专题10 几何问题探究(2021年浙江省中考数学一轮复习专项练习)
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1、专题专题 10 几何问题探究几何问题探究 几何问题探究是新中考命题中的一大亮点, 往往设计成一个小课题, 以“链式”问题链 的形式考查图形运动与证明的结合,常把点的运动、线段的运动与全等、相似的证明、特殊 三角形的判定、特殊四边形的判定结合起来,挖掘变中之不变,将问题图形中的某个图形进 行平移、翻折、旋转等运动,使其中某些元素或图形的结构产生规律性的变化,针对这种规 律性的变化形式或特定的结论设计逐步递进的问题串来形成探究问题, 由于涉及图形较复杂, 关注知识点较多,各知识板块之间的联系较为密切 让学生在一定的情景中完成探究, 先用类比,而后归纳悟出规律,从特殊情况到得出一 般规律,再到利用规
2、律求解,使学生的才能得到充分的展示 条件开放 1如图,已知 BAAEDC,ADEC,CEAE,垂足为 E. (1)求证:DCAEAC; (2)只需添加一个条件,即_ADBC(答案不唯一)_,可使四边形 ABCD 为矩形,请加 以证明 解:(1)由 SSS 可证DCAEAC (2)当 ADBC 时, 四边形 ABCD 是矩形 证明: ABDC, ADBC, 四边形 ABCD 是平行四边形 CEAE, E90, 由(1)得DCAEAC, DE90, 四边形 ABCD 为矩形 2如图,点 B,E,C,F 在一条直线上,ABDE,BECF,请添加一个条件:_AB DE(答案不唯一)_,使ABCDEF.
3、 3如图,在 RtABC 中,ABC90,点 M 是 AC 的中点,以 AB 为直径作O, 分别交 AC,BM 于点 D,E. (1)求证:MDME; (2)若 AB6,当 AD2DM 时,求 DE 的长; 连结 OD,OE,当A 的度数为多少时,四边形 ODME 是菱形? 【解析】当A60时,四边形 ODME 是菱形,只要证明ODE,DEM 都是等边 三角形即可 解:(1)证明:ABC90,AMMC,BMAMMC,AABM.四边 形 ABED 是圆的内接四边形,ADEABE180.又ADEMDE180, MDEMBA.同理可证MEDA,MDEMED,MDME (2)由(1)可知AMDE,DE
4、AB,DE AB MD MA .AD2DM, DM MA 1 3 , DE1 3 AB 1 3 62 当A60时,四边形 ODME 是菱形理由如下:OAOD,A60, AOD 是等边三角形, AOD60.DEAB, ODEAOD60, MDEA 60, ODE, DEM 都是等边三角形, ODOEDEEMDM, 四边形 OEMD 是菱形 4如图,在矩形 ABCD 中,E 为 CD 的中点,F 为 BE 上的一点,连结 CF 并延长交 AB 于点 M,MNCM 交射线 AD 于点 N. (1)当 F 为 BE 的中点时,求证:AMCE; (2)若AB BC EF BF 2,求 AN ND 的值;
5、 (3)若AB BC EF BF n,当 n 为何值时,MNBE? 解:(1)证明:F 为 BE 的中点,BFEF.ABCD,MBFCEF,BMF ECF,BMFECF(AAS),MBCE.ABCD,CEDE,MBAM,AM CE (2)设 MBa,ABCD,BMFECF, EF BF CE MB 2, CE MB 2,CE2a,ABCD2CE4a,AMABMB 3a.AB BC 2,BCAD2a.MNMC,AABC90,AMNBCM, AN MB AM BC ,即 AN a 3a 2a ,AN 3 2 a,ND2a 3 2 a 1 2 a, AN ND 3 2a 1 2a 3 (3)如图,设
6、 MBa,MN 交 CD 于点 H,AB BC EF BF n,同(2)可得 CEna,AB 2na,AM(2n1)a,BCAB n 2a. 由AMNBCM 可得AN MB AM BC ,即 AN a (2n1)a 2a ,可得 AN1 2 (2n1)a, DNANAD1 2 (2n1)a2a 1 2 (2n5)a,DHAM,NDHNAM,NHD NMA , NHD NMA , DN AN DH AM , DH DN AM AN 1 2(2n5)a (2n1)a 1 2(2n1)a (2n 5)a , HE DE DH na (2n 5)a (5 n)a.MHBE, BMHE, MBEH 是平
