辽宁省大连市2020-2021学年高一上期末考试数学试卷（含答案）

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1、 1 2020202020202121 学年第学年第一一学期期末考试试卷学期期末考试试卷 高高一一数学数学 命题人：安道波 修日江 张甲乾 校对人：安道波 注意事项：注意事项： 1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效. 2.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟. 第 I 卷 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4 40 0 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求. . （1）向量ab=是| | |ab=的（ ） （A）

2、. 充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （2）若( 1,3)A= ， 2 log (2)Bx yx=，则()AB = R （A）3xx （B）12xx （C）23xx （D）3x x （3）若样本平均数为x，总体平均数为，则（ ） （A）x= （B）x （C） 是 x的估计值 （D）x是 的估计值 （4）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF( ) （A） 31 44 ABAD+ （B） 13 44 ABAD+ （C） 1 2 ABAD+ （D） 31 42 ABAD+ （5）幂函数 1 yx=及直线 yx，y1，x1

3、 将平面直角坐标系的 第一象限分成八个“卦限”：，(如 图所示)，则幂函数 yx 1 2 的图象经过的“卦限”是( ) （A）， （B）， （C）， （D）， 2 （6） 从含有两件正品 21,a a和一件次品b的 3 件产品中， 按先后顺序任意取出两件产品， 每次取出后不放回，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是（ ） （A） 3 4 （B） 3 2 （C） 1 2 （D） 1 4 （7）基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感 染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情 初始阶段，可以用指数模型：(e) rt I t

4、 =描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的 变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间 约为(ln20.69) ( ) 天 （A）1.2 （B）1.8 （C）2.5 （D）3.5 （8）已知函数 ,0, ( ) lg(),0, x ex f x x x = 若关于x的方程 2( ) ( )0fxf xt+ =有三个不同 的实根，则t的取值范围为（ ） （A）2,( （B）), 1 + （C） 1 (, 4 （D）), 1 2,(+ 多多项选

5、择题：本题共项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 2020 分分. .在每小题在每小题给出的选项中给出的选项中，有，有多项符多项符 合合题目要求题目要求. .全全部选部选对的得对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . （9）设,A B C为三个事件，下列各式意义表述正确的是（ ） （A）ABC表示事件A不发生且事件B和事件C同时发生 （B）+A BC+表示事件,A B C中至少有一个没发生 （C）AB+表示事件A B，至少有一个发生 （D）ABCABCABC+表示事件,A B C恰有一个发生

6、3 （10）已知正数, a b，则下列不等式中恒成立的是（ ） （A）2abab+ （B） 11 ()4ab ab + （C） 222 ()2()abab+ （D） 2ab ab ab + （11）下列结论正确的是( ) （A）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 （B）若 1212 +=+aebecede(a，b，c，dR， 12 ,e e是单位向量)，则 ac，bd. （C）向量 a 与 b 共线存在不全为零的实数 1，2，使 1a2b0 （D）已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP xOA yOB ，则 xy1 （12）已知函数 2 2 |lo

7、g|(02) ( ) 813(2) xx f x xxx = + ，若( )f xa=有四个解 4321 ,xxxx满足， 1234 xxxx则下列命题正确的是（ ） （A）01a （B） 12 2xx+3 +（ ， ） （C） 1234 21 +(10,) 2 xxxx+ （D） 3 2,)x + 第 II 卷 二二. .填空题填空题: :（本大题共（本大题共 4 4 小小 题题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分, ,把答案填在答卷纸的相应位置上把答案填在答卷纸的相应位置上） （13） 2 log 3 lg2lg52+的值为 . （14）设a,b是两个不共线的向量，2

8、,AB =ab4,BCk=+ab,A B C三点共线，则 k = (15) 我国古代数学名著 数书九章 有 “米谷粒分” 题： 粮仓开仓收粮， 有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒,估计这批米内所夹的谷有 _ _石.（只要求写出运算式，不用化简） 4 A BC M P N (16)已知定义在R上函数 2 ( )ln(1)+21 + xx xx ee f xxxx ee =+ +，已知定义在R上 函数( )yg x=满足( )()2g xgx+= ，设函数 ( )f x与( )g x图像交点为 11 ( ,)x y， 22 (,)(,) nn x

