奥数导引小学四年级含详解答案 第21讲：排列组合

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1、第第 21 讲讲 排列组合排列组合 兴趣篇兴趣篇 1、计算： （1）P2 4 ： （2）P4 10； （3） PP 33 36 3。 2、费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不同的排列方法？ 3、体育课上，老师从 10 名男生中挑出 4 人站成一排，一共有多少种不同的排列方法？ 4、费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有 8 个空座位，他们一共有多少 种不同的坐法？ 5、 用 1 至 7 这 7 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数？如果把这些三位数从小到大排起来， 312 是其中第几个？ 6、计算： （1）C2 5； （2）C 4 7 ；

2、（3）PC 33 66。 7、图中有六个点，任意三个点都不在一条直线上。请问： （1）以这些点为端点，一共可以连出多少条线段？ （2）以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形？ 8、费叔叔把 10 张不同的游戏卡片分给冬冬和阿奇，并且决定给冬冬 8 张，给阿奇 2 张。一共有多少种不 同的分法？ 9、小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法？如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，她一 共有多少种选法？ 10、象棋兴趣小组一共有 9 名同学，请问： （1）如果从中选 3 名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？ （2）如果从中选 3 名同学去参加一次全市比赛，共有多少种

3、选法？ 拓展篇拓展篇 1、计算：(1)P2 5 ； （2）P3 7 ； （3）PP 42 66 。 2、如图所示，有 5 面不同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，用这 5 面小旗一共可以表示出多 少种不同的信号？ 3、3 名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下 9 本，且各不相同。如果每人只借 1 本，那么共 有多少种不同的借法？ 4、 用 1、 2、 3、 4、 5 这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？将这些四位数从小到大排列起来， 4125 是第几个？ 5、计算： （1）C3 9； （2） CC 32 1010 2； （3）C4 5 ，C1 5； （4）C 7

4、 10，C 3 10。 6、如图所示，从端点O出发的射线共有 7 条，图中一共有多少个锐角？ 7、 如图所示， 在一个圆周上有 8 个点， 以这些点为顶点或端点， 一共可以画出多少条线段？多少个三角形？ 多少个四边形？ 8、9 支球队进行足球赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场。每场比赛后，胜方得 3 分，平局双方 各得 1 分，负方不得分。请问：一共要举行多少场比赛？9 支队伍的得分总和最多为多少？ 9、学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影。问：需要拍多少张照片？ 10、在新学期的班会上，大家从 11 名候选人中选出班干部。请问： （1）选出三人组成班委会，那

5、一共有多少种选法？ （2）从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？ 11、费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从 12 个颜色不同的 彩球种领取一个。请问： （1）小悦是第一个取球的人，她一共选出了 4 个球，准备回头分给大家，那一共有多少种选法？ （2）小悦回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法？ （3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？ 12、周末大扫除，老师要从第一组的 10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留下打扫卫生。请问： （1）如果老师随意选择，一共有多少种选择方法？ （2）如果老师决定选出 2

6、 名男生和 3 名女生，一共有多少种选择方法？ 超越篇超越篇 1、有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字的和等于 11。 将所有这样的四位数从小到大排列，第 20 个是多少？ 2、在身高互不相同的 6 个人中，选出 3 个人站成第一排，另外 3 个人站成第二排，请问： （1）如果可以随便站，那么一共有多少种排法？ （2）如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不同的排法？ 3、小口袋种有 4 个球，大口袋种有 6 个球，这些球颜色各不相同。请问： （1）任意取 4 个球出来，那么共有多少种不同的结果？ （2）取出 4 个球，而且恰好从每个

7、口袋各取 2 个球，共有多少种不同结果？ 4、在 1 至 30 这 30 个自然数中任意挑选出两个不同的数，使得它们的和是偶数，一共有多少种不同的挑选 方法？ 5、如图所示，两条直线上分别有 6 个点和 4 个点。以这些点为顶点，可以连出多少个三角形？ 6、从 15 名同学选出 5 人，上场参加篮球比赛。请问： （1）如果甲、乙两人必须入选，共有多少种选法？ （2）如果甲、乙两人中至少有一人入选，共有多少种选法？ （3）如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法？ （4）如果甲、乙、丙不能同时都入选，共有多少种选法？ 7、体育课上，老师将冬冬、阿奇和另 7 名同学分成 3 组做游戏，每组

8、 3 人。一共有多少种分组方法？如果 要求冬冬和阿奇分到同一组，有多少种分组方法？ 8、大、小两个口袋中，装有一些同样的小球。大口袋里装有 9 个小球，分别编号为 1,2,3， 9；小口袋里装有 6 个小球，分别编号为 1,2,3，6。从这两个口袋中分别摸出 3 个小球，这 6 个小球 的编号一共有多少种可能情况？ 第第 21 讲讲 排列组合排列组合 兴趣篇兴趣篇 1、计算： （1）P2 4 ： （2）P4 10； （3） PP 33 36 3。 【答案】 （1）12； （2）5040； （3）138 【分析】 （1） 2 4 4 312P （2） 4 10 10 9 8 75040P （3）

