专题9动态几何问题(2021年浙江省中考数学一轮复习专项练习)
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1、专题专题 9 动态几何问题动态几何问题 所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、 动线、 动面, 它们在线段、 射线或弧线上运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点:一是“动态”,常以 图形或图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换)为重要的 构图背景;二是“综合”,主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识 的综合 解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动,根据题意画一些不同运动 时刻的图形,想象从头到尾的整个运动过程,对整个运动过程有一个初步的理解,理清运动 过程中的各种情形;然后是做到动中取静,画出运动过程中各种情形
2、的瞬间图形,寻找变化 的本质,或将图中的相关线段代数化,转化为函数问题或方程问题解决 动点问题 (一)单动点问题 1如图,在矩形 ABCD 中,AB4,DCA30,点 F 是对角线 AC 上的一个动点, 连结 DF,以 DF 为斜边作DFE30的 RtDEF,使点 E 和点 A 位于 DF 两侧,点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中,求点 E 的运动路径长 题图 答图 解:如图,点 E 的运动路径是线段 EE,AB4,DCA30,AD4 3 3 .当点 F 与点 A 重合时,在 RtADE中,AD4 3 3 ,DAE30,ADE60, DE2 3 3 ,CDE30;当点 F 与点 C 重合
3、时,DCE30,CD4, DE2,EDC60,EDE90,EEDE2DE2 (2 3 3 )222 4 3 3 .E 的运动路径 EE的长为4 3 3 2(2019 湖州)如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 OABC 是矩形,点 A, C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上,连结 AC,OA3,tan OAC 3 3 ,D 是 BC 的中点 (1)求 OC 的长和点 D 的坐标; (2)如图, M 是线段 OC 上的点, OM2 3 OC, 点 P 是线段 OM 上的一个动点, 经过 P, D,B 三点的抛物线交 x 轴的正半轴于点 E,连结 DE 交 AB 于点 F. 将DBF
4、沿 DE 所在的直线翻折,若点 B 恰好落在 AC 上,求此时 BF 的长和点 E 的 坐标; 以线段 DF 为边,在 DF 所在直线的右上方作等边DFG,当动点 P 从点 O 运动到点 M 时,点 G 也随之运动,请直接写出点 G 运动路径的长 解:(1)OA3,tan OACOC OA 3 3 ,OC 3 .四边形 OABC 是矩形,BC OA3.点 D 是 BC 的中点,CD1 2 BC 3 2 ,D( 3 2 , 3 ) (2)tan OAC 3 3 ,OAC30,ACBOAC30.设将DBF 沿 DE 所在的直线翻折后, 点 B 恰好落在 AC 上的点 B处, 则 DBDBDC, B
5、DFBDF, DBCACB30,BDB60,BDFBDF30,BFBD tan 30 3 2 .又AB 3 ,AFBF 3 2 .又BFDAFE,BFAE90, BFDAFE(ASA),AEBD3 2 ,OEOAAE 9 2 ,点 E 的坐标为( 9 2 ,0) 当动点 P 在点 O 时,抛物线过点 P(0,0),D(3 2 , 3 ),B(3, 3 ),可求得此时 抛物线的表达式为y2 3 9 x2 3 x, E(9 2 , 0), 直线DE的表达式为y 3 3 x3 3 2 , 当 x3 时,y 3 3 33 3 2 3 2 ,F1(3, 3 2 ); 当动点 P 运动到点 M 时,抛物线
6、过点 P(0,2 3 3 ),D(3 2 , 3 ),B(3, 3 ),可求 得此时抛物线的表达式为 y2 3 27 x2 3 3 x2 3 3 ,E(6,0),直线 DE 的表达式为 y 2 3 9 x4 3 3 ,当 x3 时,y2 3 9 34 3 3 2 3 3 ,F2(3,2 3 3 ),点 F 的运 动路径 F1F2的长为2 3 3 3 2 3 6 .DFG 为等边三角形,点 G 运动路径的长为 3 6 3 (2019 衢州)如图, 在 RtABC 中, C90, AC6, BAC60, AD 平分BAC 交 BC 于点 D,过点 D 作 DEAC 交 AB 于点 E,点 M 是线
