2020年中考数学第一轮复习知识点32矩形、菱形与正方形
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1、 一、选择题一、选择题 9(2019苏州苏州)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,AC=4,BD=16 将ABO 沿点 A 到点 C 的方 向平移,得到ABO当点 A 与点 C 重合时,点 A 与点 B之问的距离为 ( ) A6 B8 C10 D12 (第 9 题) 【答案】C 【解【解析析】四边形 ABCD 是菱形,ACBD,AOOC 1 2 AC2,OBOD 1 2 BD8,ABO 沿点 A 到 点 C 的方向平移,得到ABO,点 A与点 C 重合,OCOA2,OBOB8,COB90, AOAC+OC6,AB 2222 86O BAO10,故选 C 10(2019201
2、9温州)温州)如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AB 中点,以 BE 为边作正方形 BEFG,边 EF 交 CD 于点 H,在边 BE 上取点 M 使 BM=BC,作 MNBG 交 CD 于点 L,交 FG 于点 N欧几里得在几何原本中利用该图解释了 (a+b)(a-b)=a2-b2现以点 F 为圆心,FE 为半径作圆弧交线段 DH 于点 P,连结 EP,记EPH 的面积为 S1, 图中阴影部分的面积为 S2若点 A,L,G 在同一直线上,则 1 2 S S 的值为 ( ) A 2 2 B 2 3 C 2 4 D 2 6 【答案答案】C 【解析】【解析】如图,连接 ALGL,PF由题意:S矩
3、形AMLDS阴a2b2,PH 22 -a b,点 A,L,G 在同一直 线上, AMGN, AMLGNL, , , 整理得 a3b, ,故选 C 9(2019 绍兴)绍兴)正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E,以 EC 为边作矩形 ECFG,且边 FG 过点 D,在点 E 从 点 A 移动到点 B 的过程中,矩形 ECFG 的面积 ( ) A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变 【答案】【答案】D 【解析解析】四边形 ABCD 和四边形 ECFG 是矩形, B=F=BCD=ECF=90 , 又BCE+ECD=ECD+FCD=90 , BCE=FCD,BCEFCD
4、; BCCF ECCD ,BCCD=FCCE,矩形 AEFG 与矩形 ABCD 的面积相等,故选 D. 10 (2019烟台)烟台)如图,面积为 24 的ABCD 中,对角线 BD 平分ABC,过点 D 作DEBD交 BC 的延 长线于点 E,6DE ,则sinDCE的值为( ) A 24 25 B 4 5 C 3 4 D 12 25 【答案答案】A 【解析】【解析】连接 AC,交 BD 于点 F,过点 D 作DMCE,垂足为 M, 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 F 是 BD 的中点,AD/BC, 所以DBCADB, 因为 BD 是 ABC的平分线, 所以ABDDBC, 所以AB
5、DADB , 所以ABAD, 所以ABCD 是菱形, 所以ACBD, 又因为DEBD, 所以 AC/DE, 因为 AC/DE,F 是 BD 的中点, 所以 C 是 BE 的中点, 所以 1 3 2 CFDE, 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以26ACFC, 2 ABCD ACBD S 菱形 , F AD B C E M 第 10 题答图 所以 22 24 8 6 ABCD S BD AC 菱形 , 所以 1 4 2 BFBD, 在 RtBFD 中,由勾股定理得 22 5BCBFCF, 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以5DCBC, 因为 ABCD SBCDM 菱形 所以 24 5 ABC
6、D S DM BC 菱形 , 在 RtDCM 中, 24 sin 25 DM DCE DC 6(2019江西)江西)如图,由如图,由 10 根完全相同的小棒拼接而成,请你再添根完全相同的小棒拼接而成,请你再添 2 根与前面完全相同的小棒,拼接后的根与前面完全相同的小棒,拼接后的 图形恰好有图形恰好有 3 个菱形的方法共有个菱形的方法共有( ) A.3 种种 B.4 种种 C.5 种种 D.6 种种 【答案】【答案】B 【解题过程】【解题过程】具体拼法有具体拼法有 4 种,如图所示:种,如图所示: 4(20192019株洲)株洲)对于任意的矩形,下列说法一定正确的是() A对角线垂直且相等 B四
