2020-2021学年上海市宝山区九年级上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年上海市宝山区九年级（上）第一次月考数学试卷学年上海市宝山区九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题一、选择题 1已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项，a3，c2，那么 b 的长度等于（ ） A B6 C D 2已知 x：y2：3，下列等式中正确的是（ ） A （xy） ：y1：3 B （xy） ：y2：1 C （xy） ：y（1） ：3 D （xy） ：y（1） ：2 3如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，那么下列线段比中比值不可能为的是（ ） A B C D 4下列命题中的真命题是（ ） A两个直角三角形都相似 B一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两

2、条边成比例，那么这两个直角三角形相似 C两个等腰三角形都相似 D两个等腰直角三角形都相似 5如图，ABC 中，G 是 BC 中点，E 是 AG 中点，CE 的延长线交 AB 于 D，则的值为（ ） A2 B3 C D 6有以下命题： 如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有； 如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB、BC 的比例中项； 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项； 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，ACBC，且 AB2，则 AC1 其中正确的判断有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4

3、个 二、填空题二、填空题 7已知，则 8如图 G 为ABC 的重心，GNAC 交 BC 于 N，那么 GN：AC 9如图，ABCD，AD 与 BC 交于点 O，若，则 10 两个相似三角形对应高的比 2： 3， 且已知这两个三角形的周长差为 4， 则较小的三角形的周长为 11当两个相似三角形的相似比为 时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形 12如图，ABC 中，D、F 在 AB 边上，E、G 在 AC 边上，DEFGBC，且 AD：DF：FB3：2：1， 若 AG15，则 EC 的长为 13如图，ABC 的两条中线 AD、BE 相交于点 G，如果 SABG2，那么 SABC 14如图，梯形

4、 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、DC 上，ADBCEF，BE：EA1：2，若 AD2，BC 5，则 EF 15如图，电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，ABCD，AB2 米，CD5 米，点 P 到 CD 的距离是 3 米，则 P 到 AB 的距离是 米 16如图，AB、CD 都是 BD 的垂线，AB4，CD6，BD14，P 是 BD 上一点，联结 AP、CP，所得两 个三角形相似，则 BP 的长是 17在 RtABC 中，BAC90，AB3，M 为边长 BC 上的点，连接 AM，如图，如果将ABM 沿直线 AM 翻折后，点 B 恰好落在边 AC 的中点处

5、，那么点 M 到 AC 的距离是 18如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF如图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM 交 AB 于 N若 AD2，则 MN 三、解答题三、解答题 19已知0，求代数式 （a+2b）的值 20已知：如图，求证： （1）DABEAC （2）DBACABEC 21如图，正方形 DEFG 的边 EF 在ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知ABC 的边 BC15，高 AH10，求正方形 DEFG 的边长和面积 22如图，点 D、E 分别在ABC

6、 的边 AB、AC 上，DEBC （1）若 SADE2，SBCE7.5，求 SBDE； （2）若 SBDEm，SBCEn，求 SABC（用 m、n 表示） 23如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E （1）求证：ABAFCBCD （2）已知 AB15cm，BC9cm，P 是射线 DE 上的动点设 DPxcm（x0） ，四边形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式； 当 x 为何值时，PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值 24 如图， 直角梯形 OABC 的直角顶点 O 是坐标原点， 边

7、 OA， OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OABC， D 是 BC 上一点，BDOA，AB3，OAB45，E、F 分别是线段 OA、AB 上的两动点，且 始终保持DEF45 （1）直接写出 D 点的坐标； （2）设 OEx，AFy，试确定 y 与 x 之间的函数关系； （3）当AEF 是等腰三角形时，将AEF 沿 EF 折叠，得到AEF，求AEF 与五边形 OEFBC 重叠部 分的面积 25 已知ABC90， AB2， BC3， ADBC， P 为线段 BD 上的动点， 点 Q 在射线 AB 上， 且满足 （如图 1 所示） （1）当 AD2，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2

8、所示） ，求线段 PC 的长； （2） 在图 1 中， 连接 AP 当 AD， 且点 Q 在线段 AB 上时， 设点 B、 Q 之间的距离为 x， 其中 SAPQ表示APQ 的面积，SPBC表示PBC 的面积，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义 域； （3）当 ADAB，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示） ，求QPC 的大小 2020-2021 学年上海市宝山区九年级（上）第一次月考数学试卷学年上海市宝山区九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项，a3，c2，那么 b

