2020年中考数学第一轮复习知识点28全等三角形
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1、 一、选择题一、选择题 1.(2019滨州)滨州)如图,在OAB 和OCD 中,OAOB,OCOD,OAOC,AOBCOD40,连接 AC,BD 交于点 M,连接 OM下列结论:ACBD;AMB40;OM 平分BOC;MO 平分 BMC其中正确的个数为( ) A4 B3 C2 D1 【答案】【答案】B 【解析】【解析】AOB=COD,AOC=BOD,又OA=OB,OC=OD,AOCBOD,AC=BD,故 正确; AOCBOD, MAO=MBO, 如图, 设 OA 与 BD 相交于 N, 又ANM=BNO, AMB= AOB=40 , 故正确; 如图, 过点 O 分别作 AC 和 BD 的垂线,
2、 垂足分别是 E, F, AOCBOD, AC=BD, OE=OF, MO 平分BMC, 故正确; 在AOC 中, OAOC, ACOOAC, AOCBOD, OAC=OBD, ACOOBM, 在OCM 和OBM 中, ACOOBM, OMC=OMB, COM BOM,故错误,所以正确故选 B 二、填空题二、填空题 16(2019 嘉兴) 嘉兴) 如图, 一副含 30和 45角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上, 边AC与EF重合,AC12cm 当 点E从点A出发沿AC方向滑动时,点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A滑动到点C时, 点D运动的路径长为 cm;连接BD,则ABD的面
3、积最大值为 cm 2 【答案】【答案】24 12 2,36 224 3 12 6 【解析】【解析】AC12cm,A30,DEF45, BC4cm,AB8cm,EDDF6cm, 如图,当点 E 沿 AC 方向下滑时,得EDF,过点 D作 DNAC 于点 N,作 DMBC 于点 M, MDN90,且EDF90, EDNFDM,且DNEDMF90,EDDF, DNEDMF(AAS), DNDM,且 DNAC,DMCM, CD平分ACM, 即点 E 沿 AC 方向下滑时,点 D在射线 CD 上移动, 当 EDAC 时,DD值最大,最大值EDCD(126)cm, 当点 E 从点 A 滑动到点 C 时,点
4、 D 运动的路径长2(126)(2412)cm. 如图,连接 BD,AD, SADBSABC+SADCSBDC, SADBBCAC+ACDN NBCDM24+(124)DN, 当 EDAC 时,SADB有最大值, SADB最大值24+(124)6(24+3612)cm 2 故答案为: (2412) , (24+3612). 18 (20192019株洲)株洲)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,在直线 x1 处放置反光镜 I,在 y 轴处放置一个有缺 口的挡板 II,缺口为线段 AB,其中点 A(0,1),点 B 在点 A 上方,且 AB1,在直线 x1 处放置一个 挡板 III,从点 O
5、 发出的光线经反光镜 I 反射后,通过缺口 AB 照射在挡板 III 上,则落在挡板 III 上的光线 的长度为 第 18 题 【答案】 3 2 【解析】如图,落在挡板 III 上的光线的长度为 MN 的长度,对应的反光镜 I 的边界点分别为点 P 和点 Q,根据光 线的折射,入射角等于反射角可得OPF=APF,从而证明APFOPF,所以 AO=2AF=2OF,AF= 1 2 ,同理AQB AQO,AB=AO=1,所以 NE=2,AQy 轴,PQ=AF= 1 2, 由题意知,AEMAQP,所以 ME=PQ= 1 2,所以 MN=NE-ME=2- 1 2= 3 2. 三、三、解答题解答题 23
