三角形（一）讲义+同步练习（学生版+教师版）

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1、三角形三角形（一）（一）讲义讲义 例题讲解一 1 （1）如图，在ABC 中，B=40，C=80，ADBC 于 D，且 AE 平分BAC，求EAD 的度数 （2）上题中若B=40，C=80改为CB，其他条件不变，请你求出EAD 与B、C 之间的数列关 系？并说明理由 【变式 1】三角形中至少有一个角不小于_度 【变式 2】如图，ACBC,CDAB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？ 2.在ABC 中，ABCC，BD 是 AC 边上的高，ABD30，则C 的度数是多少? 3.一个三角形一个内角的度数是 108，这个三角形是（ ）三角形；一个三角形最大内角小 于 90，这个三角形是（ ）三角形.

2、 【变式】 一个三角形的两边长为 5cm 和 4cm， 第三边的长度跟其中一条边等长， 则围成这个三角形至少需要 （ ） cm 长的绳子，最多需要（ ）cm 长绳子（接头忽略不计）. 【变式】 三角形的三边长为 2， x-3， 4， 且都为整数， 则共能组成 个不同的三角形.当 x 为 时， 所组成的三角形周长最大. 5.如图，O 是ABC 内一点，连接 OB 和 OC (1)你能说明 OB+OCAB+AC 的理由吗? (2)若 AB5，AC6，BC7，你能写出 OB+OC 的取值范围吗? 【变式】若五条线段的长分别是 1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,则以其中三条线段为边可构成_个三角

3、形. 6.在ABC 中， ABAC， AC 边上的中线 BD 把ABC 的周长分为 12cm 和 15cm 两部分， 求三角形的各边长 【变式变式】在ABC 中，B=63，C=46，AD 和 AE 分别是它的高和角平分线，求DAE 的度数 例题讲解二 1. 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正 确的？哪些是错误的？ (1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角； (3)两直线平行，同位角相等； (4)，两条直线平行吗? (5)鸟是动物； (6)若，求的值； (7)若，则= ab 2 4a a 22 abab 【变式】下列语句中，哪些是命题，哪

4、些不是命题? (1)若，则； (2)三角形的三条高交于一点； (3)在 ABC 中，若 ABAC，则CB 吗? (4)两点之间线段最短； (5)解方程； (6)123 2.下列命题中， （1）一个锐角的余角小于这个角； （2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等； （3）a，b，c 是直线，若 ab，bc，则 ac； （4）若 a2+b2=0，则 a，b 都为 0 是假命题的有 （请填序号） 【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ） 对顶角相等 同位角相等 4 的平方根是 2 若 ab，则-2a-2b A3 个 B1 个 C4 个 D2 个 3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的

5、形式： (1)三条边对应相等的两个三角形全等； (2)在同一个三角形中，等角对等边； (3)对顶角相等； (4)同角的余角相等； 【变式】 （2015 春昌江县校级期中）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点这个命题的条件 是 ，结论是 4.已知，如图，1=ACB，2=3，FHAB 于 H问 CD 与 AB 有什么关系？ ab- -ba 2 230 xx 【变式】如图所示，E 在直线 DF 上，B 在直线 AC 上，若AGB=EHF，C=D，试判断A 与F 的关系，并 说明理由 5.如图，已知三角形 ABC 的三个内角平分线交于点 I，IHBC 于 H，试比较CIH 和BID 的大小 6、如图

6、，已知直线 ABCD，求A+C 与AEC 的大小关系并说明理由 7、写出下面文字命题的证明过程（要求：画出图形，写出已知、求证及证明的推理过程） 求证：两条平行线被第三条直线所截构成的一对同位角的平分线互相平行. 已知： 求证： 证明： 例题讲解三 1、请观察下图中的 6 组图案，其中是全等形的是_. 【变式 1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设 ABC 和A1B1C1是全等(合同)三角形，点 A 与点 A1对应，点 B 与点 B1对应，点 C 与点 C1对应，当沿周界 ABCA，及 A1B1C1A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合