9、的长度等于（ ） A B6 C D 【分析】根据线段 b 是线段 a、c 的比例中项得出 b2ac，再求出 b 即可 【解答】解：线段 b 是线段 a、c 的比例中项， b2ac， a3，c2， b26， 解得：b（负数舍去） ， 故选：C 2已知 x：y2：3，下列等式中正确的是（ ） A （xy） ：y1：3 B （xy） ：y2：1 C （xy） ：y（1） ：3 D （xy） ：y（1） ：2 【分析】由 x：y2：3，根据比例的性质，即可求得（xy） ：y（1） ：3 【解答】解：x：y2：3， （xy） ：y（23） ：3（1） ：3 故选：C 3如果点 C 是线段 AB 的黄金分

10、割点，那么下列线段比中比值不可能为的是（ ） A B C D 【分析】根据黄金分割的定义进行判断 【解答】解：点 C 是线段 AB 的黄金分割点， 若 AC 为较长线段，则； 若 BC 为较长线段，则 故选：C 4下列命题中的真命题是（ ） A两个直角三角形都相似 B一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似 C两个等腰三角形都相似 D两个等腰直角三角形都相似 【分析】利用相似多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、两个直角三角形都相似，错误，是假命题； B、一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似

11、，错误， 是假命题； C、两个等腰三角形不一定相似，故错误，是假命题； D、两个等腰直角三角形都相似，正确，是真命题， 故选：D 5如图，ABC 中，G 是 BC 中点，E 是 AG 中点，CE 的延长线交 AB 于 D，则的值为（ ） A2 B3 C D 【分析】过 G 作 GMCD，交 AB 于 M，根据平行线分线段成比例定理得出 M 为 BD 的中点，D 为 AM 的中点， 根据三角形的中位线性质得出， 求出 CD2MG， MG2DE， 求出 CD4DE， 即可求出答案 【解答】解：过 G 作 GMCD，交 AB 于 M， G 是 BC 中点，E 是 AG 中点， M 为 BD 的中点，

12、D 为 AM 的中点， ， CD2MG，MG2DE， CD4DE， CE4DEDE3DE， 3， 故选：B 6有以下命题： 如果线段 d 是线段 a，b，c 的第四比例项，则有； 如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB、BC 的比例中项； 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项； 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，ACBC，且 AB2，则 AC1 其中正确的判断有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据黄金分割的定义及黄金比值，结合各项进行判断即可 【解答】解：如果线段 d 是线段 a，b，c

13、的第四比例项，则有；说法正确； 如果点 C 是线段 AB 的中点，故 AC 不是 AB、BC 的比例中项；说法错误； 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；说法正确； 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，ACBC，且 AB2，则 AC1；说法正确； 综上可得：正确，共 3 个 故选：C 二、填空题二、填空题 7已知，则 【分析】首先设k，即可得 x5k，y3k，z4k，然后代入，即可求得答案 【解答】解：设k， x5k，y3k，z4k， 故答案为： 8如图 G 为ABC 的重心，GNAC 交 BC 于 N，那么 GN：AC 【分析

14、】根据三角形的重心的性质、平行线分线段成比例定理计算即可 【解答】解：G 为ABC 的重心， ， GNAC， ， 故答案为： 9如图，ABCD，AD 与 BC 交于点 O，若，则 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论 【解答】解：ABCD， AOBDOC， ， 故答案为： 10 两个相似三角形对应高的比 2： 3， 且已知这两个三角形的周长差为 4， 则较小的三角形的周长为 8 【分析】相似三角形对应高的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比列出方程，解方程即 可 【解答】解：两个相似三角形对应高的比为 2：3，即相似比为 2：3， 它们周长的比是 2：3， 设较小的三角形的

15、周长为 2x，则较大的三角形的周长为 3x， 由题意得，3x2x4， 解得，x4， 则 2x8， 较小的三角形的周长为 8 故答案为：8 11当两个相似三角形的相似比为 1 时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形 【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案 【解答】解：两个相似三角形的相似比为 1 时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形， 故答案为：1 12如图，ABC 中，D、F 在 AB 边上，E、G 在 AC 边上，DEFGBC，且 AD：DF：FB3：2：1， 若 AG15，则 EC 的长为 9 【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出 AD：DF：FBAE：EG：GC3：2

16、：1，设 AE 3x，EG2x，GCx，根据 AG15 得出方程 3x+2x15，求出 x，再求出答案即可 【解答】解：DEFGBC， AD：DF：FBAE：EG：GC， AD：DF：FB3：2：1， AE：EG：GC3：2：1， 设 AE3x，EG2x，GCx， AG15， 3x+2x15， 解得：x3， 即 AE9，EG6，GC3， ECEG+GC6+39， 故答案为：9 13如图，ABC 的两条中线 AD、BE 相交于点 G，如果 SABG2，那么 SABC 6 【分析】根据 D，E 分别是三角形的中点，得出 G 是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GDAG 进而得到 SABG：SA

