陕西省咸阳市2020-2021学年考高考第一次模拟数学理科试题（含答案）

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1、咸阳市咸阳市 2021 年高考模拟检测年高考模拟检测（一一） 数学数学（理科理科）试题试题 注意事项：注意事项： 1本试卷共 4 页，满分 150 分，时间 120 分钟； 2答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名准考证号； 3 第卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂， 第卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写涂写， 要工整、清晰； 4考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回 第卷第卷（选择题选择题 共共 60 分分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小

2、题给出的四个选项中，只有 一项是符合装题目要求的一项是符合装题目要求的 1若集合 2 230Ax xx，0,1,2,3,4B ，则AB（ ） A0,2 B0,1,2 C3,4 D0,2,3 2设复数 1 1 i z i ，那么在复平面内复数31z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3据乾陵百迷记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治 和武则天的合葬墓乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓1961 年 3 月被国务院公布为第一批全国重点 文物保护单位乾陵气势雄伟，规模宏大登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共 526 级台阶

3、 （各台阶高度相同 ）和 18 座平台，宽 11 米，全路用 32000 块富平墨玉石砌成石阶有许多象征意义比 如第一道平台的 34 级台阶，征唐高宗李治在位执政 34 年，第二道平台的 21 级台阶，象征武则天执政 21 年第九道平台的 108 级台阶，象征有 108 个“吉祥” 现已知这 108 级台阶落差高度为 17.69 米，那么 乾陵石阶路 526 级台阶的落差高度约为（ ） A83.6 米 B84.8 米 C85.8 米 D86.2 米 4已知某圆锥的轴截面是边长为 4 的正三角形，则它的体积为（ ） A 2 3 3 B 4 3 3 C 8 3 3 D2 3 5已知函数 2 ( )

4、1 21 x f x ，且 41(3) x ff，则实数x的取值范围是（ ） A(2,) B(,2) C(1,) D(,1) 6中国书法历史悠久、源远流长书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自 然观、宇宙观和人生观谈到书法艺术，就离不开汉字汉字是书法艺术的精髓汉字本身具有丰富的意 象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体， 如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体 互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（ ） A 4 25 B 8 25 C 9 25 D 18

5、25 7已知M经过坐标原点，半径2r ，且与直线2yx相切，则M的方程为（ ） A 22 (1)(1)2xy或 22 (1)(1)2xy B 22 (1)(1)2xy或 22 (1)(1)2xy C 22 (1)(1)2xy或 22 (2)2xy D 22 (1)(1)2xy或 22 (2)2xy 8若将函数3sin2yx的图像向右平移 6 个单位长度，平移后图像的一条对称轴为（ ） A 5 6 x B 5 12 x C 3 x D 2 3 x 9渭河某处南北两岸平行，如图所示某艘游船从南岸码头A出发北航行到北岸假设游船在静水中航行 速度大小为 1 10km/ hv ，东水流速度的大小为 2

6、6km/ hv 设速度 1 v与速度 2 v的夹角为120，北岸 的点 A 在码头A的正北方向那么该游船航行到达北岸的位置应（ ） A在 A 东侧 B在 A 西侧 C恰好与 A 重合 D无法确定 10已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上存在两点A，B关于直线6yx对称，且线段AB的中 点坐标为(2, 4)M，则双曲线C的离心率为（ ） A2 B3 C2 D5 11在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABBC， 2 ABC ，若该直三棱柱的外接球表面积为16， 则此直三棱柱的高为（ ） A4 B3 C4 2 D2 2 12已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，且当

7、0 x时，函数( )e2 x f xx，若关于x的函数 2 ( ) ( )(2) ( )2F xf xaf xa恰有 2 个零点，则实数a的取值范围为（ ） A 1 ,2 e B(, 2)(2,) C 11 2,22,2 ee D 11 2,2 ee 第卷第卷（非选择题非选择题 共共 90 分分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若x，y满足约束条件 20 20 2 xy xy x ，则3zxy的最大值为_ 14 3 2 3(1)x x 的展开式中常数项为_ 15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知3 co