7、同三角形(如图 1)，若运动方向 相反，则称它们是镜面合同三角形(如图 2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重 合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转 180，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角 形的是( ) 2、如图，ABCAEF，那么与EAC 相等的角是（ ） AACB B. BAF C. CAF D. AFE 3、如图，ABDEBC，AB=3cm，BC=6cm， （1）求 DE 的长 （2）若 A、B、C 在一条直线上，则 DB 与 AC 垂直吗？为什么？ 【变式】下列命题中： （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）在两个全等三角形中，相等的角是

8、对应角， 相等的边是对应边；（3） 全等三角形对应边上的高、 中线及对应角平分线分别相等， 其中真命题的个数有 （ ） A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 选 C 4、 如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的，若1232853， 的度数是_. 【变式】如图，在ABC 中，A:ABC:BCA 3:5:10，又MNCABC，则BCM：BCN 等于（ ） A1:2 B1:3 C2:3 D1:4 三角形三角形（一）参考答案（一）参考答案 例题讲解一 1 （2016 春定陶县期末） （1）如图，在ABC 中，B=40，C=80，ADBC 于 D，且 AE

9、平分 BAC，求EAD 的度数 （2）上题中若B=40，C=80改为CB，其他条件不变，请你求出EAD 与B、C 之间的数列关 系？并说明理由 【思路点拨】 根据三角形内角和定理求出BAC， 求出CAE， 根据三角形内角和定理求出CAD， 代入EAD= CAECAD 求出即可 【答案与解析】 解： （1）B=40，C=80， BAC=180BC=60， AE 平分BAC， CAE= 1 2 BAC=30， ADBC， ADC=90， C=80， CAD=90C=10， EAD=CAECAD=3010=20； （2）三角形的内角和等于 180， BAC=180BC， AE 平分BAC， CAE=

10、 1 2 BAC= 1 2 （180BC） ， ADBC， ADC=90， CAD=90C， EAD=CAECAD= 1 2 （180BC）（90C）= 1 2 C 1 2 B 【总结升华】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出 CAE 和CAD 的度数，题目比较典型，求解过程类似 举一反三：举一反三： 【变式 1】三角形中至少有一个角不小于_度 【答案】【答案】60 【变式 2】如图，ACBC,CDAB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？ 【答案】【答案】4,2 2.在ABC 中，ABCC，BD 是 AC 边上的高，ABD30，则C 的度数是多少? 【思路点拨

11、】按ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论 【答案与解析】 解：分两种情况讨论： （1）当ABC 为锐角三角形时，如图所示，在ABD 中， BD 是 AC 边上的高(已知)， ADB90(垂直定义) 又 ABD30(已知)， A180-ADB-ABD180-90-3060 又 A+ABC+C180(三角形内角和定理)， ABC+C120， 又 ABCC， C60 (2)当ABC 为钝角三角形时，如图所示在直角ABD 中， ABD30(已知)，所以BAD60 BAC120 又 BAC+ABC+C180(三角形内角和定理)， ABC+C60 C30 综上，C 的度数为 60或 30 【

12、总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题这就要求解答者必须具备根据 条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应 该注意的一个重要环节 类型二、三角形的分类类型二、三角形的分类 3.一个三角形一个内角的度数是 108，这个三角形是（ ）三角形；一个三角形最大内角小 于 90，这个三角形是（ ）三角形. 【答案】钝角；锐角 举一反三：举一反三： 【变式】 一个三角形的两边长为 5cm 和 4cm， 第三边的长度跟其中一条边等长， 则围成这个三角形至少需要 （ ） cm 长的绳子，最多需要（ ）cm 长绳子（接头忽略不计

13、）. 【思路点拨】对于所给边长要分类讨论：当与 4cm 的边等长时，需要绳子的长度最短；当与 5cm 的边等长时， 需要绳子的长度最长. 【答案】13；14 类型三、三角形的三边关系类型三、三角形的三边关系 4.（2014甘肃模拟）已知 a，b，c 是三角形的三边长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；若 a=5，b=4， c=3，求这个式子的值 【思路点拨】根据三角形的三边关系判断出 a-b-c，b-c-a 及 c-a-b 的符号，再根据绝对值的性质化简，然后将 a=5，b=4，c=3 代入即可 【答案与解析】解：a、b、c 是三角形的三边长， a-b-c0，b-c-a0，c

