2020年中考数学第一轮复习知识点45尺规作图
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1、 一、选择题一、选择题 9 (20192019长沙)长沙)如图,RtABC 中,C=90,B=30,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 1 2 AB 的长为半径 作弧,两弧相交于 M、N 两点,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则CAD 的度数是( ) A20 B30 C45 D60 【答案答案】B 【解析】【解析】在ABC 中,B=30,C=90,BAC=180-B-C=60,由作图可知 MN 为 AB 的中垂线, DA=DB,DAB=B=30,CAD=BAC-DAB=30,故本题选:B 8 (2019烟台)烟台)已知60AOB,以 O 为圆心,以任意长为半径作弧,交 OA,O
2、B 于点 M,N,分别以 M,N 为圆心,以大于 1 2 MN的长度为半径作弧,两弧在AOB内交于点 P,以 OP 为边作15POC, 则BOC的度数为( ) A15 B45 C15或30 D15或45 【答案答案】D 【解析】【解析】 由题目可以得出 OP 为AOB的平分线, 所以 1 30 2 AOPBOPAOB , 又因为15POC, 考 虑 到 点 C 有 可 能 在A OP内 也 有 可 能 在B OP内 , 所 以 当 点 C 在AOP内 时BOC 45BOPPOC,当点 C 在BOP内时BOC15BOPPOC 三、解答题三、解答题 22 (2019 山东省德州市,山东省德州市,2
3、2,12)如图,BPD120,点 A、C 分别在射线 PB、PD 上,PAC30,AC 2 (1)用尺规在图中作一段劣弧,使得它在 A、C 两点分别与射线 PB 和 PD 相切要求:写出作法,并保留 作图痕迹; (2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明; (3)求所得的劣弧与线段 PA、PC 围成的封闭图形的面积 【解题过程】【解题过程】 (1)如图, (2)已知:如图,BPD120,点 A、C 分别在射线 PB、PD 上,PAC30,AC2,过 A、C 分 别作 PB、PD 的垂线,它们相交于 O,以 OA 为半径作O,OAPB, 求证:PB、PC 为O 的切线; 证明
4、:BPD120,PAC30, PCA30, PAPC, 连接 OP, OAPA,PCOC, PAOPCO90, OPOP, RtPAORtPCO(HL) OAOC, PB、PC 为O 的切线; (3)OAPOCP903060, OAC 为等边三角形, OAAC2,AOC60, OP 平分APC, APO60, AP22,劣弧 AC 与线段 PA、PC 围成的封闭图形的面积S四边形APCOS扇形AOC2 2242 20(2019泰州泰州)如图,ABC 中,C90, AC4, BC8. (1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线; (保留作图痕迹,不要求写作法) (2)若(1)中所作的垂直平分线交
5、BC 于点 D,求 BD 的长. 第 20 题图 【解题过程】【解题过程】(1)如图所示,直线 DE 为所求的 AB 的垂直平分线; (2)连接 AD,因为 DE 垂直平分 AB,所以 ADBD,设 ADBDx,则 CD8x,在 RtACD 中,AC2+CD2AD2, 即 42+(8x)2x2,解之得,x5,所以 BD 的长为 5. 20 (20192019 浙江省温州市,浙江省温州市,2020,8 8 分)分) (本题满分 8 分) 如图, 在 75 的方格纸 ABCD 中, 请按要求画图, 且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点 A, B, C, D 重合 (1)在图 1 中画一个格点
