专题12 直角三角形探究(2021年浙江省中考数学一轮复习专项练习)
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1、专题专题 12 直角三角形探究直角三角形探究 垂直是常见的两直线的位置关系,常常以直角三角形为载体来编制综合题,作为压轴题 出现 一是以直角三角形为背景, 结合动点、 动线和动面来探究函数图象问题, 探究最值问题, 探究开放性问题;二是探究直角三角形,如两线垂直关系、(等腰)直角三角形等的存在性问 题 解题时需要画出各种状态图形, 观察分析图形, 把复杂的图形分解成两直线垂直的基本 图形,利用勾股定理、三角函数等知识,把各相关线段代数化,转化为函数问题、方程问题 来解决,分析问题时还需注意对图形的分类,一般以直角顶点来分类 直角三角形中体现的分类思想 1如图,在 RtABC 中,A90,ABA
2、C,BC 2 1,点 M,N 分别是边 BC,AB 上的动点,沿 MN 所在的直线折叠B,使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上若 MBC 为直角三角形,求 BM 的长 解:在 RtABC 中,A90,ABAC,可得BC45.由折叠的性质可知 BMMB,若MBC 为直角三角形,分两种情况: 若MBC90,由C45可得 MBCB,设 BMx,则 MBCBx,MC 2 x,x 2 xBC 2 1,解得 x1,即 BM1;若BMC90,由C 45可得 BMMBCM,BM1 2 BC 21 2 ,BM 的长为 1 或 21 2 2如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,过 B 点的切线交 AC
3、 的延长线于点 D, E 为弦 AC 的中点,AD10,BD6,若点 P 为直径 AB 上的一个动点,连结 EP,当AEP 是直角三角形时,求 AP 的长 解:BD 为O 的切线,ABBD,AB AD2BD2 10262 8.连结 BC, 则ACB90,cos BACAC AB AB AD ,AC AB2 AD 82 10 32 5 ,AEEC16 5 . 当AEP90 时, AEEC, EP 经过圆心 O, APAO4; 当APE90 时, 则 EPBD, AP AB AE AD ,AP AB AE AD 816 5 10 64 25 .综上所述,AP 的长为 4 或 64 25 按直角顶点
4、分类画出图形,利用直角三角形的勾股定理、三角形相似来解决 直角三角形存在性问题探究 (一)点在直线上 3如图,在矩形 ABCD 中,AB4,AD2,点 E 在 CD 上,DE1,点 F 是边 AB 上 一动点,以 EF 为斜边作 RtEFP.若点 P 在矩形 ABCD 的边上,且这样的直角三角形恰好有 两个,求 AF 的取值范围 解:EFP 是直角三角形,且点 P 在矩形 ABCD 的边上,P 是以 EF 为直径的O 与矩形 ABCD 的交点当 AF0 时,如图,此时点 P 有两个,一个与点 D 重合,一个交 在边 AB 上;若O 与 AD 相切时,此时点 P 只有一个, 即为O 与 AD 边
5、的切点,如图; 若O 与 BC 相切时,此时点 P 有 3 个,分别记为 P1,P2,P3,如图,连结 OP1,交 P2F 于点 G,则 OP1BC.设 AFx,则 BFP2C4x,EP2x1.OP1EC,OEOF, OG1 2 EP2 x1 2 ,OFOP1x1 2 (4x).在 RtOGF 中,OF2OG2GF2, (x1 2 4x)2(x1 2 )212,解得 x11 3 .当 1AF11 3 时,这样的直角三角形恰好有 两个;当 AF4,即 F 与 B 重合时,这样的直角三角形恰好有两个,如图.综上所述,AF 0 或 1AF11 3 或 AF4 4如图,在矩形 ABCD 中,AB2 3
6、 ,BC3,动点 P 从 B 出发,以每秒 1 个单位 的速度沿射线 BC 方向移动,作PAB 关于直线 PA 的对称图形PAB,设点 P 的运动时间 为 t(s). (1)如图,当点 B落在 AC 上时,显然PCB是直角三角形,求此时 t 的值; (2)是否存在异于图的时刻,使得PCB是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合 题意的 t 的值;若不存在,请说明理由 解: (1)四边形 ABCD 是矩形, ABC90, AC AB2BC2 21 .PCB ACB, PBCABC90, PCBACB, CB CB PB AB , 212 3 3 PB 2 3 ,PB2 7 4 (2)存在,理由如
7、下:如图,当PCB90时,DBAB2AD2 (2 3)232 3 ,CBCDDB 3 .在 RtPCB中,BP2PC2BC2, t2( 3 )2(3t)2,t2; 如 图 , 当 PCB 90 时 , 在 Rt ADB 中 , DB AB2AD2 (2 3)232 3 ,CB3 3 . 在 RtPCB中,有(3 3 )2(t3)2t2,解得 t6; 如图,当CPB90时,易证四边形 ABPB为正方形,t2 3 . 综上所述,满足条件的 t 的值为 2 s 或 6 s 或 2 3 s (二)点在抛物线上 5 (2020 通辽)如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点