14、-a-b0， 原式=-a+b+c-b+a+c-c+a+b =a+b+c 当 a=5，b=4，c=3 时， 原式=5+4+3=12 【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边是解答此题的关键 举一反三：举一反三： 【变式】 三角形的三边长为 2， x-3， 4， 且都为整数， 则共能组成 个不同的三角形.当 x 为 时， 所组成的三角形周长最大. 【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，可得 5x9，因为 x 为整数，故 x 可取 6，7，8；当 x=8 时， 组成的三角形周长最大为 11). 5.如图，O 是ABC 内一点，连接

15、OB 和 OC (1)你能说明 OB+OCAB+AC 的理由吗? (2)若 AB5，AC6，BC7，你能写出 OB+OC 的取值范围吗? 【答案与解析】 解：(1)如图，延长 BO 交 AC 于点 E，根据三角形的三边关系可以得到， 在ABE 中，AB+AEBE； 在EOC 中，OE+ECOC， 两不等式相加，得 AB+AE+OE+ECBE+OC 由图可知，AE+ECAC，BEOB+OE 所以 AB+AC+OEOB+OC+OE，即 OB+OCAB+AC (2)因为 OB+OCBC，所以 OB+OC7 又因为 OB+OCAB+AC，所以 OB+OC11，所以 7OB+OC11 【总结升华】充分利

16、用三角形三边关系的性质进行解题 举一反三：举一反三： 【变式】若五条线段的长分别是 1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,则以其中三条线段为边可构成_个三角形. 【答案】3. 类型四、三角形中的重要线段类型四、三角形中的重要线段 6.在ABC 中， ABAC， AC 边上的中线 BD 把ABC 的周长分为 12cm 和 15cm 两部分， 求三角形的各边长 【思路点拨】因为中线 BD 的端点 D 是 AC 边的中点，所以 ADCD，造成两部分不等的原因是 BC 边与 AB、AC 边 不等，故应分类讨论 【答案与解析】 解：如图(1)，设 ABx，ADCD (1)若 AB+AD12，即，所以x

17、8， 即 ABAC8，则 CD4故 BC15-411 此时 AB+ACBC，所以三边长为 8，8，11 (2)如图(2)，若 AB+AD15，即，所以 x10 即 ABAC10，则 CD5故 BC12-57 显然此时三角形存在，所以三边长为 10，10，7 综上所述此三角形的三边长分别为 8，8，11 或 10，10，7 【总结升华】BD 把ABC 的周长分为 12cm 和 15cm 两部分，哪部分是 12cm，哪部分是 15cm，问题中没有交代， 因此，必须进行分类讨论 举一反三举一反三： 【变式变式】 （2015 春焦作校级期中）在ABC 中，B=63，C=46，AD 和 AE 分别是它的

18、高和角平分线，求 DAE 的度数 【答案】【答案】 解：B=63，C=46， BAC=180-B-C=180-63-46=71， AE 是三角形的平分线， BAE= BAC= 71=35.5， AD 是三角形的高， BAD=90-B=90-63=27， 1 2 x 1 12 2 xx 1 15 2 xx DAE=BAE-BAD=35.5-27=8.5 例题讲解二 1. 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正 确的？哪些是错误的？ (1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角； (3)两直线平行，同位角相等； (4)，两条直线平行吗? (5)鸟是

19、动物； (6)若，求的值； (7)若，则= 【答案与解析】 句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的， （7）判断是错误的 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句. 【总结升华】主要考察命题的定义. 举一反三：举一反三： 【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题? (1)若，则； (2)三角形的三条高交于一点； (3)在 ABC 中，若 ABAC，则CB 吗? (4)两点之间线段最短； (5)解方程； (6)123 【答案】 （1） （2） （4） （6）是命题， （3） （5）不是命题

