专题11 等腰三角形探究(2021年浙江省中考数学一轮复习专项练习)
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1、专题专题 11 等腰三角形探究等腰三角形探究 等腰(边)三角形是最常见的特殊三角形在各类测试卷中,常常以它为载体,与其他知 识结合编制成综合性较强的问题, 是中考中必考的一个热点问题,往往在综合题中出现,涉 及函数、方程与几何的综合运用,形式广泛,在中考命题中常考常新 一是将它与图形的轴对称、旋转等变换结合探究数形结合与分类讨论的问题;二是将它 与反比例函数、 二次函数等结合探究函数、 方程思想的应用问题; 三是将它与运动问题结合, 涉及三角形全等、三角形相似、特殊四边形等知识,探究等腰三角形的存在性问题 等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分 类 等腰三
2、角形中体现的分类思想 1已知等腰ABC 的两边长分别是 2 和 5,则ABC 的周长是 C A9 B9 或 12 C12 D7 或 12 2在ABC 中,ABAC,AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40, 求底角B 的大小 解:当 AB 的垂直平分线 MN 与 AC 相交时,如图,AMD90,ADM 40,A904050.ABAC,BC1 2 (180A)65; 当 AB 的垂直平分线 MN 与 CA 的延长线相交时,如图,AMD90,D 40,DAB904050.ABAC,BC1 2 DAB25 3(2020 绍兴)将两条邻边长分别为 2 ,1 的矩形纸片剪成四个等腰三角
3、形纸片(无余纸 片),各种剪法剪出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 _(填序号). 2 ,1, 2 1, 3 2 , 3 . 4在ABC 中,C 是最小内角若过顶点 B 的一条直线把这个三角形分成两个三角 形, 其中一个为等腰三角形, 另一个为直角三角形, 则称这条直线为ABC 的关于点 B 的“伴 侣分割线”例如:如图,ABC 中,A90,C20,若过顶点 B 的一条直线 BD 交 AC 于点 D,且DBC20,则直线 BD 是ABC 的关于点 B 的“伴侣分割线” (1)如图, ABC 中, C20, ABC110.请在图中画出ABC 关于点 B 的“伴 侣分割线”
4、,并注明角度; (2)ABC 中, 设ABC 的度数为 y, 最小内角C 的度数为 x.试探索 y 与 x 应满足什么 要求时,ABC 存在关于点 B 的“伴侣分割线” 解:(1)画图正确,角度标注正确,如图 (2)考虑直角顶点,只有点 A,B,D 三种情况当点 A 为直角顶点时,如图,此时 y 90 x;当点 B 为直角顶点时,再分两种情况:若DBC90,如图,此时 y90 1 2 (90 x)135 1 2 x;若ABD90,如图,此时 y90 x;当点 D 为直角 顶点时,又分两种情况: 若ABD 是等腰三角形, 如图, 此时 y45(90 x)135 x;若DBC 是等腰三角形,如图,
5、此时 x45,45y135 由于等腰三角形边或角的不确定性,在没有明确哪两条边是腰、哪两个角是底角时,就 需要分类,一般分类时可以按边分类 几何图形中探究等腰三角形存在 5如图,已知直线 AB 与O 相切于点 A,直线 l 与O 相离,OBl 于点 B,且 OB 5,OB 与O 交于点 P,AP 的延长线交直线 l 于点 C. (1)求证:ABBC; (2)若在O 上存在点 G,使GBC 是以 BC 为底边的等腰三角形,求O 的半径 r 的取 值范围 解:(1)证明:连结 OA,AB 与O 相切,OAB90,OAPBAC90. OBl,BCABPC90.OAOP,OAPOPABPC,BAC B
6、CA,ABBC (2)作BC的垂直平分线MN, 过点O作OEMN于点E, 则OE1 2 BC 1 2 AB 52r2 2 . 由题意可知O 与直线 MN 有交点,OE 52r2 2 r,解得 r 5 .又直线 l 与O 相 离,r5.若在O 上存在点 G,使GBC 是以 BC 为底边的等腰三角形,O 的半径 r 的取值范围为 5 r5 6(2021 预测)如图,在矩形 ABCD 中,AB8,AD10,E 是 CD 边上的一点,连结 AE,将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,顶点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处,延长 AE 交 BC 的延长 线于点 G,连结 DG. (1)求线段 CE 的长