9、yxy， ， ，则 (2)( 2)+ff的值为 ； 1 () n ii i xy = + 的值为 （用n表示）. 三三. .解答题：解答题：( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 7070 分分, ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ) （17）(本小题满分 10 分) 如图，已知,M N P是ABC三边,BC CA AB上的点，且 1 , 4 BMBC= 1 , 4 CNCA= 1 , 4 APAB=如果,AB = a, bAC =试用基底, a b表示向量,NP.AM （18）(本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一

10、，某市为了制定合理 的节水方案，对家庭用水进行了调查，通过抽样，获得 了某年 100 个家庭的月均用水量（单位：t） ，将数据按 照)0,11,22,33,44,5，分成 5 组，制成了如 图所示的频率分布直方图. (I)求图中a的值 (II)假设同组中的每个数据都用该组区间的中值点代替，估计全市家庭月均用水量的平 均数. 频率 组距 月均用水量/t 0.36 0.22 0.12 54321 0 a 5 （19）(本小题满分 12 分) 已知函数( ) = xx f xeae的反函数( ) 1 fx 的图象经过点 3 ,ln2 2 P. (I)求函数( )fx的解析式； (II)判断函数( )

11、f x的奇偶性，并证明. （20）(本小题满分 12 分) 某项选拔有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘 汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 4 3 2 1 5 5 5 5 ，且各轮问 题能否回答正确互不影响. （）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （）求该选手至多进入第三轮考核的概率. 6 （21） （本小题满分 12 分） 定义满足性质“( )()yf x xD=，对任意, , 2 xy x yD + 均满足 1 () ( )( ) 22 xy ff xf y + +，当且仅当xy=时等号成立.”的函数叫 M 函数 （）下列函数（

12、1） 2 ( )g xx= ； （2） 2 ( )m xx=； （3）( ) x h xe=； （4） 2 ( )logg xx= 是 M 函数是 .（直接写出序号） （II）选择（）中一个 M 函数，加以证明； （III）试利用 M 函数解决下列问题：若实数,m n满足221+= mn ，求+mn的最大值. （22） （本小题满分 12 分） 已知函数( )2log ()log aa f xmxbx=+，其中bR . （I）若2mb=，且 1 ,2 4 x 时，( )f x的最小值是2,求实数a的值； （II）若2m=，01a，且 1 ,2 4 x 时，( )0f x 恒成立，求实数b的取值

13、范围； （III）若2,1ab=， 1 ,1 2 t ，函数 2 ( )( )logg xf xx=在区间,1t t +上的最大 值与最小值的差不大于 2，求正数m的取值范围 1 28 1534 254 2020-2021 年大连市高年大连市高一一期末测试期末测试 数学数学参考答案与评分标准参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 得分

14、数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、一、单项单项选择题选择题 （1） （A） ； （2） （C） ； （3） （D） ； （4） （D） ； （5） （D） ； （6） （B） ； （7） （B） ； （8） （A） 多多项选择题项选择题 （9） （A） ， （C） ， （D） ； （10） （A） ， （B） ； （11） （C） ， （D） ； （12） （A） ， （C） 二二. .填空题填空题 （13）4； （14）2；(15) ；(16)2；n 三三. .解

15、答题解答题 （17） 解: NPAPAN2 分 13 44 ABAC4 分 13 44 ab.5 分 AMABBM.7 分 1 4 ABBC.8 分 131 444 a+baab.10 分 2 （18）解：()0.120.220.360.121 1a ，4 分 解得0.18a .6 分 ()因为0.12 0.5 0.22 1.5 0.36 2.5 0.18 3.5 0.12 4.510 分 2.4611分 因此估计全市家庭月均用水量的平均数是 2.46. 12 分 （19）解：(I) 因为函数 xx f xeae的反函数 1 fx 的图象经过点 3 ,ln2 2 P， 所以函数 xx f xe