6、EFG,使点 E,F,G 分别落在边 AB,BC,CD 上,且EFG=90; (2)在图 2 中画一个格点四边形 MNPQ,使点 M,N,P,Q 分别落在边 AB,BC,CD,DA 上,且 MP=NQ 注:图 1,图 2 在答题纸上 【解题过程】【解题过程】 (1)画法不唯一,如图 1 或如图 2 等; (2)画法不唯一,如图 3 或如图 4 等. 第20题图 D CB A 图 1 图 2 图 3 图 4 20 (2019嘉兴)嘉兴)在 66 的方格纸中,点A,B,C都在格点上,按要求画图: (1)在图 1 中找一个格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形 (2)在图 2 中仅用
7、无刻度的直尺,把线段AB三等分(保留画图痕迹,不写画法) 【解题过程】【解题过程】解: (1)由勾股定理得: CDABCD,BDACBD, ADBCAD; 画出图形如图 1 所示; (2)如图 2 所示 21 (2019 江苏盐城卷,江苏盐城卷,21,8 如图,AD 是ABC 的角平分线 (1) 作线段 AD 的垂直平分线 EF,分别交 AB、AC 于点 E、F; (用直尺和圆规作图,标明字母,保留作图痕迹,不写作法) (2) 连接 DE、DF,四边形 AEDF 是_形 (直接写出答案) 【解题过程】【解题过程】 E F G A BC D G F E A BC D Q P N M A BC D
8、 M N P Q A BC D (1) 如图所示:直线 EF 就是线段 AD的垂直平分线 (2) 菱形 证明:连结 DE、DF EF 垂直平分 AD EA=ED,FA=FD EAD=EDA, FAD=FDA AD 是BAC 的平分线 EAD=FAD EAD=EDA=FAD=FDA AEDF,AFED 四边形 AEDF 为平行四边形 EA=ED 四边形 AEDF 为菱形 15 (2019青岛)已知: , 直线 l 及 l 上两点 A, B. 求作:RtABC ,使点 C 在直线 l 的上方,且ABC= 90 , BAC 【解题过程】如国所示: 则 RtABC 即为所求. 15 (2019 江西省
9、,江西省,15,6 分)分)在在ABC 中,中,ABAC,点,点 A 在以在以 BC 为直径的半圆内,请仅用无刻度的直尺分为直径的半圆内,请仅用无刻度的直尺分 别按下列要求画图别按下列要求画图(保留画图痕迹保留画图痕迹). (1)在图在图 1 中作弦中作弦 EF,使,使 EFBC; (2)在图在图 2 中以中以 BC 为边作一个为边作一个 45的圆周角的圆周角. 【解题过程】解: (【解题过程】解: (1)如图所示)如图所示 DE 即为所求. (2)如图所示)如图所示 MBC 即为所求. 21 (2019陇南)陇南)已知:在ABC 中,ABAC (1)求作:ABC 的外接圆 (要求:尺规作图,
10、保留作图痕迹,不写作法) (2)若ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4,BC6,则 S O 解: (解: (1 1)如图)如图O O即为所求即为所求 (2 2)设线段)设线段BCBC的垂直平分线交的垂直平分线交BCBC于点于点E E 由题意可知,由题意可知,OEOE4 4,BEBEECEC3 3, 在在 RtRtOBEOBE中,中,OBOB5 5, S S圆圆O O 5 5 2 2 2525 故答案为故答案为 2525 1.(2019济宁)济宁)如图,点 M 和点 N 在AOB 内部 (1)请你作出点 P,使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等,且到AOB 两边的距离也相等(
11、保留作图痕迹,不写 作法) ; (2)请说明作图理由 解解: (1) 画出AOB 的角平分线,画出线段 MN 的垂直平分线,两者的交点就得到 P 点 (2)作图的理由:点 P 在AOB 的角平分线上,又在线段 MN 的垂直平分线上,AOB 的角平分线和线段 MN 的垂直平分线的交点即为所求 2 (2019无锡)按要求作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹 (1)如图 1,A 为圆 O 上一点,请用直尺(不带刻度)和圆规作出得内接正方形; (2)我们知道,三角形具有性质,三边的垂直平分线相交于同一点,三条角平分线相交于一点,三条中线相交 于一点,事实上,三角形还具有性质:三条高交于同一点,请运用上