20、2. （2016 春南陵县期末）下列命题中， （1）一个锐角的余角小于这个角； （2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等； （3）a，b，c 是直线，若 ab，bc，则 ac； （4）若 a2+b2=0，则 a，b 都为 0 是假命题的有 （请填序号） 【思路点拨】利用锐角的定义、平行线的性质、垂直的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项 【答案】 （1）(3) 【解析】解： （1）一个锐角的余角小于这个角，错误，是假命题； （2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等，正确，是真命题； （3）a，b，c 是直线，若 ab，bc，则 ac，故错误，是假命题； （4）若 a2+b2=0，则 a，

21、b 都为 0，正确，为真命题， ab 2 4a a 22 abab ab- -ba 2 230 xx 【总结升华】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解锐角的定义、平行线的性质、垂直的定义等知 识，难度不大 举一反三：举一反三： 【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ） 对顶角相等 同位角相等 4 的平方根是 2 若 ab，则-2a-2b A3 个 B1 个 C4 个 D2 个 【答案】B 3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式： (1)三条边对应相等的两个三角形全等； (2)在同一个三角形中，等角对等边； (3)对顶角相等； (4)同角的余角相等； 【答案与解析】 （

22、1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命 题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”可以改写成“如果两个三角形 有三条边对应相等，那么这两个三角形全等” （2） “等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。 可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角 相等， 那么这两个角所对的边也相等。 ”值得注意的是， 命题中包含了一个前提条件： “在同一个三角形中”， 在改写时不能遗漏 （3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是对 顶角，那么这两个角相等” （4）条件

23、是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是同 一个角的余角，那么这两个角相等” 举一反三：举一反三： 【变式】 （2015 春昌江县校级期中）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点这个命题的条件 是 ，结论是 【答案】两条直线相交，它们只有一个交点 类型二、证明举例类型二、证明举例 （1 1）平行线的性质与判定进行几何证明：）平行线的性质与判定进行几何证明： 4.已知，如图，1=ACB，2=3，FHAB 于 H问 CD 与 AB 有什么关系？ 【答案与解析】 解：CDAB；理由如下： 1=ACB， DEBC，2=DCB， 又2=3， 3=DCB， 故

24、CDFH， FHAB CDAB 【总结升华】本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用. 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，E 在直线 DF 上，B 在直线 AC 上，若AGB=EHF，C=D，试判断A 与F 的关系，并 说明理由 【答案】A=F 证明：AGB=DGF，AGB=EHF， DGF=EHF， BDCE； C=ABD， 又C=D， D=ABD， DFAC； A=F （2 2）与三角形有关的几何证明：）与三角形有关的几何证明： 5.如图，已知三角形 ABC 的三个内角平分线交于点 I，IHBC 于 H，试比较CIH 和BID 的大小 【思路点拨】有角平分线，必然有相等的角；其次有垂

25、直，所以直角三角形中两锐角互余，把这些条件综合， 经过推理不难找出要求两个角的关系. 【答案与解析】 AI、BI、CI 为三角形 ABC 的角平分线， BAD=BAC，ABI=ABC，HCI=ACB BAD+ABI+HCI =BAC+ABC+ACB =（BAC+ABC+ACB） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 =180 =90 BAD+ABI=90-HCI IHBC，IHC=90 90-HCI=CIH， CIH=BAD+ABI BID=BAD+ABI（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和） BID=CIH 【总结升华】 考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：

26、三角形三个内角的和为 180， 在推导角的关系时， 一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的 和. （3 3）添加辅助线的方法进行几何证明：）添加辅助线的方法进行几何证明： 6、如图，已知直线 ABCD，求A+C 与AEC 的大小关系并说明理由 【思路点拨】过 E 作 EFAB，根据平行的传递性，则有 EFCD，再根据两直线平行内错角相等的性质可求 【答案与解析】 解：A+C=AEC 理由：过 E 作 EFAB， EFAB， A=AEF（两直线平行内错角相等） ， 又ABCD，EFAB， EFCD， C=CEF（两直线平行内错角相等） ，

