广东省湛江市2020-2021学年高一上期末考试数学试题（含答案）

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1、 湛江市湛江市 20202021 学年度第一学期期末调研考试学年度第一学期期末调研考试 高中数学高中数学(必修第一册必修第一册)试卷试卷 说明：本卷满分 150 分考试用时 120 分钟 题号 一 二 三 四 总分 17 18 19 20 21 22 得分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的请把正确答案的代号填入下面的表格内求的请把正确答案的代号填入下面的表格内 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 选项 1已知集合32101,2

2、,3，A ，集合22| xxB， 则图中阴影部分表示的集合为 A2101， B101， C22| xx D10， 2下列各组角中两个角终边不不 相同的一组是 A 43 和 677 B 900和 1260 C 120 和 960 D 150和 630 3下列各组函数表示相同函数的是 A 2 )(xxf 和 2 )()(xxg B1)( xf和 0 )(xxg C|)(xxf 和 0, ,0, )( xx xx xg D1)( xxf和 1 1 )( 2 x x xg 4已知命题p：Rx ，0 x，则命题p 是 ARx ，0 x BRx ，0 x CRx ，0 x DRx ，0 x 5已知不等式0

3、5 2 bxax的解集为23| xx，则不等式05 2 axbx的解为 A. 2 1 3 1 | xx B. 3 1 2 1 | xx C. 2 1 3 1 | xxx或 D. 3 1 2 1 | xxx或 6已知偶函数)(xf在),0上单调递增，则对实数a、b， “|ba ”是“)()(bfaf”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知二次函数12 2 axxy在区间)3,2(内是单调函数，则实数a的取值范围是 A2a或3a B32 a C3a或2a D23a 8已知0a，0b且04 2 ba，则 ba ba 32 A有最大值 6 17 B有最大值

4、5 14 C有最小值 6 17 D有最小值 5 14 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分请把正确答案的代号填入下面的表格内分请把正确答案的代号填入下面的表格内 题号 9 10 11 12 得分 选项 9已知函数) 3 2sin()( xxf，则 A函数)(xf的图象关于直线 3 x对称 B函数)(xf的图象关于点)0, 6 ( 对称 C函数)

5、(xf在区间) 6 , 12 5 ( 上单调递增 D函数)(xf在区间) 6 7 ,0( 上有两个零点 10函数12)( 2 xaxxf与函数 a xxg)(在同一个坐标系中的图象可能是 A B C D 11下列结论正确的是 A当0 x时，2 1 x x B当0 x时， 4 5 2 2 x x 的最小值是2 C当0 x时， 54 2 12 x x的最小值是 2 5 D若0 x，0y，且2 yx，则 yx 41 的最小值是 2 9 12设函数)(xf是定义在R上的偶函数，对任意的实数x，均有)3()()6(fxfxf，已知 1 x、 2 x 3,0且 21 xx 时，0 )()( 21 21 x

6、x xfxf ，则下列命题正确的是 A0)3(f B直线6x是函数)(xf图象的一条对称轴 C函数)(xf在6,9上是增函数 D函数)(xf在9,9 上有四个零点 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知扇形的圆心角为 3 2 ，扇形的面积为3，则该扇形的弧长为_ 14设 2) 1(log ,22 )( 2 3 1 xx xe xf x ，则)1 ( ff_ 15已知正数x、y满足143yx，则xy的最大值为 16. 函数) 4 sin(2)2sin()( xxxf 的最小值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共

7、小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 求值： （） 3 4 2 1 0 )8() 9 16 () 12( ； （）eln 100 1 lg 3log2 28log27log 94 . 18.（本小题满分 12 分） 已知、是锐角， 5 5 cos， 5 5 )cos(. （）求2cos的值； （）求)tan(的值. 19.（本小题满分 12 分） 已知函数x x m xf2)( 2 . （）当1m时，用定义法证明函数)(xf在),0(上是减函数； （）已知二次函数)(xg满足64)(4)2(xxgxg，

8、3) 1 (g，若不等式)()(xfxg恒成立， 求m的取值范围. 20（本小题满分 12 分） 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况一般情况下，隧道内的车流速度v（单 位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式： 12020 140 60 ,20050 x x k x v研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此 时车流速度为0千米/小时 （）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围； （）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足vxy，求隧道内车 流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到