7、; (2)若 M, N 分别是线段 AG, DG 上的动点(与端点不重合), 且DMNDAM, 设 AM x, 是否存在这样的点 M,使DMN 是等腰三角形?若存在,请求出 x 的值;若不存在, 请说明理由 题图 答图 解:(1)四边形 ABCD 是矩形,ADBC10,ABCD8,BBCD90. 由翻折可知 ADAF10,DEEF,设 CEx,则 DEEF8x.在 RtABF 中,BF AF2AB2 6,CFBCBF1064,在 RtEFC 中,有(8x)2x242,x 3,CE3 (2)存在,理由如下:由(1)知 DE5,CE3,又ADBG,ADEGCE,AD DE CG CE , 10 5
8、 CG 3 ,CG6,DGCG2CD2 6282 10AD,AG AB2BG2 82(106)2 85 ,DGADAM DMN.DMNDNM,即 DMDN.当 MNMD 时,MDNGDM,DMN DGM, DMNDGM, DM DG MN GM .又MNDM, DGGM10, xAM AGGM8 5 10;当 MNDN 时,如图,则MDNDMNDGM,MD MG.过点 M 作 MHDG 于点 H,则 DHGH5.易证GHMGBA,GH GB MG AG , 5 16 MG 8 5 ,MG 5 5 2 ,xAMAGMG8 5 5 5 2 11 5 2 .综上所述,满足 条件的 x 的值为 8 5
9、 10 或11 5 2 画出各种变化中的图形,以边或角进行分类,探究等腰三角形存在的可能 函数背景下探究等腰三角形存在 7如图,抛物线 y2 9 x 2bxc 与 x 轴交于 A(1,0),B(5,0)两点,顶点为 C, 对称轴交 x 轴于点 D,点 P 为抛物线对称轴 CD 上的一动点(点 P 不与 C,D 重合).过点 C 作 直线 PB 的垂线交 PB 于点 E,交 x 轴于点 F. (1)求抛物线的表达式; (2)当PCF 的面积为 5 时,求点 P 的坐标; (3)PCF 能否为等腰三角形?若能,请求出点 P 的坐标;若不能,请说明理由 解:(1)y2 9 (x1)(x5) 2 9
10、x 28 9 x 10 9 (2)抛物线的对称轴为直线 x2,顶点 C(2,2).设点 P(2,m),且 m0,2,则易得 直线 PB 的表达式为 y1 3 mx 5m 3 .CEPE,易得直线 CE 的表达式为 y 3 m x(2 6 m ).当 y 3 m x(2 6 m )0 时,解得 x2 2m 3 ,点 F(22m 3 ,0).当点 P 在点 D 下 方, 即 m0 时, CP2m, DF22m 3 22m 3 , SPCF1 2 PC DF 1 2 (2m)( 2m 3 ) 5,解得 m15(舍去),m23,此时点 P(2,3); 当点 P 在 C,D 两点之间,即 0m2 时,C
11、P2m,DF2(22m 3 )2m 3 , SPCF1 2 PC DF 1 2 (2m) 2m 3 5,易得此方程无解; 当点 P 在点 C 上方,即 m2 时,CPm2,DF2(22m 3 )2m 3 ,SPCF1 2 PC CF1 2 (m2) 2m 3 5,解得 m15,m23(舍去),此时点 P(2,5).故点 P(2,3) 或(2,5) (3)能, 理由如下: 由(2)确定的点 F 的坐标得 CP2(2m)2, CF2(2m 3 )24, PF2(2m 3 )2 m2,当 CPCF 时,则(2m)2(2m 3 )24,解得 m10(舍去),m236 5 ; 当 CPPF 时,则(2m
12、)2(2m 3 )2m2,解得 m193 13 2 ,m293 13 2 ; 当 CFPF 时,则(2m 3 )24(2m 3 )2m2,解得 m12(舍去),m22. 故点 P(2,36 5 )或(2,2)或(2,93 13 2 )或(2,93 13 2 ) 8如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y4 9 x 2bxc 经过点 A(5,0)和点 B(1, 0). (1)求抛物线的表达式及顶点 C 的坐标; (2)连结 AC,BC,点 M 在线段 AB 上(不与 A,B 重合),作CMNCBA,射线 MN 交线段 AC 于点 N,是否存在这样的点 M,使得CMN 为等腰三角形?若存在,求出 AN
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