6、(2019武汉,23,20 分)分)在ABC 中,ABC90 , AB n BC ,M 是 BC 上一点,连接 AM (1) 如图 1,若 n1,N 是 AB 延长线上一点,CN 与 AM 垂直,求证:BMBN (2) 过点 B 作 BPAM,P 为垂足,连接 CP 并延长交 AB 于点 Q 如图 2,若 n1,求证: CPBM PQBQ 如图 3,若 M 是 BC 的中点,直接写出 tanBPQ 的值(用含 n 的式子表示) 【解题过程】【解题过程】 (1)证明:延长)证明:延长 AM 交交 CN 于点于点 H, AM 与与 CN 垂直,垂直,ABC90 , BAMN90 ,BCNN90 ,
7、 BAMBCN n1,ABC90 , ABBC,ABCCBN ABMCBN, BMBN (2)证明:过点证明:过点 C 作作 CD/BP 交交 AB 的延长线于点的延长线于点 D,则,则 AM 与与 CD 垂直垂直 由(由(1) ,得) ,得 BMBD CD/BP, CPDB PQBQ ,即 CPBM PQBQ 1 n 提示:提示:延长 PM 到 N,使得 MNPM,易知PBMNCM,则CNMBPM90 , AB n BC ,BC2BM, 2 AB n BM ,设 PMMN1,则 PBCN2n,tanBPQtanNCP PN CN 2PM CN 2 2n 1 n 21 (2019益阳)已知,如
8、图,ABAE,ABDE,ECB=70,D=110,求证:ABCEAD. 第 21 题图 【解题过程】证明:由ECB=70得ACB=110. 图3 图2图1 AQ B M P C P QB M A C M N B A C H 图1 M N B A C D 图2 P QB M A C N 图3 AQ B M P C D=110, ACB=D. ABDE, CAB=E. 又AB=AE, ABCEAD. 19 (2019黄冈黄冈)如图,ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BFAE,DGAE,垂足分别为F, G.求证:BFDGFG. 【解题过程】【解题过程】 20(2019 安徽)安徽)
9、如图,点 E 在ABCD 内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设ABCD 的面积为 S,四边形 AEDF 的面积为 T,求 T S 的值. 【解题过程】【解题过程】解: (1)证明:如图 1,延长 FA 与 CB 交于点 M,ADBE, FAD=M,又AFBE,M=EBC,FAD=EBC,同理得FDA=ECB, 在BCE 和ADF 中,EBC=FAD,BC=AD,ECB=FDA, BCEADF; 4 分 E F C B A D (2)如图 2,连接 EF,由(1)知BCEADF,AF=BE,又 AFBE, 于是四边形 ABEF 为平行四边形,SAEF= SAEB,同理
10、 SDEF= SDEC, T= SAEB+ SDEC,另一方面,T= SAED+SADF= SACD+SBCE, S= SAEB+SDCE+ SAED+SBCE=2T,于是, T S =2.10 分 1.(2019乐山)乐山)如图,线段AC、BD相交于点E,DEAE ,CEBE .求证:CB. 证明:在AEB和DEC中, DEAE ,CEBE ,DECAEB AEBDEC,故CB. 2.(2019淄博)淄博)已知,在如图所示的“风筝”图案中,ABAD,ACAE,BAEDAC 求证:EC 证明:证明:BAEDAC,BAEEACDACEAC,即BACDAE.在ABC 和ADE 中, ABAD BA
11、CDAE ACAE ,ABCADE(SAS),EC 18 (20192019 浙江省温州市,浙江省温州市,1818,8 8 分)分) (本题满分 8 分) 如图,在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AB 边上一点,过点 C 作 CFAB 交 ED 的延长线于点 F B DA C E A B C D E E F C B A 图 2 D M E F C B A 图 1 D (1)求证:BDECDF; (2)当 ADBC,AE=1,CF=2 时,求 AC 的长 【解题过程】【解题过程】 (1) CFAB,B=FCD,BED=F. AD 是 BC 边上的中线,BD=CD,BDECDF;