17、BD2：3， 再根据 AD 是ABC 的中线可得 SABC2SABD进而得到答案 【解答】解：ABC 的两条中线 AD、BE 相交于点 G， 2GDAG， SABG2， SABD3， AD 是ABC 的中线， SABC2SABD6 故答案为：6 14如图，梯形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、DC 上，ADBCEF，BE：EA1：2，若 AD2，BC 5，则 EF 4 【分析】首先延长 BA，CD，相交于 K，由 ADBC，EFBC，根据平行线分线段成比例定理，即可求 得，又由 AD2，BC5，AD2，BC5，可设 BEx，EA2x，即可 求得 AK 与 EK 的值，继而求得 EF

18、的值 【解答】解：延长 BA，CD，相交于 K， ADBC，EFBC， ADEFBC， ， AD2，BC5， AK：BK2：5， BE：EA1：2， 设 BEx，EA2x， AB3x，AK2x，BK5x， EKAK+AE4x， ， EF4 故答案为：4 15如图，电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，ABCD，AB2 米，CD5 米，点 P 到 CD 的距离是 3 米，则 P 到 AB 的距离是 米 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答 【解答】解：ABCD PABPCD AB：CDP 到 AB 的距离：点 P 到 CD 的距离 2：5P 到

19、AB 的距离：3 P 到 AB 的距离为m， 故答案为 16如图，AB、CD 都是 BD 的垂线，AB4，CD6，BD14，P 是 BD 上一点，联结 AP、CP，所得两 个三角形相似，则 BP 的长是 2 或 12 或 【分析】分ABPPDC、ABPCDP 两种情况，根据相似三角形的性质列方程计算即可 【解答】解：设 BPx，则 PD14x， 当ABPPDC 时，即， 解得，x12，x212， 当ABPCDP 时，即， 解得，x， 综上所述，当所得两个三角形相似时，则 BP 的长为 2 或 12 或， 故答案为：2 或 12 或 17在 RtABC 中，BAC90，AB3，M 为边长 BC

20、上的点，连接 AM，如图，如果将ABM 沿直线 AM 翻折后，点 B 恰好落在边 AC 的中点处，那么点 M 到 AC 的距离是 2 【分析】如图，作 MEAC 于 E，MFAB 于 F，点 D 为 AC 的中点，根据折叠的性质得 ADAB3， BAMCAM， 则 AC2AD6， 根据角平分线定理得 MEMF， 然后利用面积法得到MFAB+ME ACABAC，即 3ME+6ME36，解得 ME2 【解答】解：如图，作 MEAC 于 E，MFAB 于 F，点 D 为 AC 的中点， ABM 沿直线 AM 翻折后，点 B 恰好落在边 AC 的中点 D 处， ADAB3，BAMCAM45， AC2A

21、D6，MEMF， SABM+SAMCSABC， MFAB+MEACABAC， 3ME+6ME36， ME2， 即点 M 到 AC 的距离是 2 故答案为 2 18如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF如图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM 交 AB 于 N若 AD2，则 MN 【分析】设 DHx，表示出 CH，再根据翻折变换的性质表示出 DE、EH，然后利用勾股定理列出方程 求出 x，再根据相似三角形的判定性质，可得 NE 的长，根据线段的和差，可得答案 【解答】解：设 DHx，CH2x， 由翻

22、折的性质，DE1， EHCH2x， 在 RtDEH 中，DE2+DH2EH2， 即 12+x2（2x）2， 解得 x，EH2x MEHC90， AEN+DEH90， ANE+AEN90， ANEDEH， 又AD， ANEDEH， ，即， 解得 EN， MNMENE2， 故答案为： 三、解答题三、解答题 19已知0，求代数式 （a+2b）的值 【分析】设k0，可得，a3k，b2k，然后将原式转化为关于 k 的代数式，消元即可 【解答】解：设k0， 可得，a3k，b2k， 原式 （a+2b）， 把 a3k，b2k 代入上式， 原式4 20已知：如图，求证： （1）DABEAC （2）DBACABE

23、C 【分析】 （1）由已知可证ADEABC，再利用相似三角形的对应角相等，角的和差关系证明结论； （2）观察所证结论，考虑证明ADB 和AEC 相似，利用已知比，公共角证明相似，得出结论 【解答】证明： （1）在ADE 和ABC 中， ， ADEABC（2 分） ， DAEBAC（2 分） ， 即DAB+BAEBAE+EAC， DABEAC（2 分） ； （2）在ADB 和AEC 中， 且DABEAC， ADBAEC（2 分） ， （2 分） ， DBACABEC（2 分） 21如图，正方形 DEFG 的边 EF 在ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知ABC 的