27、 又AEC=AEF+CEF， AEC=A+C 【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线，然后根据两直线平行内错角相等的性质解此类题 (4)(4)文字命题的证明：文字命题的证明： 7、写出下面文字命题的证明过程（要求：画出图形，写出已知、求证及证明的推理过程） 求证：两条平行线被第三条直线所截构成的一对同位角的平分线互相平行. 已知： 求证： 证明： 1 2 【思路点拨】根据题意画出图形，写出已知与求证，证明过程为：由 AM 与 BN 平行，利用两直线平行 同位角相等得到一对角相等，再由 AE 与 BF 为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到一对同位 角相等，利用同位角相等两直线平行可得出 A

28、E 与 BF 平行，得证 【答案与解析】解：已知，AMBN，AE 为CAM 的平分线，BF 为ABN 的平分线，如图所示， 求证：AEBF 证明：AMBN（已知） ， CAM=ABN（两直线平行同位角相等） ， AE 为CAM 的平分线，BF 为ABN 的平分线（已知） ， CAE=CAM，ABF=ABN（角平分线定义） ， CAE=ABF（等量代换） ， AEBF（同位角相等两直线平行） 【总结升华】此题考查了平行线的判定与性质，对于文字叙述型题，首先画出相应的图形，写出已知与求证， 然后分析，最后写出证明过程 例题讲解三 1、请观察下图中的 6 组图案，其中是全等形的是_. 【答案】【答案

29、】 （1） （4） （5） （6） ； 【解析解析】 （1） （5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的， （4）是将其中一个图形翻折后得到另一 个图形的， （6）是将其中一个图形旋转 180再平移得到的， （2） （3）形状相同，但大小不等. 【总结升华总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等. 举一反三：举一反三： 1 2 1 2 【变式 1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设 ABC 和A1B1C1是全等(合同)三角形，点 A 与点 A1对应，点 B 与点 B1对应，点 C 与点 C1对应，当沿周界 ABC

30、A，及 A1B1C1A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图 1)，若运动方向 相反，则称它们是镜面合同三角形(如图 2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重 合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转 180，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角 形的是( ) 【答案】【答案】B； 提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转 180，B 答案中的两个三 角形经过翻转 180就可以重合，故选 B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合. 类型二、类型二、全等三角形的对应边，对应角全等三角形的对应边，对应角 2、（2016

31、 春新疆期末）如图，ABCAEF，那么与EAC 相等的角是（ ） AACB B. BAF C. CAF D. AFE 【答案】【答案】B 【解析解析】ABCAEF，BACEAF，BAC-CAFEAF-CAF， 即BAF=EAC. 【总结升华总结升华】全等三角形的对应顶点的字母放在对应位置上容易确定出对应边或对应角. 类型三、类型三、全等三角形性质全等三角形性质 3、 （2014 秋盐城期中）如图，ABDEBC，AB=3cm，BC=6cm， （1）求 DE 的长 （2）若 A、B、C 在一条直线上，则 DB 与 AC 垂直吗？为什么？ 【思路点拨】【思路点拨】 （1）根据全等三角形对应边相等可得

32、 BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根据 DE=BDBE 代入数据进行 计算即可得解； （2）DBAC根据全等三角形对应角相等可得ABD=EBC，又 A、B、C 在一条直线上，根据 平角的定义得出ABD+EBC=180，所以ABD=EBC=90，由垂直的定义即可得到 DBAC 【答案【答案与解析与解析】 解： （1）ABDEBC， BD=BC=6cm，BE=AB=3cm， DE=BDBE=3cm； （2）DBAC理由如下： ABDEBC， ABD=EBC， 又ABD+EBC=180， ABD=EBC=90， DBAC 【总结升华】【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形

33、的对应边相等，全等三角形的对应角相等也考 查了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的关键 举一反三：举一反三： 【变式】 （2014 春吉州区期末）下列命题中： （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2） 在两个全等三角形中， 相等的角是对应角，相等的边是对应边； （3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中 真命题的个数有（ ） A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 【答案】【答案】C； 提示： （1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误； （2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对

34、应角，相等的边是对应边，故（2） 错误； （3） 全等三角形对应边上的高、 中线及对应角平分线分别相等，故 （3） 正确 综上可得只有 （3） 正确 故 选 C 【高清课堂：全等三角形的概念和性质【高清课堂：全等三角形的概念和性质 例例 1414】 4、 如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的，若1232853， 的度数是_. 【思路点拨】【思路点拨】 （1）由1，2，3 之间的比例关系及利用三角形内角和可求出1，2，3 的度数； （2）由 全等三角形的性质求EBC，BCD 的度数； （3）运用外角求的度数. 【答案】【答案】80 【解析解析】1232853