12、(2)BDECDF,BE=CF=2,AB=AE+BE=1+2=3. ADBC,BD=CD,AC=AB=3. 25(2019泰州泰州,25 题题,12 分分) 如图,线段 AB8,射线 BGAB,P 为射线 BG 上一点,以 AP 为边作正方形 APCD, 且 C、D 与点 B 在 AP 两侧,在线段 DP 取一点 E,使EAPBAP,直线 CE 与线段 AB 相交于点 F(点 F 与点 A、 B 不重合). (1)求证:AEPCEP; (2)判断 CF 与 AB 的位置关系,并说明理由; (3)求AEF 的周长. 第 25 题图 【解题过程】【解题过程】(1)四边形 APCD 正方形,DP 平
13、分APC, PCPA,APDCPD45,又因为 PEPE, AEPCEP(SAS); (2)CFAB理由如下: AEPCEP,EAPECP,EAPBAPBAPFCP,FCP+ CMP90,AMFCMP,AMF+PAB90,AFM90,CFAB; 第 25 题答图(1) (3)过点 C 作 CNPB可证得 PCNAPB,CNPBBF,PNAB, AEPCEP,AECE, AE+EF+AFCE+EF+AFBN+AFPN+PB+AFAB+CN+AFAB+BF+AF2 AB16. 第 25 题答图(2) 23 (2019 绍兴绍兴 )如图 1 是实验室中的一种摆动装置,BC 在地面上,支架 ABC 是
14、底边为 BC 的等腰直角三角 形,摆动臂长 AD 可绕点 A 旋转,摆动臂 DM 可绕点 D 旋转,AD=30,DM=10. (1)在旋转过程中: 当 A,D,M 三点在同一直线上时,求 AM 的长; 当 A,D,M 三点在同一直角三角形的顶点时,求 AM 的长. (2)若摆动臂 AD 顺时针旋转 90 ,点 D 的位置由 ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处,连结 D1D2,如图 2, 此时AD2C=135 ,CD2=60,求 BD2的长. 【解题过程】【解题过程】 24 (2019苏州苏州,24,8)如图,ABC 中,点 E 在 BC 边上AE=AB,将线段 AC 绕点 A 旋转到 A
15、F 的位 置使得CAF=BAE.连接 EF,EF 与 AC 交于点 G. (1)求证:EF =BC;(2)若ABC=65ACB=28,求FGC 的度数 第 24 题图 【解题过程】【解题过程】 (1)证明:线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置, AC=AF, CAF=BAE. CAF+CAE=BA E+CAE. 即EAF=BAC 在ABC 和AEF 中, BAC= EAF,BAC=EAF, AC=AF, ABCAEF (SAS), EF=BC (2)解: AE=AB,AEB=ABC= 65, ABCAEF,AEF=ABC= 65, FEC=1 80 -AEB-AEF=1 80- 65-6
16、5= 50, FGC 是EGC 的外角,ACB=28, FGC=FEC+ACB =50+ 28=78. 18 (2019嘉兴)嘉兴)如图,在矩形ABCD中,点E,F在对角线BD请添加一个条件,使得结论“AECF”成立, 并加以证明 【答案】【答案】见解题过程见解题过程 【解题过程】添加条件:【解题过程】添加条件:BE=DF 或或 DE=BF 或或 AE/CF 或或AEB=DFC 或或DAE=BCF 或或AED=CFB 或或 BAE=DCF 或或DCF+DAE=90等等. 证明: 在矩形证明: 在矩形 ABCD 中,中, AB/CD, AB=CD, , ABE=CDF.BE=DF, , ABEC
