山东省威海市2020-2021学年高二上期末考试数学试题（含答案）

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1、高二数学第 1页（共 4 页） 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.抛物线 2 2xy的准线方程为 A. 1 8 x B. 1 2 x C. 1 8 y D. 1 2 y 2.已知复数(i)iza在复平面内对应的点在直线21yx上，则实数a的值为 A.3B.0C.1D.3 3.已知直线230axy与

2、直线2310 xy 垂直，则实数a的值为 A.3B.3C. 4 3 D. 4 3 4.已知向量(1 32)，a，(21 3)， ，b，(4 5)m，c，若a，b，c共面，则实数m 的值为 A. 1 2 B.1C. 1 2 D.1 5.设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1310 0aSS，则 n S取最大值时n的值为 A.6B.7C.6或7D.7或8 6.若PAPBPC，是从点P发出的三条射线，每两条射线的夹角均为60，则直线PC与 平面PAB所成角的余弦值为 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 4 7.数列 n F： 12 1FF， 12 2 nnn FFFn ，最初

3、记载于意大利数学家斐波那契在 1202年所著的算盘全书.若将数列 n F的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序 构成新的数列 n a，则数列 n a的前2021项和为 A.1345B.1346C.1347D.1348 8.已知 12 FF，分别是双曲线 22 22 :1 xy C ab （00ab，）的左、右焦点，设以 12 FF为 直径的圆与C在第一象限的交点为P，若直线 1 PF与圆 222 xya相切，则C的渐近线 方程为 高二数学第 2页（共 4 页） A. 1 2 yx B.2yx C.2yx D. 2 2 yx 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小

4、题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分. 9.若复数 0 2 1 i z ，则 A. 0 z的虚部为1B. 0 2z C. 2 0 z为纯虚数D.若 0 1zz，则z的最大值为 21 10.已知曲线 22 :C xmyn，则 A.若10mn，则C是以n为半径的圆 B.若10mn，则C是焦点在x轴上的椭圆 C.若C是双曲线，则0m D.若C是两条直线，则0n 11.在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，O为底面ABCD的中心，则 A. 11 ACBC B.直线 1 CD与BD所成的角为60 C.三棱锥 11 OBCD的体积为

5、1 3 D.直线 1 AC与平面 11 AADD所成角的正弦值为 6 3 12. 设 直 线:2 n lyxn 与 圆 22 :21 nn Cxyan交 于 不 同 的 两 点 nn AB， * ()nN. 已知 2 11 1 4 nnn aaA B ，记数列 n a的前n项和为 n S，则 A. 1 2 n n a B.21 n n a C. 1 22 n n Sn D. 1 1 1 1 222 21 in n n i ii a a 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知直线l过点(1 0)，且与圆 22 41xyy相切，则直线l的方程为_ 14.已知四面体

6、ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，则BC AG _. 15.已知AB，是椭圆 22 22 :1(0) yx Cab ab 的左、 右顶点，P为C上一点， 设直线PA， PB的斜率分别为 12 kk，若 1 2 4 9 kk ，则椭圆C的离心率为_. 16.已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 2 (1)(2) nnn a SSn，则 n a _. 高二数学第 3页（共 4 页） 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 2 3a ， 7 35S .

7、 （）求数列 n a的通项公式； （）设2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T. 18.（本小题满分 12 分） 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为2，侧棱长 为4，EF，分别为 11 BC，AD的中点. （）求证：BE平面 11 C FD； （）求直线BE到平面 11 C FD的距离. 19.（本小题满分 12 分） 已知动圆与直线1x 相切，且过点1 0F,，设动圆圆心P的轨迹为C. （）求C的方程； （）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且O为坐标原点，OAOB， 求证：直线l恒过定点. B1 A1 CD D1 F E C1 B A 高二数学第 4页（共