35、，设128，25，33， 285336180，5 即1140，225，315 ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的， ABEADCABC 2ABE，3ACD EBCBCD2223503080 【总结升华总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题. 见“比例”设未知数是比较常用的解题思路. 举一反三：举一反三： 【变式】如图，在ABC 中，A:ABC:BCA 3:5:10，又MNCABC，则BCM：BCN 等于（ ） A1:2 B1:3 C2:3 D1:4 【答案】【答案】D； 提示：设A3，ABC5，BCA10

36、，则 351018 180， 10. 又因为MNCABC， 所以NABC50， CNCB， 所以NCBN50， ACBMCN100，BCN180505080，所以BCM：BCN20：801：4. xxx xxxxx x xxxxxxx x 同步练习一 一、选择题一、选择题 1 （2015杭州模拟）已知三角形的两边长分别是 4 和 7，则这个三角形的第三条边的长可能是（ ） A.12 B.11 C.8 D.3 2一个三角形有个内角是 90 0，这个三角形是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 3一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为 5 和 9，则满足上述条件的

37、三角形个数为 ( ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 4 （2016余干县三模）如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则1+2+3 等于（ ） A90 B120 C150 D180 5如图，ACBC，CDAB，DEBC，则下列说法中错误的是 ( ) A在ABC 中，AC 是 BC 边上的高 B在BCD 中，DE 是 BC 边上的高 C在ABE 中，DE 是 BE 边上的高 D在ACD 中，AD 是 CD 边上的高 6用 3cm、5cm、7cm、9cm、11cm 的五根木棒可组成不同的三角形的个数是 ( ) A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 7(台湾全区)如图所示为一张方格纸，纸上

38、有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角 形面积为平方公分，则此方格纸的面积为( )平方公分 A11 B12 C13 D14 二二、填空题填空题 8若 a、b、c 表示ABC 的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|_ 9三角形的两边长分别为 5 cm 和 12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为_ 21 4 10一个三角形中最少有 个锐角，最多有 个钝角 11 （2016 春滕州市期末）如图，AD 是ABC 的高，BE 是ABC 的内角平分线，BE、AD 相交于点 F，已 知BAD=40，则BFD= 12.在数学活动中， 小明为了求的值(结

39、果用 n 表示)， 设计了如图所示的几何图形 请 你利用这个几何图形求_ 13 （2015 春无锡校级期中）如图，ADBC 于 D，那么图中以 AD 为高的三角形有 个 三、解答题三、解答题 14 （2014 春苏州期末）如图，已知ABC 的周长为 21cm，AB=6cm，BC 边上中线 AD=5cm，ABD 周长为 15cm， 求 AC 长 15取一张正方形纸片，把它裁成两个等腰直角三角形，取出其中一张如图，再沿着直角边上的中线 AD 按图 所示折叠，则 AB 与 DC 相交于点 G试问：AGC 和BGD 的面积哪个大?为什么? F A B C D E 234 1111 2222 1 2n

40、234 1111 2222 1 2n 16已知 AD 是ABC 的高，BAD70，CAD20， （1）求BAC 的度数 （2）ABC 是什么三角形 【答案与解析】【答案与解析】 一、选择题一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】解：设第三边的长为 xcm，根据三角形的三边关系得： 74x7+4， 即 3x11， 故选：C 2. 【答案】C； 3. 【答案】B； 【解析】5+914，所以第三边长应为偶数，大于 4 而小于 14 的偶数有 4 个，所以 4. 【答案】D； 【解析】 图中是三个等边三角形， 1=18060ABC=120ABC， 2=18060ACB=120 ACB，3=18060B