17、DF (SAS) , ) , AE=CF. 24 (2019 山东烟台,山东烟台,24,11 分)分) 【问题探究】【问题探究】 (1)如图 1,ABC 和DEC 均为等腰直角三角形,90ACBDCE,点 B,D 在同一直线上,连接 AD,BD 请探究 AD 与 BD 之间的位置关系: ; 若10ACBC,2DCCE,则线段 AD 的长为 【拓展延伸】【拓展延伸】 (2)如图 2, ABC 和DEC 均为直角三角形,90ACBDCE,21AC ,7BC ,3CD , 1CE ,将DEC 绕点 C 在平面内顺时针旋转,设旋转角BCD为(0360 ),作直线 BD,连 接 AD,当点 B,D,E
18、在同一直线上时,画出图形,并求线段 AD 的长 【解题过程】【解题过程】 (1)本题的答案是)本题的答案是 A DB D 4 4 探究过程如下:探究过程如下: 因为因为ABC 和DEC 均为等腰直角三角形,90ACBDCE 所以所以CACB,CDCE,ACBBCDDCEBCD 所以所以ACDBCE, 在在ACD 与与BCE 中,中, 因为因为CACB,ACDBCE,CDCE, 所以所以ACDBCE, 所以所以CADCBE, 因为因为90ACB 所以所以90CADDABABC, 所以所以90CBEDABABC 即即90DABDBA 所以所以90ADB, 所以所以ADBD 由由可得可得ACDBCE
19、, 所以所以ADBE, 在在 RtDCE 中,由勾股定理得,中,由勾股定理得, 2222 ( 2)( 2)2DECECD, 在在 RtACD 中,由勾股定理得,中,由勾股定理得, 2222 ( 10)( 10)2 5ABACBC, 设设ADx,则,则BEx, 所以所以2BDBCDEx, 在在 RtABD 中,由勾股定理得,中,由勾股定理得, 222 ABADBD, 即即 222 (2 5)(2)xx 解得解得4x或或2x(舍去) ,(舍去) , 所以所以4AD , 即线段即线段 AD 的长为的长为 4 (2)解:情况)解:情况 1:当:当0180时,点时,点 B,D,E 在同一直线上时的图形如
20、图(在同一直线上时的图形如图(1)所示,)所示, 因为因为90ACBDCE 所以所以ACBBCDDCEBCD 所以所以ACDBCE, 因为因为 21 3 7 AC BC , 3 3 1 DC CE , 所以所以 ACDC BCCE 在在ACD 与与BCE 中,中, 因为因为 ACDC BCCE ,ACDBCE, 所以所以ACDBCE, 所以所以CADCBE,3 ADAC BEBC , 所以所以3ADBE 因为因为90ACB 所以所以90CADDABABC, 所以所以90CBEDABABC 即即90DABDBA 所以所以90ADB, 在在 RtDCE 中,由勾股定理得,中,由勾股定理得, 222
21、2 1( 3)2DECECD, 在在 RtACD 中,由勾股定理得,中,由勾股定理得, 2222 ( 21)( 7)2 7ABACBC, 设设BEx,则,则33ADBEx, 所以所以2BDBCDEx, 在在 RtABD 中,由勾股定理得,中,由勾股定理得, 222 ABADBD, 即即 222 (2 7)( 3 )(2)xx 解得解得3x 或或2x(舍去) ,(舍去) , 所以所以33 3ADBE, A C B E D 第 24 题答图 (1) 即当即当0180时,点时,点 B,D,E 在同一直线上时,线段在同一直线上时,线段 AD 的长为的长为3 3 情况情况 2:当:当180360时,点时
22、,点 B,D,E 在同一直线上时的图形如图(在同一直线上时的图形如图(2)所示,)所示, 因为因为90ACBDCE 所以所以ACBACEDCEACE 所以所以ACDBCE, 因为因为 21 3 7 AC BC , 3 3 1 DC CE , 所以所以 ACDC BCCE 在在ACD 与与BCE 中,中, 因为因为 ACDC BCCE ,ACDBCE, 所以所以ACDBCE, 所以所以CADCBE,3 ADAC BEBC , 所以所以3ADBE 因为因为90ACB 所以所以90CADDABABC, 所以所以90CBEDABABC 即即90DABDBA 所以所以90ADB, 在在 RtDCE 中,
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