12、述性质,只用直尺(不带刻度)作图: 如图 2,在ABCD 中,E 为 CD 的中点,作 BC 的中点 F; 图 3,在由小正方形组成的网格中,的顶点都在小正方形的顶点上,作ABC 的高 AH. 解:解: (1) 连结 AE 并延长交圆 E 于点 C,作 AC 的中垂线交圆于点 B,D,四边形 ABCD 即为所求. (2)连结 AC,BD 交于点 O,连结 EB 交 AC 于点 G,连结 DG 并延长交 CB 于点 F, F 即为所求. A E E C A B D A C B 一、选择题一、选择题 8 (2019深圳)如图,已知 AB=AC,AB=5,BC=3以 AB 两点为圆心,大于 1 2
13、AB 的长为半径画弧,两弧 相交于点 M,N,过 M,N 作直线与 AC 相交于点 D,则BDC 的周长为( ) A8 B10 C11 D13 【答案】A 【 解 析 】 由 作 图 方 法 知 , MN是 线 段AB的 垂 直 平 分 线 , AD=BD , BDC的 周 长 =BD+DC+BC=AD+DC+BC=5+3=8故选 A 【知识点】尺规作图;线段的垂直平分线;等腰三角形 9 (2019 河南)如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,D=90,AD=4,BC=3,分别以点 A,C 为圆心, 大于 1 2 AC 长为半径作弧,两弧交于点 E,作射线 BE 交 AD 于点 F,交 AC
14、 于点 O,若点 O 是 AC 的中点, 则 CD 的长为( ) A. 2 2 B.4 C.3 D. 10 【答案】A 【解题过程】过点 A 做 BMBC 与点 M, ADBC BCD+D=180 又D=90BCD=90 BCD=D=BMD=90 四边形 BCDM 为矩形 AB=BC=3 BM=CD 由作图可知 AE=CE 又O 是 AC 的中点 AB=BC=3 在 RtABM 中,AMB=90,AM=AD-MD=1 BM= 2222 312 2ABAM CD= 2 2.故选 A 【知识点】尺规作图 矩形的判定及性质 等腰三角形的性质 垂直平分线的性质 勾股定理 10.(2019宜昌)通过如下
15、尺规作图,能确定点 D 是 BC 边中点的是( ) 【答案】【答案】A 【解析】【解析】作线段 BC 的垂直平分线可得线段 BC 的中点 由此可知:选项 A 符合条件,故选:A 【知识点】【知识点】作图题 10. (2019河北)根 F E O B A D C M F E O B D A C 据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( ) 【答案】C 【解析】外心是三角形三边中垂线的交点,而 C 中的作图是找两边的中垂线,C 正确. 【知识点】【知识点】尺规作图、中垂线的作图、外心的定义尺规作图、中垂线的作图、外心的定义 二、填空题二、填空题 16 (2019兰州)如图,矩形兰州)如图
16、,矩形 ABCD,BAC=60,以点,以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧分别交 为圆心,以任意长为半径作弧分别交 AB,AC 于于 点点 M,N 两点, 再分别以点两点, 再分别以点 M,N 为圆心, 以大于为圆心, 以大于 2 1 MN 的长作半径作弧交于点的长作半径作弧交于点 P, 作射线, 作射线 AP 交交 BC 于点于点 E, 若若 BE=1,则矩形,则矩形 ABCD 的面积等于的面积等于 . 【答案】【答案】3 3 【解【解析析】 在矩形】 在矩形 ABCD 中, 中, BAC=60, , B=90, , BCA=30, , AE 平分平分BAC, , BAE=EAC=30, 在
