上海市浦东新区2020-2021学年九年级上期末学业质量监测数学试卷（含答案详解）

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1、2020-2021 学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一模）学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一模） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确 的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1A、B 两地的实际距离 AB250 米，如果画在地图上的距离 AB5 厘米，那么地图上的距离与实际 距离的比为（ ） A1：500 B1：5000 C500：1 D5000

2、：1 2已知在 RtABC 中，C90，B，AC2，那么 AB 的长等于（ ） A B2sin C D2cos 3下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ay（k1）x2+3 By+1 Cy（x+1） （x2）x2 Dy2x27x 4已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A| | B| | C D 5如图，在ABC 中，点 D、F 是边 AB 上的点，点 E 是边 AC 上的点，如果ACDB，DEBC，EF CD，下列结论不成立的是（ ） AAE2AFAD BAC2ADAB CAF2AEAC DAD2AFAB 6已知点 A（1，2） 、B（2，3

3、） 、C（2，1） ，那么抛物线 yax2+bx+1 可以经过的点是（ ） A点 A、B、C B点 A、B C点 A、C D点 B、C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7如果线段 a、b 满足，那么的值等于 8已知线段 MN 的长为 4，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，那么较长线段 MP 的长是 9计算：2sin30tan45 10如果从某一高处甲看低处乙的俯角为 36 度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 度 11已知 AD、BE 是AB

4、C 的中线，AD、BE 相交于点 F，如果 AD3，那么 AF 12 如图， 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 设 ， ， 那么向量关于 、 的分解式为 13如果抛物线 y（m+4）x2+m 经过原点，那么该抛物线的开口方向 （填“向上”或“向下” ） 14如果（2，y1） （3，y2）是抛物线 y（x+1）2上两点，那么 y1 y2 （填“”或“” ） 15如图，矩形 DEFG 的边 EF 在ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知ABC 的边 BC 长 60 厘米，高 AH 为 40 厘米，如果 DE2DG，那么 DG 厘米 1

5、6秦九韶的数书九章中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在 RtABC 中，C90， AC12，BC5，ADAB，AD0.4，过点 D 作 DEAB 交 CB 的延长线于点 E，过点 B 作 BFCE 交 DE 于点 F，那么 BF 17如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这 个点为“平衡点” 现将抛物线 C1：y（x1）21 向右平移得到新抛物线 C2，如果“平衡点”为（3，3） ，那么新抛物 线 C2的表达式为 18如图，ABC 中，AB10，BC12，AC8，点 D 是边 BC 上一点，且 BD：CD2：1，联结 AD， 过 AD

6、中点 M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边 BC、AC 相交于点 E、F，那 么线段 BE 的长为 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）已知向量关系式（），试用向量 、 表示向量 20 （10 分）已知抛物线 yx2+2x+m3 的顶点在第二象限，求 m 的取值范围 21 （10 分）如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F，且 AB6， BC8 （1）求的值； （2）当 AD5，CF19 时，求 BE 的长 22 （10 分）如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形

7、 ABCD，现将一根木棒 MN 放置在该燕尾槽中，木棒与横断 面在同一平面内，厚度等不计，它的底端 N 与点 C 重合，且经过点 A已知燕尾角B54.5，外口宽 AD180 毫米， 木棒与外口的夹角MAE26.5， 求燕尾槽的里口宽 BC （精确到 1 毫米） （参考数据： sin54.50.81， cos54.50.58， tan54.51.40， sin26.50.45， cos26.50.89， tan26.50.50） 23 （12 分）RtABC 中，ACB90，点 D、E 分别为边 AB、BC 上的点，且 CDCA，DEAB （1）求证：CA2CECB； （2）联结 AE，取 AE

8、 的中点 M，联结 CM 并延长与 AB 交于点 H，求证：CHAB 24 （12 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A（2，4） 、B（5，0）和 O（0，0） （1）求二次函数的解析式； （2）联结 AO，过点 B 作 BCAO 于点 C，与该二次函数图象的对称轴交于点 P，联结 AP，求BAP 的余切值； （3）在（2）的条件下，点 M 在经过点 A 且与 x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点 M 的坐标 25 （14 分）四边形 ABCD 是菱形，B90，点 E 为边 BC 上一点，联结 AE，过点 E 作 EFAE，EF 与边 CD 交于点 F，且

9、 EC3CF （1）如图 1，当B90时，求 SABE与 SECF的比值； （2）如图 2，当点 E 是边 BC 的中点时，求 cosB 的值； （3）如图 3，联结 AF，当AFEB 且 CF2 时，求菱形的边长 2020-2021 学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一模）学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确 的，选择正确项的代