8、A, B, 与 y 轴交于点 C.且直线 yx6 过点 B,与 y 轴交于点 D,点 C 与点 D 关于 x 轴对称,点 P 是线段 OB 上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M,交直线 BD 于点 N. (1)求抛物线的函数表达式; (2)当MDB 的面积最大时,求点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在 y 轴上是否存在点 Q,使得以 Q,M,N 三点为顶点的三角形是直 角三角形?若存在,直接写出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由 解:(1)令 y0,得 yx60,解得 x6,B(6,0),令 x0,得 yx66, D(0,6),点 C 与点 D 关于 x 轴对称,C(0
9、,6),把 B,C 两点坐标代入 yx2 bxc 中,得 366bc0, c6, 解得 b5, c6, 抛物线的函数表达式为 yx25x6 (2)设 P(m,0),则 M(m,m25m6),N(m,m6),则 MNm24m12, MDB 的面积1 2 MN OB3m 212m363(m2)248, 0m6, 当 m2 时, MDB 的面积最大,此时,P 点的坐标为(2,0) (3)由(2)知,M(2,12),N(2,4),当QMN90时,QMx 轴,则 Q(0,12);当 MNQ90时,NQx 轴,则 Q(0,4);当MQN90时,设 Q(0,n),则 QM2 QN2MN2,即 4(12n)2
10、4(n4)2(124)2,解得 n4 2 15 ,Q(0,42 15 ) 或(0,42 15 ).综上,存在以 Q,M,N 三点为顶点的三角形是直角三角形其 Q 点坐标 为(0,12)或(0,4)或(0,42 15 )或(0,42 15 ) 6如图,抛物线 yx2(m2)x4 的顶点 C 在 x 轴正半轴上,直线 yx2 与抛物线 交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧). (1)求抛物线的函数表达式; (2)点 P 是抛物线上的一点,若 SPAB2SABC,求点 P 的坐标; (3)将直线 AB 上下平移,平移后的直线 yxt 与抛物线交于 A,B两点(A在 B的左 侧),当以点 A,
11、B和(2)中第二象限内的点 P 为顶点的三角形是直角三角形时,求 t 的值 解:(1)根据题意,得 (m2) 2160, m2 2 0, 解得 m6,抛物线的函数表达式是 yx24x4 (2)如图,过点 C 作 CEAB 交 y 轴于点 E,设直线 AB 交 y 轴于点 H,则点 H(0,2). 易得直线 CE 的表达式为 yx2,HE4.由 SPAB2SABC可在 y 轴上且点 H 上方取一 点 F,使 FH2HE,则 F(0,10).过点 F 作平行于 AB 的直线交抛物线于点 P1,P2.此时 P1, P2均满足 SPAB2SABC.易得直线 P1P2的函数表达式为 yx10,联立方程组
12、 yx10, yx24x4, 解得 x11, y19, x26, y216. 综上所述,满足条件的点 P 的坐标为(1,9)或 (6,16) (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),显然PAB90. 如图, 当ABP90时, 过点 B作直线 MNy 轴, AMMN 于点 M, PNMN 于点N, 直线 AB的表达式是 yxt, BAM45, 进一步可得到ABM, PBN 都是等腰直角三角形, PNNB, x219y2, 即 x2y28 .又y2x2t, x24 1 2t, y241 2t. 将点(41 2 t,4 1 2 t)代入 yx 24x4,得 41 2 t(4 1 2 t2) 2
13、,解得 t 1 0,t210(此时点 A与点 P 重合,舍去); 如图,当APB90时,过点 P 作 EFy 轴,AEEF 于点 E,BFEF 于 点 F,则AEPPFB,AE PE PF BF , x11 9y1 y29 x21 ,x1x2(x1x2)19(y1 y2)y1y281.令 x24x4xt,则 x25x4t0,则 x1x25,x1x24t,( 5)24(4t)0,解得 t9 4 ,y1y2(x1t)(x2t)x1x22t52t,y1y2(x1 t)(x2t)x1x2t(x1x2)t2t24t4, (4t)519(52t)(t24t4)81, 整理, 得 t215t500,解得 t
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