9、 33 36 333 2 16 543 6120138PP 2、费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不同的排列方法？ 【答案】24 种 【分析】 4 4 4 3 2 124P （种） 3、体育课上，老师从 10 名男生中挑出 4 人站成一排，一共有多少种不同的排列方法？ 【答案】5040 种 【分析】从 10 个男生中选 4 人有 4 10 C种，选出的 4 人排成一队照相，每种选法对应 3 4 4 P种， 4 10 C 4 4 P=5040。 从 10 个男生中选 4 人按顺序排成一排有 4 10 5040P 种。 4、费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，

10、上车后发现有 8 个空座位，他们一共有多少 种不同的坐法？ 【答案】1680 种 【分析】有 4 人选 8 个空座位： 4 8 1680P （种） 5、 用 1 至 7 这 7 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数？如果把这些三位数从小到大排起来， 312 是其中第几个？ 【答案】210 个；第 61 个 【分析】 （1） （种） （2）1 开头最小，有 2 6 16 530P （种） ，2 开头也有 30 种，321 是第 30+30+1=61（个） 。 6、计算： （1）C2 5； （2）C 4 7 ； （3）PC 33 66。 【分析】 （1） 2 25 5 2 2 54 10 2

11、 1 P C P （2） 4 47 7 4 4 76 54 35 4 3 2 1 P C P （3） 3 336 66 3 3 6 54 6 546 54120202400 3 2 1 P PC P 7、图中有六个点，任意三个点都不在一条直线上。请问： （1）以这些点为端点，一共可以连出多少条线段？ （2）以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形？ 【分析】 （1）两点即可构成一条线段，所以一共有 2 6 65 15 2 1 C （条） （2）任意不在同一条直线上的三点可以组成一个三角形，所以一共有 3 6 654 20 32 1 C （个） 8、费叔叔把 10 张不同的游戏卡片分给冬冬和阿奇

12、，并且决定给冬冬 8 张，给阿奇 2 张。一共有多少种不 同的分法？ 【分析】给冬冬 8 张，有 8 10 C种，剩余 2 张给奇奇有 2 2 C种。 822 10210 109 145 2 1 CCC （种） 9、小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法？如果数学课与钢琴课时间冲突，不能同时学，她一 共有多少种选法？ 【分析】 （1）八门课中选三门有： 3 8 876 56 32 1 C （种） 。 （2）排除法，数学课与手风琴课同时选有 1 6 16C（种） ， 一共有 56-6=50（种） 。 10、象棋兴趣小组一共有 9 名同学，请问： （1）如果从中选 3 名同学在第二天的早上、

13、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？ （2）如果从中选 3 名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？ 【分析】 （1） 3 9 9 8 7504P （种） （2） 3 9 987 84 32 1 C （种） 拓展篇拓展篇 1、计算：(1)P2 5 ； （2）P3 7 ； （3）PP 42 66 。 【分析】 （1） 2 5 5 420P （2） 3 7 7 6 5210P （3） 42 66 6 54 36 56 54 3 130 11330PP 2、如图所示，有 5 面不同颜色的小旗，任取 3 面排成一行表示一种信号，用这 5 面小旗一共可以表示出多 少种不同的信号？ 【分析】 3 5

14、5 4 360P （种） 3、3 名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下 9 本，且各不相同。如果每人只借 1 本，那么共 有多少种不同的借法？ 【分析】3 人从 9 本不同的书中选一本有 3 9 504P （种） 。 4、 用 1、 2、 3、 4、 5 这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？将这些四位数从小到大排列起来， 4125 是第几个？ 【分析】 （1）四位数有 4 5 5 4 3 2120P （种） （2）1 为首位的有 3 4 14 3 224P （种） 2、3 分别为首位各有 24 种 4 为首位从小到大有：4123，4125， 4125 是第 243+2=74

15、（个） 5、计算： （1）C3 9； （2） CC 32 1010 2； （3）C4 5 ，C1 5； （4）C 7 10，C 3 10。 【答案】 （1）84； （2）30； （3）5,5； （4）120,120 【分析】 （1） 3 39 9 3 3 9 8 7 84 3 2 1 P C P （2） 32 321010 1010 32 32 10 9 810 9 22230 3 2 12 1 PP CC PP （3） 4 5 5432 5 432 1 C ， 1 5 5C ， 41 55 CC （4） 7 10 10987654 120 765432 1 C ， 3 10 1098 120