10、号并填涂在答题纸的相应位置上】的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1A、B 两地的实际距离 AB250 米，如果画在地图上的距离 AB5 厘米，那么地图上的距离与实际 距离的比为（ ） A1：500 B1：5000 C500：1 D5000：1 【分析】地图上的距离与实际距离的比就是在地图上的距离 AB与实际距离 250 米的比值 【解答】解：取米作为共同的长度单位，那么 AB250 米，AB5 厘米0.05 米， 所以， 所以地图上的距离与实际距离的比为 1：5000 故选：B 2已知在 RtABC 中，C90，B，AC2，那么 AB 的长等于（ ） A B2sin C D2c

11、os 【分析】根据锐角三角函数的意义即可得出答案 【解答】解：sinBsin，AC2， AB， 故选：A 3下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ay（k1）x2+3 By+1 Cy（x+1） （x2）x2 Dy2x27x 【分析】利用二次函数定义进行分析即可 【解答】解：A、当 k1 时，不是二次函数，故此选项不合题意； B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意； C、化简后 yx2，不是二次函数，故此选项不合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D 4已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A| | B| | C D 【分析】

12、根据平面向量的性质一一判断即可 【解答】解：A、| | 计算正确，故本选项符合题意 B、| | 与 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意 C、与 的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意 D、与的模相等，方向不一定相同，故错误 故选：A 5如图，在ABC 中，点 D、F 是边 AB 上的点，点 E 是边 AC 上的点，如果ACDB，DEBC，EF CD，下列结论不成立的是（ ） AAE2AFAD BAC2ADAB CAF2AEAC DAD2AFAB 【分析】由相似三角形的判定和性质依次判断可求解 【解答】解：DEBC，EFCD， AEFACD，ADEB， 又ACDB， AEFADE

13、， AEFADE， ， AE2AFAD，故选项 A 不合题意； ACDB，DACBAC， ACDABC， ， AC2ABAD，故选项 B 不合题意； DEBC，EFCD， ， ， AD2ABAF，故选项 D 不合题意； 由题意无法证明 AF2AEAC，故选项 C 符合题意， 故选：C 6已知点 A（1，2） 、B（2，3） 、C（2，1） ，那么抛物线 yax2+bx+1 可以经过的点是（ ） A点 A、B、C B点 A、B C点 A、C D点 B、C 【分析】根据图象上点的坐标特征进行判断 【解答】解：B、C 两点的横坐标相同， 抛物线 yax2+bx+1 只能经过 A，C 两点或 A、B

14、两点， 把 A（1，2） ，C（2，1） ，代入 yax2+bx+1 得 解得，； 把 A（1，2） ，B（2，3） ，代入 yax2+bx+1 得 解得，（不合题意） ； 抛物线 yax2+bx+1 可以经过的 A，C 两点， 故选：C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7如果线段 a、b 满足，那么的值等于 【分析】由，可设 a5k，则 b2k，代入，计算即可 【解答】解：， 可设 a5k，则 b2k， 故答案为： 8已知线段 MN 的长

15、为 4，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，那么较长线段 MP 的长是 22 【分析】根据黄金分割的概念得到 MPMN，把 MN4 代入计算即可 【解答】解：线段 MN 的长为 4，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，MPNP， MPMN422， 故答案为：22 9计算：2sin30tan45 0 【分析】根据特殊角的三角函数值计算 【解答】解：原式210 10如果从某一高处甲看低处乙的俯角为 36 度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 36 度 【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可 【解答】解：如图所示： 甲处看乙处为俯角 36， 乙处看甲处为：仰角为 36， 故答案为：36 1

16、1已知 AD、BE 是ABC 的中线，AD、BE 相交于点 F，如果 AD3，那么 AF 2 【分析】连接 DE，根据三角形中位线定理得到 DEAB，DEAB，证明AFBDFE，根据相似 三角形的性质解答即可 【解答】解：连接 DE， AD、BE 是ABC 的中线， DE 是ABC 的中位线， DEAB，DEAB， AFBDFE， 2， AF2FD， AD3， AF2， 故答案为：2 12 如图， 已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 设 ， ， 那么向量关于 、 的分解式为 【分析】由三角形法则可求得向量关于 、 的分解式 【解答】解：如图所示， ， ，则 故答