7、边都互相垂直 C四个角都相等 D是轴对称图形,但不是中心对称图形 【答案答案】C C 【解析】 根据矩形的性质可知, 矩形的对角线相等但不一定垂直, 所以选项 A 是错误的; 矩形相邻的边互相垂直, 对边互相平行,所以选项 B 是错误的;矩形的四个角都是直角,所以四个角都相等是正确的;矩形既是轴对称图 形,又是中心对称图形,所以选项 D 是错误的;故选 C. 3 (2019娄底)娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( ) A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 【答案】【答案】C 【解析】【解析】如图:菱形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点, E
8、HFGBD,EHFG 1 2 BD;EFHGAC,EFHG 1 2 AC, 故四边形 EFGH 是平行四边形, 又ACBD, EHEF,HEF90 四边形 EFGH 是矩形 故选 C 10(2019安徽)安徽)如图,在正方形 ABCD 中,点 E、F 将对角线 AC 三等分,且 AC=12.点 P 在正方形的边上, 则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是 A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】【答案】D 【解题过程】【解题过程】如图,作点 F 关于 CD 的对称点 F/,连接 PF/、PF,则 PEPFEF/,根据两点之间线段最知可知 此时 PEPF 的值最小.过点 E 作 EH
9、FF/,垂足为点 H,FF交 CD 于点 G,易知EHF、CFG 是等腰直角三 角形, EHFHFGFG 2 2 EF2 2, EF 22 EHF H 22 2 26 2459.根据正方 形的对称性可知正方形 ABCD 的每条边上都有一点 P 使得 PEPF 最小值.连接 DE、 DF, 易求得 DEDF410 9,CECF120,故点 P 位于点 B、D 时,PEPF9,点 P 位于点 A、C 时,PEPF9,该正方形每 条边上都有 2 处点使得 PEPF9,共计点 P 有 8 处. 1.(2019无锡)无锡)下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是() A.内角和为 360 B.对角线
10、互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【答案】【答案】C 【解析】【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质,矩形的对角线相等且平分,菱形的对角线垂直且平 分,所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等,故选 C 2. (2019泰安泰安)如图,矩形 ABCD 中,AB4,AD2,E 为 AB 的中点,F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,连接 PB,则 PB 的最小值是 A.2 B.4 C.2 D.2 2 H P F A BC D E F G 【答案】【答案】D 【解析】【解析】F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,点 P 的运动轨迹为DEC 的中位线 MN,MNEC,连接 M
11、E,则四 边形 EBCM 为正方形,连接 BM,则 BMCE,易证 BMMN,故此时点 P 与点 M 重合,点 F 与点 C 重合,BP 取 到最小值,在 RtBCP 中,BP 22 BCCP2 2. 3.(2019眉山)眉山)如图,在矩形 ABCD 中 AB=6,BC=8,过对角线交点 O 作 EFAC 交 AD 于点 E, 交 BC 于点 F,则 DE 的长是 A1 B 7 4 C2 D 12 5 【答案答案】B 【解析】连接【解析】连接 CE,四边形,四边形 ABCD 是矩形,是矩形,ADC=90,OC=OA,AD=BC=8,DC=AB=6,EFAC, OA=OC,AE=CE,在,在 R