9、最大时的车流密度（精确到1辆/千米） （参考数据：646. 27 ） 21 （本小题满分 12 分） 在条件： 函数)2sin()(xxf（0， 2 | ） 的图象向右平移 6 个单位长度得到函数)(xg 的图象，函数)(xg的图象关于点)0, 12 ( 对称； 条件： 函数 2 1 ) 6 sin(cos2)( xxxf（0） 这两个条件中任选一个， 补充到下面问题中， 并解答. 已知 ，函数)(xf的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 . （）若函数)(xf在区间,0上的值域为1, 2 1 ，求的取值范围； （）求函数)(xf在区间2,0上的单调递增区间. 22 （本小题满分 12 分）

10、已知函数) 1(log)( 2 2 1 xxf，6)( 2 axxxg （）若关于x的不等式0)(xg的解集为32| xx，当1x时求 1 )( x xg 的最小值； （）若对任 意的),1 1 x，4,2 2 x，不等式)()( 21 xgxf恒成立，求a的取值范围 高中数学必修第一册参考答案与评分标准高中数学必修第一册参考答案与评分标准 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B D C B A C A D 8解：因为 ba a ba aba ba ba 3 )(332 ，由04 2 ba

11、可得4 2 aaba， 所以 4 2 aa a ba a ，所以 a a aa a ba ba 4 1 1 3 4 3 32 2 ，因为4 4 a a（当且仅当 2a时取等号，此时8b） ，所以 5 14 5 1 3 32 ba ba 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 题号 9 10 11 12 选项 CD ACD AD ABD 12解：

12、因为)3()3()63(fff，且)(xf是偶函数，所以0)3(f，故 A 正确所以 )()6(xfxf， ，函数)(xf是周期为6的函数，因为偶函数)(xf的图象关于y轴对称，故 B 正确当 1 x、 2 x3,0且 21 xx 时，)()( 21 xfxf与 21 xx 同号，即)(xf在3,0上单调递增，所以)(xf 在0,3 上单调递减，所以)(xf在6,9上单调递减，故 C 错误因为0)3()3( ff，)(xf 在3,0上单调递增，)(xf为偶函数，周期为6，所以)(xf在3,6、9,6上单调递增，)(xf 在6,9、0,3 、6,3上单调递减，所以函数)(xf在9,9 上有四个零

13、点，故 D 正确 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 132 141 15 48 1 16 4 5 16解：) 4 sin(21)cos(sin) 4 sin(22sin)( 2 xxxxxxf ) 4 sin(21) 4 sin(2( 2 xx 令) 4 sin(2 xt， （t（2,2） ） ， 则 4 5 ) 2 1 (1)( 22 ttttf， 当t （2,2）时， 4 5 ) 2 1 ( min ff 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文

14、字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 解： （）原式 3 4 2 3 2 1 )2() 16 9 (1 ，3 分 2 4 1 4 3 1.5 分 （）原式 2 1 2 ln)10lg(e3 9lg 8lg 4lg 27lg ，7 分 2 1 23 2 3 2 3 3lg 2lg 2lg 3lg ，9 分 2 1 4 9 4 7 .10 分 18 （本小题满分 12 分） 解： （）因为、是锐角， 5 5 cos， 5 5 )cos(，则), 2 ( ，1 分 所以 5 52 cos1sin 2 ， 5 52 )(cos1)sin( 2 ，3 分 所以 5 3 sin)si

15、n(cos)cos()cos(cos，5 分 所以 25 7 1cos22cos 2 .6 分 （）由（）知 5 3 cos，所以 5 4 cos1sin 2 ，则 3 4 cos sin tan .8 分 又 5 5 cos， 5 52 sin，所以2 cos sin tan .10 分 所以 11 2 tantan1 tantan )tan( .12 分 19 （本小题满分 12 分） （）证明：当1m时，x x xf2 1 )( 2 ， 设 1 x、 2 x是区间),0(上的任意两个实数，且 1 x 2 x，1 分 则 2 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 )()(x x x x