17、案是： 13如果抛物线 y（m+4）x2+m 经过原点，那么该抛物线的开口方向 向上 （填“向上”或“向下” ） 【分析】根据抛物线 y（m+4）x2+m 经过原点，可得 m0，进而可得结论 【解答】解：抛物线 y（m+4）x2+m 经过原点， m0， a40， 该抛物线的开口方向向上 故答案为：向上 14如果（2，y1） （3，y2）是抛物线 y（x+1）2上两点，那么 y1 y2 （填“”或“” ） 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 y（x+1）2的开口向上，对称轴为直线 x1，则在对称轴 右侧，y 随 x 的增大而增大 【解答】解：y（x+1）2， a10， 抛物线开口向上， 抛物线

18、 y（x+1）2对称轴为直线 x1， 123， y1y2 故答案为 15如图，矩形 DEFG 的边 EF 在ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在边 AB、AC 上，已知ABC 的边 BC 长 60 厘米，高 AH 为 40 厘米，如果 DE2DG，那么 DG 15 厘米 【分析】设 DGEFx，则 GFDE2x，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出 DG 的长 【解答】解：四边形 DEFG 是矩形， DGBC，AHBC，DGEF， APDG 设 DGEFx，则 GFDE2x， DGBC， ADGABC， ， AH40 厘米，BC60 厘米， ， 解得 x15 DG15 厘米， 故

19、答案为：15 16秦九韶的数书九章中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在 RtABC 中，C90， AC12，BC5，ADAB，AD0.4，过点 D 作 DEAB 交 CB 的延长线于点 E，过点 B 作 BFCE 交 DE 于点 F，那么 BF 【分析】作 CHAB，BGDE 于点 H，G，根据已知条件证明四边形 ADGB 是矩形，再根据等面积法 求出 CH，证明FBEACB，利用对应高的比等于相似比即可求出 BF 的长 【解答】解：如图，作 CHAB，BGDE 于点 H，G， DEAB， BGAB， ADAB， DABABGBGD90， 四边形 ADGB 是矩形， BGAD0.4，

20、 在 RtABC 中，C90，AC12，BC5， AB13， SABCBCACABCH， CH， DEAB， EABC， FBEACB90， FBEACB， CHAB，BGDE， ， ， BF 故答案为： 17如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这 个点为“平衡点” 现将抛物线 C1：y（x1）21 向右平移得到新抛物线 C2，如果“平衡点”为（3，3） ，那么新抛物 线 C2的表达式为 y（x3）21 或 y（x7）21 【分析】设将抛物线 C1：y（x1）21 向右平移 m 个单位，则平移后的抛物线解析式是 y（x1 m）21，然后将（3，

21、3）代入得到关于 m 的方程，通过解方程求得 m 的值即可 【解答】解：设将抛物线 C1：y（x1）21 向右平移 m 个单位，则平移后的抛物线解析式是 y（x 1m）21， 将（3，3）代入，得（31m）213 整理，得 4m2 解得 m12，m26 故新抛物线 C2的表达式为 y（x3）21 或 y（x7）21 故答案是：y（x3）21 或 y（x7）21 18如图，ABC 中，AB10，BC12，AC8，点 D 是边 BC 上一点，且 BD：CD2：1，联结 AD， 过 AD 中点 M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边 BC、AC 相交于点 E、F，那 么线段 BE

22、 的长为 2 【分析】先求出 BD8，CD4，再求出 MH4，DH2，设 BEx，得出 CE12x，CF3+x，EH 10 x，再判断出EHMECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论 【解答】解：如图，点 D 是 BC 的中点，BC12， BD：CD2：1， BD8，CD4， 过点 M 作 MHAC 交 CD 于 H， DHMDAC， ， 点 M 是 AD 的中点， AD2DM， AC8， ， MH4，DH2， 过点 M 作 MGAB 交 BD 于 G， 同理得，BGDE4， AB10，BC12，AC8， ABC 的周长为 10+12+830， 过 AD 中点 M 的直线将ABC 分成周

23、长相等的两部分， CE+CF15， 设 BEx，则 CE12x， CF15（12x）3+x，EHCECHCE（CDDH）12x210 x， MHAC， EHMECF， ， ， x2 或 x9， 当 x9 时，CF12AC，点 F 不在边 AC 上，此种情况不符合题意， 即 BDx2， 故答案为：2 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）已知向量关系式（），试用向量 、 表示向量 【分析】在已知关系式中，求出 x 即可解决问题 【解答】解：由（），得2， 所以 7 2 所以 （ 2 ） 20 （10 分）已知抛物线 yx2+2x