24、边 BC15，高 AH10，求正方形 DEFG 的边长和面积 【分析】高 AH 交 DG 于 M，如图，设正方形 DEFG 的边长为 x，则 DEMHx，所以 AM10 x，再 证明ADGABC， 则利用相似比得到， 然后根据比例的性质求出 x， 再计算 x2的值即可 【解答】解：高 AH 交 DG 于 M，如图， 设正方形 DEFG 的边长为 x，则 DEMHx， AMAHMH10 x， DGBC， ADGABC， ，即， x6， x236 答：正方形 DEFG 的边长和面积分别为 6，36 22如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AB、AC 上，DEBC （1）若 SADE2，SBCE7

25、.5，求 SBDE； （2）若 SBDEm，SBCEn，求 SABC（用 m、n 表示） 【分析】 （1）设 SBDEx，则可得出ABEBCE 的面积之比，再将 x 的值代入即可得出答案； （2）由（1）知，设 SADEy，又 SBDEm，SBCEn，从而得出 y 与 m、n 的函数 关系式，即可表示出三角形 ABC 的面积 【解答】解： （1）设 SBDEx ， DEBC， ， SADE2，SBCE7.5， ， 解得：x15（舍） ，x23 SBDE3； （2）由（1）知， 设 SADEy，又 SBDEm，SBCEn， ， 解得， 23如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，

26、过点 D 作 DEAC，垂足为 F，DE 与 AB 相交于点 E （1）求证：ABAFCBCD （2）已知 AB15cm，BC9cm，P 是射线 DE 上的动点设 DPxcm（x0） ，四边形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式； 当 x 为何值时，PBC 的周长最小，并求出此时 y 的值 【分析】 （1）首先证得DCFABC，利用相似三角形的性质可得结论； （2）由勾股定理可得 BC 的长，利用梯形的面积公式可得结果；首先由垂直平分线的性质可得点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A，PB+PCPB+PA，故只要求 PB+PA 最小即可，因为当 P、A、B 三点共线

27、 时 PB+PA 最小，由中位线的性质可得 EF，由（1）知 CF：BCCD：AB，可得 CD，即得 AD，在 RtADF 中，由勾股定理可得 DF，易得 DE，即得 x，代入可得 y 【解答】 （1）证明：ADCD，DEAC， DE 垂直平分 AC， AFCF，DFADFC90，DAFDCF DABDAF+CAB90，CAB+B90， DCFDAFB， 在 RtDCF 和 RtABC 中，DFCACB90，DCFB， DCFABC， ，即 ABAFCBCD； （2）解AB15，BC9，ACB90， AC12， CFAF6， y（x+9）63x+27（x0） BC9（定值） ， PBC 的周长

28、最小，就是 PB+PC 最小 由（1）可知，点 C 关于直线 DE 的对称点是点 A， PB+PCPB+PA，故只要求 PB+PA 最小 显然当 P、A、B 三点共线时 PB+PA 最小此时 DPDE，PB+PAAB 由（1） ，ADFFAE，DFAACB90， DAFABCEFBC，得 AEBEAB，EF AF：BCAD：AB，即 6：9AD：15 AD10RtADF 中，AD10，AF6， DF8 DEDF+FE8+ 当 x时，PBC 的周长最小，此时 y 24 如图， 直角梯形 OABC 的直角顶点 O 是坐标原点， 边 OA， OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OABC， D

29、 是 BC 上一点，BDOA，AB3，OAB45，E、F 分别是线段 OA、AB 上的两动点，且 始终保持DEF45 （1）直接写出 D 点的坐标； （2）设 OEx，AFy，试确定 y 与 x 之间的函数关系； （3）当AEF 是等腰三角形时，将AEF 沿 EF 折叠，得到AEF，求AEF 与五边形 OEFBC 重叠部 分的面积 【分析】 （1）过 B 作 x 轴的垂线，设垂足为 M，由已知易求得 OA4，在 RtABM 中，已知了OAB 的度数及 AB 的长，即可求出 AM、BM 的长，进而可得到 BC、CD 的长，由此可求得 D 点的坐标； （2）连接 OD，证ODEAEF，通过得到的比

