专题７最值问题（2021年浙江省中考数学一轮复习专项练习）

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1、专题专题 7 最值问题最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度最值问题一般有三类，一是以几何为背景的最值问题，一般可以看成是运动变化的图形在特殊位置时，与图形有关的几何量达到最大值或最小值；二是有关函数的最值问题，如一次函数、反比例函数和二次函数；三是实际背景问题，来求最优化问题解决最值问题的关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型(函数增减性、线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突破线段之和最值问题 1(2020 河南)如图，在扇形 BOC 中，

2、BOC60，OD 平分BOC 交 BC 于点 D，点 E 为半径 OB 上一动点若 OB2，求阴影部分周长的最小值解：如图，作点 D 关于 OB 的对称点 D，连结 DC 交 OB 于点 E，连结 ED，OD，此时 ECED 最小，即 ECEDCD，由题意得CODDOBBOD30， COD90，CD OC2OD2 2222 2 2 ， CD 的长 l302 180 3 ，阴影部分周长的最小值为 2 2 3 2如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，将ABD 沿射线 BD 平移，得到EGF，连结 EC，GC.求 ECGC 的最小值解：如图，连结 DE，作点 D 关于直线 AE 的

3、对称点 T，连结 AT，ET，CT. 四边形 ABCD 是正方形，ABBCCDAD4，ABC90，ADB45. AEBD， EADADB45， D， T 关于 AE 对称， ADAT4， TAEEAD 45， TAD90.BAD90， B， A， T 共线， CT BT2BC2 4 5 .EG CD，EGCD，四边形 EGCD 是平行四边形，GCED，ECGCECEDEC TE.TEECTC，ECGC4 5 ，ECGC 的最小值为 4 5 3. (2020 南京)如图，要在一条笔直的路边 l 上建一个燃气站，向 l 同侧的 A，B 两个城镇分别铺设管道输送燃气试确定燃气站的位置，使铺设管道的

4、路线最短 (1)如图，作出点 A 关于 l 的对称点 A，线段 AB 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求，即在点 C 处建燃气站，所得路线 ACB 是最短的为了证明点 C 的位置即为所求，不妨在直线 l 上另外任取一点 C，连结 AC，BC，证明 ACCBACCB.请完成这个证明； (2)如果在 A，B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由). 生态保护区是正方形区域，位置如图所示；生态保护区是圆形区域，位置如图所示解：(1)证明：如图，连结 AC，点 A，点 A关于 l 对称，点 C 在 l 上，CACA，

5、 ACBCACBCAB，同理可得 ACCBACBC，ABACCB， ACBCACCB (2)如图，在点 C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 ACCDDB(其中点 D 是正方形的顶点)；如图，在点 C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是 ACCD DE EB， (其中 CD， BE 都与圆相切) 1 线段和的最小值问题是课本著名原题“饮马问题”的变形与应用，即为同一平面内线段和最短问题，其基本图形如图，点 A，B 是直线 l 同旁的两个定点如何在直线 l 上确定一点 P，使 APBP 的值最小方法是作点 A 关于直线 l 的对称点点 A，转化为两点间的距离问题，即连结 AB 交直

6、线 l 于点 P，则 PAPBAB 的值最小 2不管在什么背景图中，有关线段之和的最短问题，常化归与转化为线段公理“两点之间线段最短”，而化归与转化的方法都是借助于“轴对称点”. 然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短的原理，构造直角三角形，并运用勾股定理计算最小值来解决问题线段之差最值问题 4如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1kxb(k0)的图象与反比例函数 y2m x (m0)的图象相交于第一、三象限内的 A(3，5)，B(a，3)两点，与 x 轴交于点 C. (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在 y 轴上找一点 P，使 PBPC 最大，求 PBPC

