2021年浙教版八年级上数学全册知识点总结
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1、1 / 14 八年级知识点总结八年级知识点总结 第一章三角形的初步知识第一章三角形的初步知识 三角形 1、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下: 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下: 直角三角形(有一个角为直角的三角形) 三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形) 斜三角形 钝角三角形(有一个角为钝角的三角形) 把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三 角形。 注:三角形具有稳定性。 2、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于 180。 推论: 直角三角
2、形的两个锐角互余。 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。 3、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。 推论:三角形的两边之差小于第三边。 4、三角形的面积 三角形的面积= 2 1 底高 注:同底等高的三角形面积相等。 三角形中的主要线段 1、三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 2、这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须 2 / 14 明确三点: (1)三角
3、形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线 在当ABC 是锐角三角形时, 三条高都是在三角形内部, 钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上, 这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3) 在画三角形的三条角平分线、 中线、 高时可发现它们都交于一点。 在以后我们可以给出具体证明。 今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的 交点叫做三角形的垂心。 全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形
4、叫做全等三角形。 。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理: (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS” ) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA” ) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS” ) 。 (4) 角角边定理: 有两个角和其中一个角的对应边相等的两个三角形全等 (可简写成 “角角边” 或 “AAS” ) 直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有 HL 定理(斜边、直角边定理) :有斜边和一条直角边 对应相等
5、的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL” ) 3、全等变换 只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种: (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折 180,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 4.线段中垂线和角平分线的性质,基本尺规作图:作角的平分线,线段的中垂线,作一个角等于已知 角,按给定条件作三角形。 第二章第二章 特殊三角形特殊三角形 特殊三角形的定义、性质及判定 3 / 14 三角形类型 定义 性质 判定 等
6、腰三角形 有两条边相等的三角形是 等腰三角形,其中相等的 两条边分别叫做腰,另一 条边叫做底边,两腰的夹 角叫顶角,腰和底边的夹 角为底角 1、 等腰三角形是对称图 形,顶角平分线所在直 线为它的对称轴 2、 等腰三角形两底角相 等,即在同一个等腰三 角形中,等边对等角 3、 等腰三角形的顶角平 分线,底边上的中线和 高线互相重合,简称等 腰三角形的三线合一 1、 (定义法)有两条边相等 的三角形是等腰三角形 2、如果一个三角形有两个 角相等,那么这个三角形是 等腰三角形,即,在同一个 三角形中,等角对等边 等边三角形 三条边都相等的三角形是 等边三角形,它是特殊的 等腰三角形,也叫正三角 形
7、 1、 等边三角形的内角都 相等,且为 60 2、 等边三角形是轴对称 图形,且有三条对称轴 3、 等边三角形每条边上 的中线,高线和所对角 的角平分线三线合一, 他们所在的直线都是 等边三角形的对称轴 1、 三条边都相等的三角形 是等边三角形 2、 三个内角都等于 60的 三角形是等边三角形 3、 有一个角是 60的等腰 三角形是等边三角形 直角三角形 有一个角是直角的三角形 是直角三角形,即“Rt” 1、 直角三角形的两锐角 互余 2、 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 3、 直角三角形中 30角 所对的直角边等于斜 边的一半 4、 直角三角形中两条直 角边的平方和等于斜 边的平方(
8、勾股定理) 1、 有一个角是直角的三角 形是直角三角形 2、 有两个角互余的三角形 是直角三角形 3、 如果一个三角形中两条 边的平方和等于第三条 边的平方,那么这个三 角形是直角三角形(勾 股定理逆定理) 等腰三角形等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊 的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两个底角相等; (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质: 等边三角形的三个内角都
9、相等,并且每一个角都等于 60。 5. 等边三角形的判定: (1)三个角都相等的三角形是等边三角形; (2)有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。 6. 含 30角的直角三角形的性质: 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4 / 14 等边三角形等边三角形 (1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫等边三角形. (2)等边三角形的性质: 等边三角形的三个角都相等,并且每个角都是 60 ; 等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且每一条边上都有三线合一,因此等边三角形是轴对称 图形,它有三条对称轴;而等腰三角形只有一条对称轴. (3)等边三角形的判
10、定 三条边都相等的三角形是等边三角形; 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形; 有两个角都等于 60 的三角形是等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形. (4)两个重要结论 在直角三角形中,如果一个锐角是 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,那么它所对的锐角等于 30 . 两个重要结论的数学解释: 已知:如图 4,在ABC 中,C90 ,则: 如果 AB2BC,那么A30 ; 如果A30 ,那么 AB2BC. 直角三角形直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类:如果三角形
11、中有一个角是直角,那么这个三角形叫直角三角形。通 常用符号“Rt”表示“直角三角形” ,其中直角所对的边称为直角三角形的斜边,构成直角的两边称为直 角边。 如果ABC 是直角三角形, 习惯于把以 C 为顶点的角当成直角。 用三角 A、 B、 C 对应的小写字母 a、 b、c 分别表示三个角的对边。 如果 ABAC 且A90,显然这个三角形既是等腰三角形,又是直角三角形,我们称之为等腰直角 三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说 理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角
12、形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5 在直角三角形中如果一个锐角是 30,则它所对的直角边等于斜边的一半” 。 难点: 1 在直角三角形中如何正确添加辅助线 通常有两种辅助线:斜边上的高线和斜边上的中线。 5 / 14 勾股定理及逆定理 (一)勾股定理及其证明 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言:在ABC 中,C=90(已知) 222 cba 证明:进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形,然后进行拼接,利用面积法理解勾股 定理. ab b b ba a a cc cc (二)勾股定理的应用: (1)已知两边(或两
13、边关系)求第三边; (2)已知一边求另两边关系; (3)证明线段的平方关系; (4)作长为n的线段. (三)勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 222 cba那么这个三角形是直角三角形. 1勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形,然后通过证全等完成; 2勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一,与以前学的判定方法不同,它是用代数运算来证 明几何问题,这是数形结合思想的最好体现,今后我们会经常用到. 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤: 1先找出最大边(如 c) ; 2计算 2 c与 22 ba,并验证是否相等. 若 222 bac,则ABC 是直角三角形.
14、若 222 bac,则ABC 不是直角三角形. 注意: (1)ABC 中,若 222 cba,则C=90;而 222 acb时,则A= 90; 222 bca时,则B=90. (2)若 222 cba,则C 为钝角,则ABC 为钝角三角形. 若 222 cba,则C 为锐角,但ABC 不一定为锐角三角形. (四)勾股数:能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数(或勾股弦数) ,如 3、4、5;6、 8、10;5、12、13;8、15、17 等. 6 / 14 第三章第三章 一元一次不等式一元一次不等式 一:不等式的概念 1. 不等式: 用“”(或“”),“”(或“”)等不等号表示大小
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