30、例线段，即可得出 y、x 的函数关系式； （3）若AEF 是等腰三角形，应分三种情况讨论： AFEF，此时AEF 是等腰 Rt，A在 AB 的延长线上，重合部分是四边形 EDBF，其面积可由梯 形 ABDE 与AEF 的面积差求得； AEEF，此时AEF 是等腰 Rt，且 E 是直角顶点，此时重合部分即为AEF，由于DEF EFA45，得 DEAB，即四边形 AEDB 是平行四边形，则 AEBD，进而可求得重合部分的面积； AFAE，此时四边形 AEAF 是菱形，重合部分是AEF；由（2）知：ODEAEF，那么此 时 ODOE3，由此可求得 AE、AF 的长，过 F 作 x 轴的垂线，即可求出

31、AEF 中 AE 边上的高，进而 可求得AEF（即AEF）的面积 【解答】解： （1）过 B 作 BMx 轴于 M； RtABM 中，AB3，BAM45；则 AMBM； BCOAAM4，CDBCBD； D 点的坐标是； （2）连接 OD；如图（1） ，由（1）知：D 在COA 的平分线上，则DOECOD45； 又在梯形 DOAB 中，BAO45，ODAB3， 由三角形外角定理得：1DEA45，又2DEA45， 12，ODEAEF ，即：， y 与 x 的解析式为： （3）当AEF 为等腰三角形时，存在 EFAF 或 EFAE 或 AFAE 共 3 种情况； 当 EFAF 时，如图（2） ，FA

32、EFEADEF45； AEF 为等腰直角三角形，D 在 AE 上（AEOA） ， B 在 AF 上（AFEF） AEF 与五边形 OEFBC 重叠的面积为四边形 EFBD 的面积； ， ， ， ； （也可用 S阴影SAEFSABD） 当 EFAE 时，如图（3） ，此时AEF 与五边形 OEFBC 重叠部分面积为AEF 面积 DEFEFA45，DEAB，又 DBEA， 四边形 DEAB 是平行四边形， AEDB， 当 AFAE 时，如图（4） ，四边形 AEAF 为菱形且AEF 在五边形 OEFBC 内 此时AEF 与五边形 OEFBC 重叠部分面积为AEF 面积 由（2）知ODEAEF，则

33、ODOE3， AEAFOAOE， 过 F 作 FHAE 于 H，则， 综上所述，AEF 与五边形 OEFBC 重叠部分的面积为或 1 或 25 已知ABC90， AB2， BC3， ADBC， P 为线段 BD 上的动点， 点 Q 在射线 AB 上， 且满足 （如图 1 所示） （1）当 AD2，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2 所示） ，求线段 PC 的长； （2） 在图 1 中， 连接 AP 当 AD， 且点 Q 在线段 AB 上时， 设点 B、 Q 之间的距离为 x， 其中 SAPQ表示APQ 的面积，SPBC表示PBC 的面积，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义 域；

34、（3）当 ADAB，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示） ，求QPC 的大小 【分析】 （1） 当 AD2 时， ADAB， 此时ABD 为等腰直角三角形， 易证BPC 也是等腰直角三角形， BC 长已知，则 PC 的长可求； （2）易知点 P 到 AB 的距离与到 BC 的距离的比与 BA、AD 长度的比相等，即APQ 中 AQ 边上的高与 PBC 中 BC 边上的高的比可求；AQ2x，BC3，则APQ 与BPC 的面积可表示出来，利用其面 积比为 y，可得函数关系式，由于 AB2，AD，所以，而点 P 在线段 BD 上，所以 PC 有 最大值和最小值，即可确定出 PQ 的

35、最大值和最小值，即可得出结论 （3）作 PEAB 于 E，PFBC 于 F，由已知条件可证 RtPCFRtPQE，则EPQFPC，利用 角的和差关系可求得QPC90 【解答】解： （1）ADBC，ABC90， AABC90 当 AD2 时，ADAB， DABD45， PBCD45 ， PQPC， CPQC45， BPC90 PCBCsin453 （2）如图，作 PEAB 于 E，PFBC 于 F， ABC90， 四边形 EBFP 是矩形 PFBE 又BAD90， PEAD， RtBEPRtBAD 设 BE4k，则 PE3k， PFBE4k BQx， AQABBQ2x SAQPAQPE（2x） 3k，SBPCBCPF34k6k ， ， 即 yx+ 过 D 作 BC 的垂线 DM，在直角DCM 中，DC 当 P 在 D 点时，x 最大，则 PCDC，而，得 PQ，利用勾股定理得到 AQ，所以 此时 BQ 0 x （3）如图，作 PEAB 于 E，PFBC 于 F， ABC90， 四边形 EBFP 是矩形 PFBE，EPF90 又A90， PEAD RtBEPRtBAD ， 又， RtPCFRtPQE， EPQFPC EPQ+QPFEPF90， FPC+QPF90， 即QPC90