12、tDEC 中,中,DE2+DC2=CE2,即,即 DE2+36=(8-DE)2,解得:,解得:x= 7 4 ,故选,故选 B. 4.(2019攀枝花)攀枝花)下列说法错误的是() A平行四边形的对边相等 B对角线相等的四边形是矩形 C对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 【答案】B 【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形,如等腰梯形.故选 B 5.(2019攀枝花)攀枝花)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上的一点,BE4,EC8,将正方形边 AB 沿 AE 折 叠到 AF, 延长 EF 交 DC 于 G。 连接 AG, 现在有如下四个结论:
13、EAG45 ; FGFC; FCAG; S GFC 14其中结论正确的个数是() A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】由题易知 ADABAF,则 RtADGRtAFG(HL) GDGF,DAGGAF 又FAEEAB, EAGGAFFAE 1 2 (BAFFAD) 1 2 BAD45 ,所以正确; 设 GFx,则 GDGFx 又BE4,CE8,DCBC12,EFBE4 CG12x, EG4x 在 RtECG 中,由勾股定理可得 82(12x)2(4x)2 ,解得 x6. FGDGCG6,又FGC60 ,FGC 不是等边三角形,所以错误; 连接 DF,由可知AFG 和ADC 是对称型全等三
14、角形,则 FDAG 又FGDGGC, DFC 为直角三角形,FDCF,FCAG,成立; EC8,SECG 1 2 EC CG24, 又 FCG ECG S S FG EG 3 5 , SFCG 3 5 SECG 72 5 . 错误, 故正确结论为,选 B 【知识点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等高不同底的三角形面积比 6.(2019金华)金华)将一张正方形纸片按如图步骤,通过折叠得到图,再沿虚线剪去一个角,展开铺平后得到图 ,其中 FM、GN 是折痕,若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 面积相等,则 FM GF 的值是() A. 52 2 B.21 C. 1 2 D.
15、 2 2 【答案】A G F D A BC E G F D A BC E H D G N C F M BA E 【解析】连接 EG,FH 交于点 O,由折叠得OGF 是等腰直角三角形,OF 2 2 GF正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 面积相等,(OFFM) 2GF1 4 GF 5 4 GF2, 2 2 GFFM 5 2 GF,FM 5 2 GF 2 2 GF, FM GF 52 2 .故选 A 7. (2019台州台州)如图,有两张矩形纸片 ABCD 和 EFGH,ABEF2cm,BCFG8cm,把纸片 ABCD 交叉叠放在纸 片 EFGH 上,使重叠部分为平行四边形时,且点 D 与点
16、 G 重合,当两张纸片交叉所成的角最小时,tan等于 ( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 8 17 D. 8 15 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 当点 B 与点 E 重合时,重叠部分为平行四边形且最小,两张矩形纸片全等,重叠部分为菱形,设 FM x,EMMD8x,EF2,在RtEFM中,EF2+FM2EM2,即22+x2(8x)2,解之得:x 15 4 ,tan EF FM 8 15 , 故选 D. 8. (2019台州台州)如图是用 8 块 A 性瓷砖(白色四边形)和 8 块 B 型瓷砖(黑色三角形)不重叠,无空隙拼接而成的一个 正方形图案,图案中 A 型瓷砖的总面积与 B 型
17、瓷砖的总面积之比为( ) A.2:1 B3:2 C.3:1 D.2:2 第 10 题图 【答案】【答案】A x H D G NC F M B O A E 【解析】【解析】如图,是原图的 1 8 ,过点 E 作 EKAC,作 EFBC,易证AEK,BEF 为等腰直角三角形,设 AK 为 x,则 EKCFDFx,AEBD2x,KCEF 2+1x, 2 11 =212 =2+1 22 SEF DCxxx 阴影 , 2 1111 =21222=2+2 2222 SEF BDAC EKxxx xx 空白 , 2 2 2+ 2 =2 21 x S S x 空白 阴影 , 故选 A. 9.(2019重庆 A
