专题6折叠问题(2021年浙江省中考数学一轮复习专项练习)
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1、专题专题 6 折叠问题折叠问题 折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折 180, 使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重 叠或不重叠,其中“折”是过程, “叠”是结果折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠更突出了轴对 称知识的应用 折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的,考查的较多,无论是选择题、填空题,还是解答题都有 以折叠为背景的试题常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中,与函数、直角三角形、相似形等 知识结合,贯穿其他几何、代数知识来设题 根据轴对称的性质可以得到:折叠重合部分一定全等,折痕所在直线就是这两个全等图形的对称轴; 互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平
2、分; 对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相 等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论,借助辅助线构造直角三 角形,结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题 折叠后图形判断 1如图,已知在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC 上,且 AE1 3 AB,将矩形沿直线 EF 折 叠,点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处,连结 BP 交 EF 于点 Q,对于下列结论:EF2BE;PF2PE; FQ4EQ;PBF 是等边三角形其中正确的有 D A B C D 2如图,将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠,使点 A 落在ABC 外的点
3、 A处,折痕为 DE.如果A ,CEA,BDA,那么下列式子中正确的是 A A2 B2 C D180 第2题图 第3题图 3如图,在正方形 ABCD 中,E,F 两点分别为 BC,CD 的中点,连结 AE,BF 交于点 G,将BCF 沿直线 BF 对折, 得到BPF, 延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q, 则下列结论: AEBF; AEBF; BQF 是等腰三角形;SBCF5SBGE.其中正确的有 D A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解析】 可证 RtABERtBCF(SAS), 则BAECBF, AEBF, 故正确; 又BAEBEA 90, CBFBEA90, BGE90, A
4、EBF, 故正确; CDAB, ABFCFB PFB,QFQB,故正确;BGEBCF,GBECBF,BGEBCF,BEBF 1 2 BC 5 2 BC1 5 ,SBCFSBGEBF2BE251,故正确 对折叠图形的判断,可以通过空间想象,找出相等的边与角,转化为角度进行判断 折叠后求角的度数 4 如图, 将矩形 ABCD 沿 GH 折叠, 点 C 落在点 Q 处, 点 D 落在 AB 边上的点 E 处, 若AGE32, 求GHC 度数 解:AGE32,DGE148.由折叠的性质可得DGH1 2 DGE74.ADBC, GHC180DGH106 5 如图, 在ABC 中, A60, 将ABC 沿
5、 DE 翻折后, 点 A 落在 BC 边上的点 A处 如果AEC 70,求ADE 的度数 解:由折叠的性质可知ADEADE,AEDAED,AEC70,AED1 2 (180 AEC)55,ADEADE180AAED65 6如图,将矩形纸条 ABCD 折叠,折痕为 EF,折叠后点 C,D 分别落在点 C,D处,DE 与 BF 交于点 G.已知BGD30,求 的度数 解:矩形纸条 ABCD 中,ADBC,AEGBGD30,DEG18030150, 由折叠可得,1 2 DEG 1 2 15075 在折叠问题中,利用对称性可得到相等的角和边 折叠后求线段的长度 7在矩形 ABCD 中,AB1,BCa,
6、点 E 在边 BC 上,且 BE3 5 a,连结 AE,将ABE 沿 AE 折 叠若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上,求折痕的长 解:分两种情况:当点 B落在 AD 边上时,如图所示四边形 ABCD 是矩形,BADB 90, 将ABE沿AE折叠, 点B的对应点B落在矩形ABCD的AD边上, BAEBAE1 2 BAD 45,ABE 是等腰直角三角形,ABBE1,AE 2 AB 2 ; 当点B落在CD边上时, 如图所示 四边形ABCD是矩形, BADBCD90, ADBCa, 将ABE沿AE折叠, 点B的对应点B落在矩形ABCD的CD边上, BABE90, ABAB1,BEBE3
7、5 a,CEBCBEa 3 5 a 2 5 a,BD AB2AD2 1a2 ,在 ADB和BCE 中,BADEBC90ABD,DC90,ADBBCE, BD EC AB BE ,即 1a2 2 5a 1 3 5a ,解得 a 5 3 ,或 a 5 3 (舍去),BE3 5 a 5 5 ,AE AB2BE2 12( 5 5 )2 30 5 .综上所述,折痕的长为 2 或 30 5 8(2020 内江)如图,矩形 ABCD 中,BD 为对角线,将矩形 ABCD 沿 BE,BF 所在直线折叠,使点 A 落在 BD 上的点 M 处,点 C 落在 BD 上的点 N 处,连结 EF.已知 AB3,BC4,
8、求 EF 的长 解:四边形 ABCD 是矩形,ABCD3,ADBC4,ACEDF90,BD AB2AD2 3242 5.将矩形 ABCD 沿 BE 所在直线折叠,使点 A 落在 BD 上的点 M 处,AE EM,ABME90,EMD90.EDMADB,EDMBDA,ED BD EM AB .设 DEx,则 AEEM4x,x 5 4x 3 ,解得 x5 2 ,DE 5 2 ,同理DNFDCB, DF BD NF BC , 设DFy, 则CFNF3y, y 5 3y 4 , 解得y5 3 .DF 5 3 .EF DE 2DF2 (5 2) 2(5 3) 2 5 13 6 9如图,平行四边形纸片 A
9、BCD 的边 AB,BC 的长分别是 10 cm 和 7.5 cm,将其四个角向内对折后, 点 B 与点 C 重合于点 C,点 A 与点 D 重合于点 A,四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG,其顶点分别 在平行四边形 ABCD 的四条边上,求 EF 的长 解:由翻折的性质可知CHFFHC,BHEEHC,FHEFHCEHC 1 2 (CHCBHC)90.同法可证HFGGEH90,四边形 EHFG 是矩形,FHEG, FHEG, HFCFEG.又CFHHFC, AEGGEA, CFHAEG.又四边形 ABCD 是平行四边形,CA,HCFGAE(AAS),CFAE,EFFCECAEBEAB10
10、cm 10矩形 ABCD 中,AB8,AD12.将矩形折叠,使点 A 落在点 P 处,折痕为 DE. (1)如图,若点 P 恰好在边 BC 上,连结 AP,求AP DE 的值; (2)如图,若 E 是 AB 的中点,EP 的延长线交 BC 于点 F,求 BF 的长 解:(1)如图中,取 DE 的中点 M,连结 PM.四边形 ABCD 是矩形,BADC90,由翻 折可知,AOOP,APDE,23,DAEDPE90,在 RtEPD 中,EMMD,PM EMDM,3MPD,13MPD23.ADP23,1ADP.ADBC, ADPDPC,1DPC.sin 1sin DPC,即PO PM CD PD 8
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