41、AC=120BAC，ABC+ACB+BAC=180，1+2+3=360 180=180 5. 【答案】C； 【解析】三角形高的定义. 6. 【答案】C； 【解析】从这些数据中任取三个，并且满足三角形三边关系的有 7 种:3，5 与 7、3，7 与 9、3，9 与 11、 5，7 与 9、5，7 与 11、7，9 与 11、5,9 与 11. 7. 【答案】B； 【解析】设每个小正方形的边长为 a，则有 16a 24 a2 a23 a2 a24 aa2 ，解得 a 2 ，而整个方格纸的面积为 16a 212（平方公分）. 二、填空题二、填空题 8. 【答案】； 【解析】根据三角形的三边关系可以去

42、掉绝对值，再对原式进行化简 9.【答案】29cm； 10.【答案】2；1； 11.【答案】65； 21 4 3 4 abc 【解析】AD 是高线，ADB=90，BAD=40，ABC=50，BE 是角平分线，FBD=25， 在FBD 中，BFD=1809025=65 12 【答案】； 【解析】解：如图所示，设大三角形的面积为 1，然后不断地按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的 中线把它分成两个面积相等的三角形可知，表示组成面积为 1 的大三角形的 n 个小 三角形的面积之和，因此 13.【答案】6. 【解析】解：ADBC 于 D， 而图中有一边在直线 CB 上，且以 A 为顶点的三角形有 6

43、 个， 以 AD 为高的三角形有 6 个 故答案为：6. 三、解答题三、解答题 14.【解析】解：AB=6cm，AD=5cm，ABD 周长为 15cm， BD=1565=4cm， AD 是 BC 边上的中线， BC=8cm， ABC 的周长为 21cm， AC=2168=7cm 故 AC 长为 7cm 15.【解析】 解：BDCD， 16.【解析】 解： （1）当高 AD 在ABC 的内部时(如图(1) 因为BAD70，CAD20，所以BACBAD+CAD70+2090 当高 AD 在ABC 的外部时(如图(2) 因为BAD70，CAD20， 所以BACBAD-CAD70-2050 1 1 2

44、n 234 1111 2222 1 2n 234 1111 2222 1 2n 1 1 2n ABDACD SS ABDADGACDADG SSSS ADGBGD SS 综上可知BAC 的度数为 90或 50 （2）如图(1)，当 AD 在ABC 的内部时， 因为BACBAD+CAD70+2090， 所以ABC 是直角三角形 如图(2)，当 AD 在ABC 的外部时， 因为BACBAD-CAD70-2050， ABC90-BAD90-7020， 所以ACB180-ABC-BAC180-50-20110 所以ABC 为钝角三角形 综上可知，ABC 是直角三角形或钝角三角形 同步练习二 一、选择题

45、一、选择题 1下列命题中，真命题的个数是 （ ） 全等三角形的周长相等 全等三角形的对应角相等 全等三角形的面积相等 面积相等的两个三角形全等 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2. （2016 春哈尔滨校级月考）如图，ABCADE，若B=80，C=30，DAB：DAC=4：3，则 EFC 的度数为（ ） A30 B40 C70 D80 3.下列命题中：形状相同的两个三角形是全等形；在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应 边；全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 4ABCDEF，且ABC 的

46、周长为 100，A、B 分别与 D、E 对应，且 AB35，DF30，则 EF 的 长为（ ） A35 B30 C45 D55 5.（2014 秋红塔区期末）如图，已知ACEDFB，下列结论中正确的个数是（ ） AC=DB；AB=DC；1=2；AEDF；SACE=SDFB；BC=AE；BFEC cmcmcm cmcmcmcm 6.如图，ABEACD,ABAC, BECD, B50,AEC120，则DAC 的度数为 （ ） A.120 B.70 C.60 D.50 二、填空题二、填空题 7. （2016 春常熟市期末）如图，ABCADE，BC 的延长线交 DE 于点 G，若B=24，CAB=54， DAC=16，则DGB= 8. 如图，ABCADE，如果 AB5，BC7，AC6，那么 DE 的长是_. 9. 如图，ABCADE，则，AB ，E ；若BAE120，BAD40，则BAC _. 10.（2014梅列区质检）如图，ACBACB，BCB=30，则ACA的度数为 _ 11. ABC 中，ACB432，且ABCDEF，则DEF_