7、段 AD 上的动点,连结 BM 并延 长分别交 DE,AC 于点 F,G. (1)求 CD 的长; (2)若点 M 是线段 AD 的中点,求EF DF 的值; (3)请问当 DM 的长满足什么条件时, 在线段 DE 上恰好只有一点 P, 使得CPG60? 备用图 解:(1)AD 平分BAC,BAC60,DAC1 2 BAC30,DCAC tan 302 3 (2)易得 BC6 3 ,BD4 3 ,由 DEAC,得EDADAC,DFMAGM. 又AMDM,DFMAGM,AGDF.由 DEAC,得BFEBGA,EF AG BE AB BD BC , EF DF EF AG BD BC 4 3 6
8、3 2 3 (3)CPG60,过 C,P,G 作外接圆,圆心为点 Q,CQG 是顶角为 120的 等腰三角形 当Q 与 DE 相切于点 P 时,如图,过 Q 点作 QHAC 于点 H,设Q 的半径 QP r, 则 QH1 2 r, r 1 2 r2 3 , 解得 r 4 3 3 , CG4 3 3 3 4, AG2.DF CG BD BC 2 3 ,DF 8 3 .易知DFMAGM,可得 DM AM DF AG 4 3 ,则 DM AD 4 7 ,DM 16 7 3 ; 当Q 经过点 E 时,如图,延长 CQ 交 AB 于点 K,ACK30,BAC 60,CKA90,CK3 3 ,AK3.AE
9、 AB CD BC 1 3 ,AE 1 3 AB4,EK 1.设Q 的半径 QCQEr,则 QK3 3 r,在 RtEQK 中,12(3 3 r)2r2, 解得 r14 9 3 ,CG14 9 3 3 14 3 ,同可得 DM14 5 3 ; 当Q 经过点 D 时,如图,此时点 M 与点 G 重合,且恰好在点 A 处,可得 DM 4 3 . 综上所述,当 DM16 7 3 或14 5 3 DM4 3 时,满足条件的点 P 只有一个 (二)双动点问题 4 中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的半径为 6 cm, 点 P, Q 同时分别从 A, D 两点出发, 以 1 cm/s 的速度沿 AF,
10、DC 向终点 F,C 运动,连结 PB,PE,QB,QE,设运动时间为 t(s). (1)求证:四边形 PBQE 为平行四边形; (2)求矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比 解:(1)证明:六边形 ABCDEF 是正六边形,ABBCCDDEEFFA,A ABCCDDEFF,点 P,Q 同时分别从 A,D 两点出发,以 1 cm/s 速度 沿 AF,DC 向终点 F,C 运动,APDQt,PFQC6t,在ABP 和DEQ 中, ABDE, AD, APDQ, ABPDEQ(SAS),BPEQ,同理可证 PEQB,四边形 PBQE 为 平行四边形 (2)连结 BE,OA,则
11、AOB360 6 60,OAOB,AOB 是等边三角形, ABOA6,BE2OB12,当 t0 时,点 P 与 A 重合,Q 与 D 重合,四边形 PBQE 即为 四边形 ABDE,如图所示,则EAFAEF30,BAE1203090, 此时四边形 ABDE 是矩形,即四边形 PBQE 是矩形当 t6 s 时,点 P 与 F 重合,Q 与 C 重 合, 四边形 PBQE 即为四边形 FBCE, 如图所示, 同法可知BFE90, 此时四边形 PBQE 是矩形综上所述,t0 或 6 s 时,四边形 PBQE 是矩形,AE 12262 6 3 ,矩 形 PBQE 的面积矩形 ABDE 的面积ABAE6
12、6 3 36 3 .正六边形 ABCDEF 的 面积6SAOB61 4 S 矩形ABDE61 4 36 3 54 3 , 矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比2 3 5(2020 苏州)如图,已知MON90,OT 是MON 的平分线,A 是射线 OM 上一 点, OA8 cm.动点 P 从点 A 出发, 以 1 cm/s 的速度沿 AO 水平向左做匀速运动, 与此同时, 动点 Q 从点 O 出发,也以 1 cm/s 的速度沿 ON 竖直向上做匀速运动连结 PQ,交 OT 于点 B.经过 O,P,Q 三点作圆,交 OT 于点 C,连结 PC,QC.设运动时间为 t(s),其
13、中 0t8. (1)求 OPOQ 的值; (2)是否存在实数 t,使得线段 OB 的长度最大?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理 由 (3)求四边形 OPCQ 的面积 解:(1)由题意可得,OP8t,OQt,OPOQ8tt8(cm) (2)当t4时, 线段OB的长度最大 如图, 过点B作BDOP, 垂足为D, 则BDOQ.OT 平分MON,BODBOQOBD45,BDOD,OB 2 BD.设线段 BD 的 长为 x,则 BDODx,OB 2 BD 2 x,PD8tx,BDOQ,PD OP BD OQ , 8tx 8t x t ,x 8tt2 8 .OB 2 8tt2 8 2 8 (t4)
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- 专题 动态 几何 问题 2021 浙江省 中考 数学 一轮 复习 专项 练习
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