17、在 RtABE 中,中,BE=1,AE= 1 sin30 =2,AB= 1 3 tan30 ,EAC=ECA=30,EC=AE=2, S矩形矩形ABCD=AB BC=3 3. 【知识点】【知识点】矩形的性质,角平分线的性质,矩形的面积,锐角三角函数矩形的性质,角平分线的性质,矩形的面积,锐角三角函数 三、解答题三、解答题 23. (2019广州)如图,O 的直径 AB10,弦 AC8,连接 BC (1)尺规作图:作弦 CD,使 CDBC(点 D 不与 B 重合) ,连接 AD; (保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图中,求四边形 ABCD 的周长 【思路分析】 (1)以 C 为圆心
18、,CB 为半径画弧,交O 于 D,线段 CD 即为所求 (2)连接 BD,OC 交于点 E,设 OEx,构建方程求出 x 即可解决问题 【解题过程】解: (1)如图,线段 CD 即为所求 (2)连接 BD,OC 交于点 E,设 OEx AB 是直径, ACB90, BC= 2 2= 102 82=6, BCCD, = , OCBD 于 E BEDE, BE2BC2EC2OB2OE2, 62(5x)252x2, 解得 x= 7 5, BEDE,BOOA, AD2OE= 14 5 , 四边形 ABCD 的周长6+6+10+ 14 5 = 124 5 【知识点】作图题; 圆周角定理;解直角三角形 2
19、0 (2019 福建)已知ABC 为和点 A,如图. (1)以点 A为一个顶点作ABC,使ABCABC,ABC的面积等于ABC 面积的 4 倍; (尺规作图, 不写作法,保留作图痕迹) (2)设 D、E、F 分别是ABC 三边 AB、BC、AC 的中点,D、E、F分别是你所作的ABC三边 AB、BC、 CA的中点,求证:DEFDEF. 【思路分析】 (1)利用相似三角形面积比等于相似比平方,作ABC使ABC的各边是ABC 中各边的 2 倍; (2)利用三角形中位线定理,结合相似三角形对应边成比例,可得DEF 的各边与DEF的各边对应成比 A C BA 例,即可得出结论. 【解题过程】 (1)如
20、图: 则ABC为所求作图形. (2)证明:D、E、F 分别是ABC 三边 AB、BC、AC 的中点,DE=AC,EF=AB,FD=BC,同理,DE= AC, EF=AB, FD=BC, ABCABC, =, =, 即=,DEFDEF. 【知识点】尺规作图;相似三角形性质与判定;三角形中位线 24. (2019 宿迁)在 RtABC 中,C90 (1)如图,点 O 在斜边 AB 上,以点 O 为圆心,OB 长为半径的圆交 AB 于点 D,交 BC 于点 E,与边 AC 相 切于点 F求证:12; (2)在图中作M,使它满足以下条件: 圆心在边 AB 上;经过点 B;与边 AC 相切 (尺规作图,
21、只保留作图痕迹,不要求写出作法) 【思路分析】 (1)连接 OF,可证得 OFBC,结合平行线的性质和圆的特性可求得1OFB2,可得出 结论; (2)由(1)可知切点是ABC 的角平分线和 AC 的交点,圆心在 BF 的垂直平分线上,由此即可作出M 【解题过程】解: (1)证明:如图,连接 OF, C A B C B A 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 AC A C AB A B BC B C 1 2 1 2 AC A C 1 2 1 2 AB A B 1 2 1 2 BC B C DE D E EF E F FD F D AC 是O 的切线, OEAC, C90, OEBC,
22、 1OFB, OFOB, OFB2, 12 (2)如图所示M 为所求 作ABC 平分线交 AC 于 F 点, 作 BF 的垂直平分线交 AB 于 M,以 MB 为半径作圆, 即M 为所求 证明:M 在 BF 的垂直平分线上, MFMB, MBFMFB, 又BF 平分ABC, MBFCBF, CBFMFB, MFBC, C90, FMAC, M 与边 AC 相切 【知识点】作图题;与圆有关的位置关系 19 (2019广东) 如图,在 ABC 中,点D是边AB上的一点. (1)请用尺规作图法,在 ABC 内,求作 ADE ,使 ADEB ,DE交AC于E; (不要求写作法,保留 作图痕迹) (2)
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