8、4 页） 20.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB为等边三角形， 90ABC ，2ABBC，平面SAB 平面ABC， D为AC的中点. （）求证：ABSD； （）在侧棱SC上是否存在一点P，使二面角 SABP的大小为30，若存在，求 SP PC 的值；若不 存在，请说明理由. 21.（本小题满分 12 分） “绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生 态环境建设，促进旅游业的发展. 计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少 20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同. 设本年 度为第一年，

9、已知前三年旅游业总收入为1525万元. （）设第n年的投入为 n a万元，旅游业收入为 n b万元，写出 n a， n b的表达式； （）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ （参考数据：lg20.301，lg30.477） 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) yx Cab ab 经过点 3 ( 1) 2 P ， 12 FF，为C的左、右焦点， 12 BB，为其短轴的两个端点， 12 BB是 1 PF与 2 PF的等差中项. （）求C的标准方程； （）过 2 F作一条不垂直于x轴的直线l，交C于AB，两点，线段AB的中垂线交x 轴于M点，求MA的取值范围.

10、 S D CB A 高二数学答案第 1页（共 4 页） 高二数学参考答案 一、单选题：一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ACABC C D B 二、多选题二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 9.ACD10.BC11.AB12.BCD 三、填空题：三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.210 xy 14. 1 4 15. 5 3 16. 11 1 2 (1) n n a n nn ， ， 四、解答题四、解答题: 17.（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 解： （）设等差数列 n a的公差为d，1 分 由题意

11、知 21 71 3 72135 aad Sad ，解得 1 21ad，3 分 所以 1 (1)1 n aandn.4 分 （）2(1) 2 nn nn ban，5 分 所以 23 2 23 24 2(1) 2n n Tn ，6 分 2341 22 23 24 22(1) 2 nn n Tnn ，7 分 两式相减得 1 11 42 2 2(1) 22 1 2 n nn n Tnn ，9 分 所以 1 2n n Tn .10 分 18.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解： （）证明：取 11 AD的中点G，分别连接AG，GE， 因为 1111 GE ABAB AB , ，所以AB GE，

12、 所以四边形ABEG为平行四边形，所以AGBE，2 分 因为 1 AF DG，所以四边形 1 AFDG为平行四边形， 所以 1 AGD F，所以 1 BED F，4 分 因为BE 平面 11 C FD， 1 D F 平面 11 C FD. 所以BE平面 11 C FD.6 分 （）因为BE平面 11 C FD， 所以E到平面 11 C FD的距离即为BE到平面 11 C FD的距离，7 分 设E到平面 11 C FD的距离为h， 因为 11 C D 平面 11 A ADD，所以 111 C DFD，得 1 17FD ，8 分 又 1111 E C D FF C D E VV ， 所以 1111

13、11 4h C D FDC D C E，解得 4 17 17 h ， G B1 A1 CD D1 F E C1 B A 高二数学答案第 2页（共 4 页） 所以BE到平面 11 C FD的距离为 4 17 17 .12 分 (也可建系利用法向量求解) 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解： （）由题意知，点P到1 0F,的距离与到直线1x 的距离相等， 所以P的轨迹是以1 0F,为焦点，1x 为准线的抛物线，2 分 所以曲线C的方程为 2 4yx.4 分 （）由题意直线l斜率不为0，设直线l：0 xmyb b， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 由 2 4yx xmyb

14、可得 2 440ymyb，6 分 2 16160mb ，则 12 4y yb ，6 分 由OAOB可得0OA OB ，即 1212 0 x xy y， （*）8 分 因为 2 11 4yx， 2 22 4yx，所以 22 121212 4416y yxxx x， 代入（*）式可得 12 16y y ，10 分 所以416b ，即4b ，11 分 故l：4xmy，因此直线l恒过定点4,0.12 分 20.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解： （）取AB中点O，连接SO， 因为侧面SAB为等边三角形，则SOAB，1 分 D为AC的中点，连接OD，则ODBC，因为90ABC ， 所以ODA

