4）， 设AB：ymx+n，把A（2，1），B（4，4）代入得：，解得：， AB解析式为：； （i）关于y轴对称，M在y轴上，且MA，MB与抛物线只有一个交点， A、B两点关于y轴对称， ab， 1， 故答案是：1； （ii）设MA：yk1xk1m1， 则联立，整理得：x 24k 1x+4k1m+40， 此方程仅一个根， 故， 且， 同理设MB：yk2xk2m1， 亦有b2k2， 故k1，k2为方程x 2mx10 不相等两个实数根，k 1+k2m， ， 即为一定值 1， 当点M不在y轴上时，为一个定值 1