24、+m3 的顶点在第二象限，求 m 的取值范围 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，m4） ，再利用第二象限点的坐标特征得到 m 40，然后解不等式即可 【解答】解：yx2+2x+m3（x+1）2+m4， 抛物线的顶点坐标为（1，m4） ， 抛物线 yx2+2x+m3 顶点在第二象限， m40， m4 故 m 的取值范围为 m4 21 （10 分）如图，已知 ADBECF，它们依次交直线 l1、l2于点 A、B、C 和点 D、E、F，且 AB6， BC8 （1）求的值； （2）当 AD5，CF19 时，求 BE 的长 【分析】 （1）直接根据平行线分线段成比例定理求解； （2）过 D

25、 点作 DMAC 交 CF 于 M，交 BE 于 N，如图，易得四边形 ABND 和四边形 ACMD 都是平行 四边形，所以 BNCMAD5，则 MF14，再利用 NFMF，所以，然后利用比例的性 质计算出 NE，最后计算 BN+NE 即可 【解答】解： （1）ADBECF， ； （2）过 D 点作 DMAC 交 CF 于 M，交 BE 于 N，如图， ADBNCM，ACDM， 四边形 ABND 和四边形 ACMD 都是平行四边形， BNAD5，CMAD5， MFCFCM19514， NFMF， ， NEMF146， BEBN+NE5+611 22 （10 分）如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形

26、ABCD，现将一根木棒 MN 放置在该燕尾槽中，木棒与横断 面在同一平面内，厚度等不计，它的底端 N 与点 C 重合，且经过点 A已知燕尾角B54.5，外口宽 AD180 毫米， 木棒与外口的夹角MAE26.5， 求燕尾槽的里口宽 BC （精确到 1 毫米） （参考数据： sin54.50.81， cos54.50.58， tan54.51.40， sin26.50.45， cos26.50.89， tan26.50.50） 【分析】如图，过点 B 作 BGDE 于 G，过点 C 作 CHAD 于 H证明BGACHD（AAS） ，推出 AGDH，设 AGDHx 毫米，CHy 毫米，构建方程组求

27、解即可 【解答】解：如图，过点 B 作 BGDE 于 G，过点 C 作 CHAD 于 H 四边形 ABCD 是等腰梯形， ABDC，BADCDA， BAGCDH， BGACHD90， BGACHD（AAS） ， AGDH， 设 AGDHx 毫米，CHy 毫米， 则有， 解得， BCGHAG+AD+DH100+180+100380（毫米） 23 （12 分）RtABC 中，ACB90，点 D、E 分别为边 AB、BC 上的点，且 CDCA，DEAB （1）求证：CA2CECB； （2）联结 AE，取 AE 的中点 M，联结 CM 并延长与 AB 交于点 H，求证：CHAB 【分析】 （1）通过证

28、明DCEBCD，可得，可得结论； （2）由直角三角形的性质可得 AMMECM，进而可得MCEMEC，通过证明点 A，点 C，点 E， 点 D 四点共圆，可得AECADC，由余角的性质可得结论 【解答】证明： （1）DEAB， EDBACB90， A+B90B+DEB， ADEB， CACD， ACDA， CDADEB， CDBCED， 又DCEDCB， DCEBCD， ， CD2CECB， CA2CECB； （2）如图， ACE 是直角三角形，点 M 是 AE 中点， AMMECM， MCEMEC， ACBADE90， 点 A，点 C，点 E，点 D 四点共圆， AECADC， AECMCEA

29、DCCAD， 又MCE+ACH90， CAD+ACH90， CHAB 24 （12 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 A（2，4） 、B（5，0）和 O（0，0） （1）求二次函数的解析式； （2）联结 AO，过点 B 作 BCAO 于点 C，与该二次函数图象的对称轴交于点 P，联结 AP，求BAP 的余切值； （3）在（2）的条件下，点 M 在经过点 A 且与 x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点 M 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法，即可得出结论； （2） 先判断出 OBAB， 进而判断出OBPABP， 进而判断出OBPABP， 得出BOPBAP，

30、 再求出直线 BC 的解析式，求出点 P 的坐标，构造直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出点 M 在点 A 的下方，再判断出AOMABP，再分两种情况，利用相似比建立方程求 解，即可得出结论 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过点 B（5，0）和 O（0，0） ， 设二次函数的解析式为 yax（x5） ， 将点 A（2，4）代入 yax（x5）中，得 4a2（25） ， a， 二次函数的解析式为 yx（x5）x2+x； （2）如图 1，连接 OP，过点 P 作 PDx 轴于 D， ODP90， A（2，4） 、B（5，0）和 O（0，0） ， OB5，AB5