7、的最大值及点 P 的坐标解：(1)把 A(3，5)代入 y2m x (m0)，得 m3515，反比例函数的表达式为 y2 15 x .把点 B(a，3)代入 y215 x ，可得 a5，B(5，3).把 A(3，5)，B(5，3) 代入 y1kxb，得 3kb5， 5kb3，解得 k1， b2，一次函数的表达式为 y1x2 (2)令 x0，y1x22，一次函数与 y 轴的交点为(0，2).当点 P 为一次函数与 y 轴的交点时，PBPCBC 最大，令 y1x20，解得 x2，C(2，0)，PBPC 的最大值为（52）232 3 2 ，此时 P(0，2) 5(原创题)如图，在平面直角

8、坐标系 xOy 中，点 A，B，C 分别为坐标轴上的三个点，且 OA1，OB3，OC4. (1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； (2)当点 P 的坐标为(5，3)时，若点 M 为该抛物线上一动点，请求出当|PMAM|取最大值时点 M 的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值解：(1)设抛物线的表达式为 ya(x4)(x1)，将 B(0，3)代入，解得 a3 4 ，y 3 4 (x4)(x1) 3 4 x 29 4 x3 (2)设直线 PA 的表达式为 ymxn(m0)，将 A(1，0)，P(5，3)代入，解得 m3 4 ，n 3 4 ， y 3 4 x 3 4 .当点 M 与点

10、A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，顶点为点 D. (1)当 a6 时，直接写出点 A，B，C，D 的坐标： A_(3，0)_，B_(1，0)_，C_(0，18)_， D_(2，6)_； (2)如图，直线 DC 交 x 轴于点 E，若 tan AED4 3 ，求 a 的值和 CE 的长； (3)如图，在(2)的条件下，若点 N 为 OC 的中点，动点 P 在第三象限的抛物线上，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，交 AN 于点 F；过点 F 作 FHDE，垂足为 H.设点 P 的横坐标为 t，记 fFPFH. 用含 t 的代数式表示 f；设5tm(m0)，求 f 的最大值解

11、：(1)当 a6 时，抛物线的表达式为 y6x224x18，令 y0，则 x1 或3；当 x0 时，y18，函数的对称轴为 x2，故点 A，B，C，D 的坐标分别为(3，0)，(1， 0)，(0，18)，(2，6)；故答案为(3，0)，(1，0)，(0，18)，(2，6) (2)yax24ax4a6，令 x0，则 y4a6，则点 C(0，4a6)，函数的对称轴为 x 2，故点 D 的坐标为(2，6)，由点 C，D 的坐标得直线 CD 的表达式为 y2ax4a 6，令 y0，则 x3 a 2，故点 E( 3 a 2，0)，则 OE 3 a 2，tan AED OC OE 64a 3 a2 4 3

12、，解得 a 2 3 ，故点 C， E 的坐标分别为(0， 10 3 )， (5 2 ， 0)，则 CE （10 3 ）2（5 2） 2 25 6 (3)如图，作 PF 与 ED 的延长线交于点 J，由(2)知，抛物线的表达式为 y2 3 x 28 3 x 10 3 ，故点 A， C 的坐标分别为(5， 0)， (0， 10 3 )，则点 N(0， 5 3 )，由点 A， N 的坐标得直线 AN 的表达式为 y 1 3 x 5 3 .设点 P(t， 2 3 t 28 3 t 10 3 )，则点 F(t，1 3 t 5 3 )，FP 2 3 t 23t5 3 ，由点 E( 5 2 ，

13、0)，C 的坐标得直线 CE 的表达式为 y4 3 x 10 3 ，则点 J(t，4 3 t 10 3 )，故 FJ5 3 t 5 3 ，FHDE，JF y 轴，FHJEOC90，FJHECO，FJHECO，FH OE FJ CE ，FH OE CE FJt1，fFPFH 2 3 t 23t5 3 (t1) 2 3 t 24t8 3 f2 3 t 24t8 3 2 3 (t3) 226 3 (5tm 且 m0)，当5m3 时，fmax 2 3 m 24m8 3 ；当3m0 时，fmax 26 3 有关几何图形面积和线段长的最值问题，关键是要掌握图形面积和线段长的求解，构建相应的函数关系式，进而根据函数图象的增减性确定其最值，并注意问题的实际意义