15、B，2 分 又ODOSO，所以AB 平面SOD，3 分 所以ABSD.4 分 （）因为平面SAB 平面ABC，SOAB， 所以SO 平面ABC，SOOD， 又ODAB，所以OS,OD,OB两两互相垂直.5 分 以O为原点，OB ,OD ,OS 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为2ABBC，所以( 1 0 0)A ，(1 0 0)B ，(1 2 0)C ，(0 03)S， 所以(1 23)SC ，( 2 0 0)AB ，6 分 若侧棱SC上存在一点P，设(01)SPSC ， 则(23 )SP ， ，(1 03)AS ， 所以(1233 )APASSP ，

16、，7 分 设平面APB的一个法向量为()xyz， ，n， D O S CB A y x z 高二数学答案第 3页（共 4 页） 由 0 0 AB AP n n ，即 20 (1)2( 33 )0 x xyz ， 令2z，则得3(1)y，此时(03(1) 2 )，n， 9 分 平面SAB的一个法向量为(0 1 0)，m，若二面角SABP大小为30， 则 22 313 cos, 2 3(1)4 n m n m n m ，10 分 解得 1 3 ，11 分 故在侧棱SC上存在一点P，满足 1 2 SP PC ，使二面角SABP大小为30.12 分 21.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解：

17、 （）由题意知 n a， n b均为等比数列， 数列 n a的首项为1200，公比为 4 1 20% 5 ，所以 1 4 1200 ( ) 5 n n a ，1 分 设数列 n b的公比为q，显然0q ，1q . 所以三年内旅游业总收入为 3 400(1) 1525 1 q q ，即 2 61 1 16 qq， 2 分 所以 2 1616450qq，解得 5 4 q 或 9 4 q （舍去） ， 3 分 所以 1 5 400 ( ) 4 n n b .4 分 （）设至少经过n年，旅游业的总收入才能超过总投入. 则经过n年，总投入为 4 12001 ( ) 4 5 60001 ( ) 4 5 1

18、 5 n n ，5 分 经过n年，旅游业总收入为 5 4001 ( ) 5 4 1600( )1 5 4 1 4 n n ，6 分 所以 54 1600( )160001 ( ) 45 nn ，化简得 45 15( )4( )190 54 nn 7 分 设 4 ( ) (01) 5 n tt ，代入上式得 2 151940tt， 解此不等式，得1t （舍去）或 4 15 t ，9 分 即 44 ( ) 515 n ，解得 4 5 4 lg 42lg2(lg3lg5)3lg2lg3 1 15 log5.9 4 152lg2lg53lg2 1 lg 5 n 高二数学答案第 4页（共 4 页） 由此

19、得6n.11 分 所以至少经过6年，旅游业的总收入才能超过总投入.12 分 22.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解： （）将 3 ( 1,) 2 代入椭圆方程得 22 13 1 4ab ，1 分 由题意可知， 112 2| |BBPFPF，所以2ab，2 分 解得1,2ba， 所以C的方程为 2 2 1 4 x y.4 分 （）椭圆 2 2 1 4 x y的右焦点 2( 3 0) F,，设:(3)l yk x， 代入椭圆方程整理得 2222 (14)8 31240kxk xk，5 分 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，取AB的中点G， 22 1212 22 8 3

20、124 , 1414 kk xxx x kk ，6 分 所以 2 12 2 4 3 214 xxk k ，可求得 12 2 3 214 yyk k ， 所以G 2 22 4 33 (,) 1414 kk kk ，7 分 因为0 M y，所以 2 2 2 13 1 14 GM kk GMkyy k ，8 分 222 121212 |1|1()4ABkxxkxxx x， 222 22 222 8 34(124)4(1) 1() 141414 kkk k kkk ，9 分 因为 222 |MAGMGA， 所以 2222 2 22 3(1)4(1) | (14) kkk MA k ，10 分 设 2 14kt，则1t，得 2 1 4 t k ，代入式， 化简得， 2 2 22 73027111 |(2730 +7) 1616 tt MA ttt （ 1 01 t ） ，11 分 可得 2 7 |(4 16 MA ,，所以 7 | (2 4 MA ,.12 分