16、ae图象经过点 3 ln2, 2 P，2 分 所以 ln2ln2 3 2 eae，所以1a，5 分 所以求函数 xx f xee.6 分 (II)函数( )f x为奇函数.9 分 证明：函数( )f x的定义域为R，对R x，则R x10 分 ( ) xx fxeef x， 11 分 所以函数( )f x为奇函数.12 分 （20）解：记事件 i A：该选手答对第i道题，其中=1,2,34 ，i1 分 则 1234 4321 , 5555 P AP AP AP A2 分 （）该选手进入第四轮才被淘汰可以表示为 1234 A A A A，4 分 又因为 1234 AAAA， ， ，互相独立，5

17、分 因此 1234 432196 1. 5555625 P A A A A =6 分 3 （）该选手第一轮被淘汰可以表示为 1 A， 1 41 1 55 P A= ，7 分 该选手第二轮被淘汰可以表示为 12 A A， 12 438 1 5525 P A A =，8 分 该选手第三轮被淘汰可以表示为 123 A A A， 123 43236 1 555125 P A A A =，9 分 1 A，1 2 A A， 123 A A A，互斥，10 分 所以该选手至多进入第三轮考核的概率为 112123 1836101 +=. 525125125 P AP A AP A A A =12 分 （21）

18、解： （） （1） 、 （4）2 分 （II）选择（1）证明：任取, x yR，则 2 ()() 22 xyxy g， 3 分 22 1 ( )( ) 22 xy g xg y4 分 所以 22222 1()2 () ( )( )0 22424 xyxyxyxyxy gg xg y， 7 分 当且仅当xy时等号成立，则 g(x)是 M 函数. 8 分 选择（4）证明：任取 + , x yR，则 2 ()log () 22 xyxy g ，3 分 222 11 ( )( )(loglog)log 22 g xg yxyxy，4 分 所以 22 1 () ( )( )loglog 222 xyxy

19、 gg xg yxy ， 因为 + , x yR， 2 xy xy ，所以 1 () ( )( ) 22 xy gg xg y 7 分 当且仅当xy时等号成立，则 g(x)是 M 函数. 8 分 （III）设 mn x2 ,y2，则 22 mlog x,nlog y，且 mn1. 9 分 由已知：函数 2 ( )logf xx满足 1 () ( )( ) 22 xy ff xf y 4 得 222 1 logloglog 22 xy xy ，10 分 即 2 11 log(mn) 22 ，则mn211 分 当且仅当xy，即 mn 1 22 2 ， 即 mn1 时，mn 有最大值为2. 12 分

20、 （22）解： （I） 2 2 4(1) ( )2log ()loglog aa x f xmxbx x = 2 1 log 4(2)x x 1 分 令 1 ( )4(2)h xx x ，( )h x在 1 ,1 4 上单调递减，在1,2上单调递增， 2 分 1 ( )25(2)18 4 hh，所以 minmax 1 ( )(1)16( )( )25 4 h xhh xh，. 当1a 时， min ( )log 162 a f x ，所以 1 4 a （舍去） ；3 分 当01a时， min ( )log 252 a f x ，所以 1 5 a ， 综上所述a的值是 1 5 .4 分 （II）

21、( )0f x恒成立，即2log (2)log aa xbx恒成立， log (2)log aa xbx.5 分 又01a，2xxb，2bxx 恒成立， max ( 2)bxx .6 分 令2yxx ， 2 111 2()(,2 ) 484 yxx7 分 max 0y，故实数b的取值范围为0,).8 分 5 （III） 2222 11 ( )2log (1)2log2log2log () mx g xmxxm xx =，在区间,1t t 上单调递减， max2 1 ( )2log ()g xm t ， min2 1 ( )2log () 1 g xm t .9 分 ( )g x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不大于 2， 22 11 2log ()2log ()2 1 mm tt . 1 2 1 1 m t m t .10 分 11 (,1 (1)2 t mt t t .设 1 1(0, 2 tn n -， (1)(2) n m nn . 设 2 (1)(2)32 nn y nnnn ， 当0n 时 ，0y ； 当 1 0 2 n （ ，时 ， 1 2 3 y n n ， 22 2nn nn ，当且仅当2n 时等号成立，11 分 当 1 0 2 n （ ，时，y为增函数， max 2 3 y. m的取值范围是 2 ,) 3 12 分