8、s3bCac，且 AC，则sin A _ 16已知函数( )sin(cos )cos(cos )f xxx，现有以下命题： ( )f x是偶函数； ( )f x是以2为周期的周期函数； ( )f x的图像关于 2 x 对称； ( )f x的最大值为2 其中真命题有_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一一）必考题：共必考题：共 60 分分 17 （本小

9、题满分 12 分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAC 平面ABC，PCAC，BCAC， 2ACPC，4CB，M是PA的中点 （）求证：PA 平面MBC； （）设点N是PB的中点，求二面角NMCB的余弦值 18 （本小题满分 12 分）设数列 n a是公差大于零的等差数列，已知 1 3a ， 2 24 24aa （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 n b满足 sin() cos() n n n an b an 为奇数 为偶数 ，求 122021 bbb 19 （本小题满分 12 分）某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试受新冠疫情 影响，初试采取线上考核的形式，共考

10、核A、B、C三项技能，其中A必须过关，B、C至少有一项过关 才能进入面试现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考 核的过关率均相同，各项技能过关率如下表，且每一项考核能否过关相互独立 考核技能 A B C 过关率 2 3 1 2 1 2 （）求甲应聘者能进入面试的概率； （）用X表示三位应聘者中能进面试的人数，求X的分布列及期望EX 20 （本小题满分 12 分） 设O为坐标原点， 抛物线 2 :4C yx与过点(4,0)T的直线相交于P，Q两个点 （）求证：OPOQ； （）试判断在x轴上是否存在点M，使得直线PM和直线QM关于x轴对称若存在，求出点M的坐

11、 标若不存在，请说明理由 21 （本小题满分 12 分）已知函数 (21) ( )ln() 1 ax f xxa x R有两个极值点 1 x和 2 x （）求实数a的取值范围； （）把 22 21 12 xx xx 表示为关于a的函数( )g a，求( )g a的值域 （二二）选考题：共选考题：共 10 分，考生从分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分作答时用计分作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程

12、 直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos sin x y （为参数） ，直线l的参数方程为 1 3 xt yt （t为 参数） （）求直线l的普通方程，说明C是哪一种曲线； （）设M，N分别为l和C上的动点，求|MN的最小值 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) | 2 |1|f xxx，xR （）求( )2f x 的解集； （）若( )f xkx有 2 个不同的实数根，求实数k的取值范围 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项

13、中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1B 2C 3D 4C 5D 6C 7A 8B 9A 10B 11D 12C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1314 14-7 15 6 3 16 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一一）必考题：共必

14、考题：共 60 分分 17解： （）平面PAC 平面ABC，BCAC， BC 平面PAC， PA平面PAC， BCPA， ACPC，M是PA的中点， CMPA， CMBCC， PA 平面MBC 6 分 （）PCAC，平面PAC 平面ABC， PC 平面ABC， BC平面ABC， PCBC， 建立如图所示的空间直角坐标系， (2,0,0)A，(0,4,0)B，(0,0,0)C，(0,0,2)P，(1,0,1)M，(0,2,1)N， 则(1,0,1)CM ，(0,2,1)CN ，(2,0, 2)PA ， 由（）知(2,0, 2)PA 是平面MBC的一个法向量， 设( , , )nx y z是平面M

15、NC的法向量， 则有 0 0 CM n CN n ，即 0 20 xz yz ，令1y ，则2z ，2x ， (2,1, 2)n ， 设二面角NMCB所成角为， 则 220 12( 2)2 2 coscos, 3|89 PA n PA n PA n 12 分 18解： （）设等差数列 n a的公差为d，则由题意有 2 11 324adad，解得6d 或3d ， 0d ，3d ， 33(1)3 n ann 5 分 （）当n为奇数时，sin3sin0 n bn， 当n为偶数时，cos3cos01 n bn， 8 分 故 n b是以 2 为周期的周期数列，且 12 1bb， 10 分 1220211