31、， OBAB， BCOA， ACOC，OBCABC， BPBP， OBPABP（SAS） ， BOPBAP， ACOC，A（2，4） ， 点 C（1，2） ， 直线 BC 的解析式为 yx+， 由（1）知，二次函数的解析式为 yx2+x， 联立解得，或， P（，） ， OD，PD， cotBAPcotBOP； （3）设 M（2，m） ， A（2，4） ，B（5，0） ，P（，） ， AM|m4|OA2，AB5，BP， BCOA， ACPBCP90， ABP90，APC90， BOP90， BAP90， ABP 是锐角三角形， AMO 与ABP 相似， AMO 为锐角三角形， 点 M 在点 A

32、的下方， AM4m， 如图 2，AM 与 x 轴的交点记作点 E，与 BC 的交点记作点 F， AMx 轴， AEB90， OBP+BFE90， AFPBFE， OBP+AFP90， BCOA， AFP+OAE90， OAEOBP， 由（2）知，OBPABP， OAEABP， AMO 与ABP 相似， 当OAMABP 时， ， ， m， M（2，） ， 当MAOABP 时， ， ， m， M（2，） ， 即满足条件的点 M 的坐标为（2，）或（2，） 25 （14 分）四边形 ABCD 是菱形，B90，点 E 为边 BC 上一点，联结 AE，过点 E 作 EFAE，EF 与边 CD 交于点 F

33、，且 EC3CF （1）如图 1，当B90时，求 SABE与 SECF的比值； （2）如图 2，当点 E 是边 BC 的中点时，求 cosB 的值； （3）如图 3，联结 AF，当AFEB 且 CF2 时，求菱形的边长 【分析】 （1）证明四边形 ABCD 是正方形，再证明ABECEF，设 CFx，ABa，运用相似三角形 的相似比求得 a 与 x 的关系，进而根据相似三角形的性质求得面积比； （2）过点 A 作 AMBC 于点 M，过点 F 用 FNBC 于点 H，证明AMEENF，设 CFx，用 x 与 B 的正、余弦值表示 AM、ME、EN、NF，进而根据相似三角形的性质列出比例式，整理比

34、例式便可得 出结果； （3） 过点 A 作 AMBC 于点 M， 过点 F 用 FNBC 于点 H， 由BAFE， 得， 再证明AME ENF，得出 BMEN，设菱形 ABCD 的边长为 a，由 BMEN，得到用 cosB 的代数式表示 a，再结 合AMEENF 的比例线段求得 a 的值便可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形，B90， 四边形 ABCD 是正方形， BC90， EFAE， AEB+CEFAEB+BAE90， BAECEF， ABECEF， ， EC3CF， 设 CFx，ABa，则 EC3x，BEa3x， ， 解得，a4.5x， ； （2）过点 A 作 AMBC 于点

35、 M，过点 F 用 FNBC 于点 H，如图 2， 则AMECNF90， 四边形 ABCD 是菱形， ABBC，ABCD， BFCN， 设 CFx，则 CE3x， E 是 BC 的中点， BECE3x，ABBC2CE6x， BMABcosB6xcosB，AMABsinB6xsinB，CNCFcosFCNxcosB，FNCFsinFCN xsinB， MEBEBM3x6xcosB，ENEC+CN3x+xcosB， AEF90， AEM+NEFAEM+MAE90， MAENEF， AMEENF， ， 即，即， 整理得，2sin2B35cosB2cos2B， 235cosB， cosB； （3）过点

36、 A 作 AMBC 于点 M，过点 F 用 FNBC 于点 H，如图 3， 则AMECNF90， 四边形 ABCD 是菱形， ABBC，ABCD， BFCN， AEF90， AEM+NEFAEM+MAE90， MAENEF， AMEENF， ， AFEB， tanB，tanAFE， ， ， BMEN， 设菱形 ABCD 的边长为 a，则 ABBCa， BMacosB，CNCFcosFCNCFcosB， acosBEC+CFcosB， CF2，EC3CF， EC6， acosB6+2cosB， cosB， ， AMABsinBasinB，EN6+2cosB，MEaacosB6，NFCFsinFCN2sinB， ， 化简得，2a（sin2B+cos2B）6a4acosB12cosB36， 2a6a4acosB12cosB36， aacosB3cosB90， cosB， a90， 解得，a17，或 a0（舍） ， 菱形的边长为 17