18、 卷)下列命题正确的是() A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形 【答案答案】A 【解析】【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形,是真命题; B、四条边相等的四边形是菱形,是假命题; C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形,是假命题; D、对角线相等的平行四边形是矩形,是假命题; 故选:A 12(2019德州)德州)如图,正方形 ABCD,点 F 在边 AB 上,且 AF:FB1:2,CEDF,垂足为 M,且交 AD 于点 E,AC 与 DF 交于点 N,延长 CB 至 G,使 BGBC,连接 CM有
19、如下结论:DEAF;AN AB;ADFGMF;SANF:S 四边形 CNFB1:8上述结论中,所有正确结论的序号是( ) A B C D 【答案】C 【解析】四边形 ABCD 是正方形,ADABCDBC,CDEDAF90,CEDF,DCE+ CDFADF+CDF90,ADFDCE,在ADF 与DCE 中, ADFDCE(ASA),DEAF;故正确;ABCD,AF:FB1:2,AF: ABAF:CD1:3,ACAB,ANAB;故正确; 作 GHCE 于 H,设 AFDEa,BF2a,则 ABCDBC3a,ECa,由CMDCDE,可得 CMa,由GHCCDE,可得 CHa,CHMHCM,GHCM,
20、GMGC, GMHGCH, FMG+GMH90, DCE+GCM90, FEGDCE, ADFDCE, ADFGMF;故正确,设ANF 的面积为 m,AFCD,AFNCDN, ADN 的面积为 3m,DCN 的面积为 9m,ADC 的面积ABC 的面积12m,SANF:S四边形CNFB 1:11,故错误,故选 C 10.(2019遂宁)如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,BPC 是等边三角形,连接 DP 并延长交 CB 的延长 线于点 H,连接 BD 交 PC 于点 Q,下列结论: BPD=135;BDPHDBDQ;BQ=1:2;SBDP= 4 13 ,其中正确的有 ( ) A.B
21、.C.D. 【答案】D 【解析】由正方形 ABCD 可得BCD=90,BC=DC,由BPC 是等边三角形可得BCP =BPC=60,BC=PC,DCP=30,PC=DC,DPC=75,BPD=135,正确;正方形 ABCD, CBD=45,HBD=135=BPD,公共角 BDP,BDPHDB 成立,正确;如图,过 Q 作 QMBC 于 M, 反向延长交 AD 于 N, 则 RtCMQ 中, BCQ=60, 设 CM=x, 则 QM=x3 , RtBMQ 中, QBM=45, 则 BM=QM=x3 , 因为正方形边长为 1,所以x3+x=1,x= 2 1-3 ,MQ=x3= 2 33 ,NQ=1
22、-MQ= 2 1-3 ,DQ;BQ=NQ:MQ= 3 3 , 错误; 如图, 过点 D 作 BP 的延长线的垂线于点 E, 由知BPD=135, EPD=45, PE=DE, 设 PE=DE=a, 则 PB=a,BD= a2 ,RtBDE 中,由勾股定理可求得 222 2)1)(aa , 2 31 a ,a0,所以 2 31 a S BDP= 4 13 ,故正确;故选 D. 二、填空题二、填空题 15(20192019温州)温州)三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放,已知AOB=AOE=90,菱形的较短对角线 长为 2cm若点 C 落在 AH 的延长线上,则ABE 的周长为 cm 【答案答
23、案】12+82 【解析】【解析】连接 AC、IC,AC 交 OI 于点 M、BO 于点 N,IC 交 BO 于点 P.设AHO=,则COB=IOB=,.点 C 落在 AH 的延长线上,A、H、C 三点共线.图中的三个菱形是形状大小相同的,CBO=CAO,又BNC= ANO, BCA=AOB=90.BCIO, CMO=BCA=90.CO=HO, HOM=COM=2, +2+=90, 则=22.5, 即BOI=22.5, PIO=67.5.作QIO=BOI=22.5, 交 BO 于点 Q, 则PIQ=45, PI=PN=1, IQ=QO =2,PO=1+2,BO=2+22,AB=2BO=22+4,
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