16、21 1010101001010bbbbbb 12 分 19解： （）甲应聘者这三项考核分别记为事件A，B，C，且事件A，B，C相互独立，则甲应聘者 能进入面试的概率 2 1 12 1 12 1 11 ()()() 3 2 23 2 23 2 22 P ABCP ABCP ABC 5 分 （）由题知，X的所有可能取值为 0，1，2，3，且 1 3, 2 XB 7 分 3 0 3 11 (0) 28 P XC ； 2 1 3 113 (1) 228 P XC ； 2 2 3 113 (2) 228 P XC ； 30 3 3 111 (3) 228 P XC ， 10 分 分布列为： X 0 1

17、 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 1 3, 2 XB ， 13 3 22 EX 12 分 20解： （）设直线:4PQ xny，设 11 ,P x y， 22 ,Q x y， 联立 2 4 4 xny yx ，消去x得 2 4160yny， 12 4yyn， 12 16y y 3 分 222 12 12 ( 16) 16 4416 yy x x ， 1 212 0 x xy y， 1 212 0OP OQx xy y，即OPOQ 5 分 （）假设存在这样的点M，设( ,0)M t， 由（）知， 12 4yyn， 12 16y y ， 由PM和QM关于x轴对称知，0 MPMQ kk，

18、 7 分 即 1212 1212 44 MPMQ yyyy kk xtxtnytnyt 1221 12 44 44 y nytynyt nytnyt 2212 12 2(4) 44 ny ytyy nytnyt 12 32(4) 4 44 ntn nytnyt 12 164 44 nnt nytnyt 0 10 分 4t ，即存在这样的点( 4,0)M 12 分 21解： （）易知( )f x的定义域为(0,)， 2 2 (23 )1 ( ) (1) xa x fx x x 2 分 设 2 ( )(23 )1h xxa x，其中 2 912aa ， 当0 时，即 4 3 a 或0a 此时( )

19、0h x 有两个根，则有 12 1 2 32 1 xxa x x ， 1 x， 2 x同号， ( )f x的定义域为(0,)， 1 0 x ， 2 0 x ， 12 320 xxa， 2 3 a ， 4 3 a ， 4 分 1,212 (32) 2 a xxx ， ( )f x在 1 0,x上单调递增，在 12 ,x x上单调递减，在 2, x 上单调递增 综上可知，( )f x有两个极值点， 实数a的取值范围为 4 , 3 5 分 （）由（）知，当 4 3 a 时，( )f x有两个不同的极值点 1 x， 2 x，且 12 1 2 32 1 xxa x x ， 22 2 332 21 121

20、21212 12 3(32) (32)3 xx xxxxxxx xaa xx ， 32 4 2754272 3 aaaa 7 分 设 32 4 ( )2754272 3 g aaaaa ， 则 22 ( )811082727 34127(31)(1)0g aaaaaaa， ( )g a在 4 , 3 上是单调递增的， 4 ( )2 3 g ag 10 分 ( )(2,)g a ，即( )g a的值域为(2,) 12 分 （二二）选考题：共选考题：共 10 分，考生从分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分作答时用计分

21、作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑 22解： （）:4l xy， 2 分 2 2 :1 3 x Cy ，即 2 2 1 9 x y，所以曲线C是焦点在x轴上的椭圆 5 分 （）设(3cos ,sin)N，则|MN就是点N到直线l的距离， |3cossin4| 10sin()4| | 22 MN （由tan3决定） 当sin()1时， min 410 |2 25 2 MN 10 分 23解： （） 31,0 ( )1,01 31,1 xx f xxx xx ， 其图像如图所示， 易知：( )2f x 的解集是 1 1 3 x xx 或 5 分 （）由图易知： 20 2 10 OA k ，3 OBAC kk， OAOB kkk，即23k 10 分