7、行四边形, (5n)aa, 解得 n4.当 n4 时, MNBE 条件开放题是指结论给定,条件未知或不全,需探求与结论相对应的条件解这种开放 问题的一般思路是:由已知的结论反向思考题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发, 逆向追索,逐步探求 结论开放 5. 如图,四边形 ABCD 是正方形,EFC 是等腰直角三角形,点 E 在 AB 上,且CEF 90,FGAD,垂足为 G. (1)试判断 AG 与 FG 是否相等?并给出证明; (2)若点 H 为 CF 的中点,GH 与 DH 垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由 解: (1)AGFG, 证明如下: 过点 F 作 FMAB 交 BA
8、 的延长线于点 M, 四边形 ABCD 是正方形,ABBC,BBAD90.FMAB,MAD90,FGAD,四 边形 AGFM 是矩形,AGMF,AMFG.又CEF90,FEMBEC90 .又 BECBCE90,FEMBCE.又MB90,EFEC,EFM CEB(AAS),BEMF,MEBC,MEABBC,BEMAMF,AGFG (2)DHHG,理由如下:延长 GH 交 CD 于点 N,FGAD,CDAD,FGCD, FG CN FH CH GH NH .又CHFH,GHHN,CNFG,AGFGCN.又ADCD, GDDN,且 GHHN,DHGH 6如图,正方形 ABCD 和正方形 AEFG,连
9、结 DG,BE, (1)发现:当正方形 AEFG 绕点 A 旋转,如图. 线段 DG 与线段 BE 之间的数量关系是_DGBE_; 直线 DG 与直线 BE 之间的位置关系是_DGBE_; (2)探究: 如图, 若四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都为矩形, 且 AD2AB, AG2AE, 证明:直线 DGBE; (3)应用:在(2)情况下,连结 GE(点 E 在 AB 上方),若 GEAB,且 AB 5 ,AE1. 求线段 DG 的长. 解: (2)证明: 延长 BE 分别交 AD, DG 于点 P, H, BAEDAEDAGDAE 90, BAEDAG.AD2AB, AG2AE, AD
10、 AB AG AE 2 , ABEADG, ABPHDP.APBHPD,BADDHP90, DGBE (3)当 GEAB 时,GEAB,B ,E ,F 三点在一条直线上,且点 F 刚好在 DG 上, AEB90.AGDAEB,AGD90.AB 5 ,AE1,AG2AE2, AD2AB2 5 ,DG AD2AG2 (2 5)222 4 7(2020 烟台)如图,在等边三角形 ABC 中,点 E 是边 AC 上一定点,点 D 是直线 BC 上一动点,以 DE 为一边作等边三角形 DEF,连结 CF. 【问题解决】 如图,若点 D 在边 BC 上,求证:CECFCD; 【类比探究】 如图,若点 D
11、在边 BC 的延长线上,请探究线段 CE,CF 与 CD 之间存在怎样的数量 关系?并说明理由 解: 【问题解决】证明:在 CD 上截取 CHCE,如图所示ABC 是等边三角形, ECH60,CEH 是等边三角形,EHECCH,CEH60.DEF 是等 边三角形, DEFE, DEF60, DEHHEFFECHEF60, DEH FEC.在DEH 和FEC 中, DEFE, DEHFEC, EHEC, DEHFEC(SAS),DHCF, CDCHDHCECF,CECFCD 【类比探究】 线段 CE, CF 与 CD 之间的等量关系是 CFCDCE; 理由如下: ABC 是等边三角形,AB60,
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