16、 xfxf， )2)()(2 2 2 2 1 12 1212 2 2 2 1 2 1 2 2 xx xx xxxx xx xx ，3 分 因为 1 0 x 2 x，所以0 12 xx，0 12 xx，0 2 2 2 1 xx，4 分 所以0)()( 21 xfxf，所以)()( 21 xfxf5 分 所以函数)(xf在),0(上是减函数6 分 （）解：设cbxaxxg 2 )(（0a） ，7 分 所以cbxaxxg24)2( 2 ，64)44(464)(4 2 cxbaxxxg，8 分 依题意：442 bb，64 cc，所以2b，2c 又因为3) 1 (g，所以1a，所以22)( 2 xxxg

17、9 分 因为)()(xfxg恒成立（显然0 x） ， 所以 2 2 2 x m x恒成立，即： 24 2xxm恒成立.10 分 因为11) 1(2 224 xxx，11 分 所以若不等式)()(xfxg恒成立，m的取值范围是)1,(.12 分 20（本小题满分 12 分） 解： （）依题意：120 x时0v，代入 x k v 140 60解得1200k，1 分 所以 12020 140 1200 60 ,20050 x x x v.2 分 当200 x时，4050v，符合题意；3 分 当12020 x时，令40 140 60 x k ，解得80 x，此时8020 x.4 分 综上所述：车流速度

18、v不小于40千米/小时时，车流密度x的取值范围是80,0(.5 分 （）依题意： 12020 140 1200 60 ,20050 x x x x xx y，6 分 当200 x时，xy50是增函数， 所以10005020y（当且仅当20 x时取等号）. 7 分 当12020 x时， ) 140 2800)140(20 (60) 140 20 (60 140 1200 60 x x x x x x x x xy ，8 分 ) 140 2800 140(160(60) 140 2800 20(60 x x x x ，9 分 3250)740160(60) 140 2800 )140(2160(6

19、0 x x，10 分 （当且仅当 x x 140 2800 140，即87720140 x时取等号） ，11 分 综上所述，隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时隧道内的车流密度约为87辆/千米. 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解：选条件： 因为函数)(xf的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 ，所以 2 2 T，所以1， 所以)2sin()(xxf.2 分 依题意函数) 3 2sin()( xxg（ 2 | ）的图象关于点)0, 12 ( 对称， 所以 6 . 所以) 6 2sin()( xxf.5 分 （）由,0 x可得 6 2, 6 6 2 x，6 分 因为函数)(x

20、f在区间,0上的值域为1, 2 1 ， 由正弦函数的图象可得 6 5 6 2 2 ，解得 36 ， 所以的取值范围是 3 , 6 .8 分 （）由 kxk2 26 22 2 （Zk）解得： kxk 63 （Zk） ， 当0k时，可得 63 x；9 分 当1k时，可得 6 7 3 2 x；10 分 当2k时，可得 6 13 3 5 x.11 分 所以函数)(xf在区间2,0上的单调递增区间为 6 , 3 、 6 7 , 3 2 、2, 3 5 . 12 分 选条件： 2 1 ) 6 sincos 6 cos(sincos2 2 1 ) 6 sin(cos2)( xxxxxxf， 2 1 cosc

21、ossin3 2 xxx，2 分 ) 6 2sin(2cos 2 1 2sin 2 3 xxx.3 分 因为函数)(xf的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2 ，所以 2 2 T，所以1， 所以) 6 2sin()( xxf.5 分 以下解答及评分标准同上. 22（本小题满分 12 分） 解： （）因为06 2 axx的解集为32| xx，所以由0624)2(ag解得5a， 所以3 1 2 1 1 2) 1(3) 1( 1 65 1 )( 22 x x x xx x xx x xg ， 因为1x，所以01x，所以3223 1 2 1 x x（当且仅当12 x时取等号）. 所以 1 )( x xg

22、 的最小值是322.4 分 （）当1x时21 2 x，所以1) 1(log)( 2 2 1 xxf，5 分 要令不等式)()( 21 xgxf恒成立，只需16 2 axx在4,2 上恒成立，6 分 设7)( 2 axxxF（4,2 x） ，其对称轴为 2 a x ，7 分 当4a时， 112)2( min aFF，由0112a解得： 2 11 a，此时4 2 11 a.8 分 当84a时， 7 4 ) 2 ( 2 min aa FF，由07 4 2 a 解得：7272x，此时724x. 10 分 当8a时，0234)4( min aFF，与题意矛盾. 11 分 综上所述，所求a的取值范围是72, 2 11 .12 分