16、 32 1 C ， 73 1010 CC 6、如图所示，从端点O出发的射线共有 7 条，图中一共有多少个锐角？ 【分析】从 1 P到 7 P这 7 条射线中任取 2 条就能构成一个锐角， 2 7 76 21 2 1 C （个） 。 7、 如图所示， 在一个圆周上有 8 个点， 以这些点为顶点或端点， 一共可以画出多少条线段？多少个三角形？ 多少个四边形？ 【分析】 （1）线段有： 2 8 87 28 2 1 C （条） （2）三角形有： 3 8 876 56 32 1 C （个） （3）四边形有： 4 8 8765 70 432 1 C （个） 8、9 支球队进行足球赛，实行单循环制，即每两队

17、之间只比赛一场。每场比赛后，胜方得 3 分，平局双方 各得 1 分，负方不得分。请问：一共要举行多少场比赛？9 支队伍的得分总和最多为多少？ 【分析】 （1）9 支球队一共要赛 2 9 98 36 2 1 C （块） （2）9 支球队总分最多是当每场比赛都是胜负局没有平局时，每场最多得 3 分， 总分最多：363=108（分） 9、学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影。问：需要拍多少张照片？ 【分析】 3 10 1098 120 32 1 C （张） 10、在新学期的班会上，大家从 11 名候选人中选出班干部。请问： （1）选出三人组成班委会，那一共有多少种选法？

18、（2）从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种选法？ 【分析】 （1） 3 11 11 109 165 32 1 C （种） （2）剩下 11-3=8（人）选三人任不同课代表有 3 8 8 7 6336P （种） 11、费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从 12 个颜色不同的 彩球种领取一个。请问： （1）小悦是第一个取球的人，她一共选出了 4 个球，准备回头分给大家，那一共有多少种选法？ （2）小悦回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法？ （3）最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能？ 【分析】 （1） 4 12 12

19、11 109 495 432 1 C （种） （2）4 人选 4 球 4 4 24P （种） （3）4 人手中拿到的球有 44 124 495 2411880CP（种） 12、周末大扫除，老师要从第一组的 10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留下打扫卫生。请问： （1）如果老师随意选择，一共有多少种选择方法？ （2）如果老师决定选出 2 名男生和 3 名女生，一共有多少种选择方法？ 【分析】 （1）从 10+10=20（人）中选 5 人有 5 20 20 19 18 17 16 15504 5432 1 C （种） （2）选 2 名男生有 2 10 C种，选 3 名女生有 3 10 C种

20、 一共 23 1010 45 1205400CC（种） 超越篇超越篇 1、有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字的和等于 11。 将所有这样的四位数从小到大排列，第 20 个是多少？ 【分析】11=1+2+3+5 1 为首位有（种） ，2、3、5 为首位也各有 6 种 6+6+6=18（个） 20-18=2（个） 第 20 个首位为 5，为 5132。 2、在身高互不相同的 6 个人中，选出 3 个人站成第一排，另外 3 个人站成第二排，请问： （1）如果可以随便站，那么一共有多少种排法？ （2）如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不

21、同的排法？ 【分析】 （1） 6 6 6 5 4 3 2 1720P （种） （2）第二排是最高 3 人，有 3 3 P种排法 第一排是最矮 3 人，有 3 3 P种排法 33 33 36PP（种） 3、小口袋种有 4 个球，大口袋种有 6 个球，这些球颜色各不相同。请问： （1）任意取 4 个球出来，那么共有多少种不同的结果？ （2）取出 4 个球，而且恰好从每个口袋各取 2 个球，共有多少种不同结果？ 【分析】 （1）任取 4 个球有 44 4 610 10987 210 432 1 CC （种） （2）小口袋中取 2 个有 2 4 C种， 大口袋中取 2 个有 2 6 C（种） ， 一共

22、有 22 46 6 1590CC（种） 4、在 1 至 30 这 30 个自然数中任意挑选出两个不同的数，使得它们的和是偶数，一共有多少种不同的挑选 方法？ 【分析】和为偶时，这两个数必同奇或同偶，130 中有 15 个奇数有 15 个偶数， 从 15 个奇数中取 2 个有 2 15 15 14 105 2 1 C （种） 从 15 个偶数中取有 2 15 105C （种） 一共有 105+105=210（种） 5、如图所示，两条直线上分别有 6 个点和 4 个点。以这些点为顶点，可以连出多少个三角形？ 【答案】96 个 【分析】 三角形只要三点不共线即可构成， 现一共有 4+6=10 （个）

23、 ， 若不考虑三点共线， 一共可以构成 3 10 C个， 三点共线有 33 64 CC 种。 一共可以连成 333 1064 96CCC（个） 6、从 15 名同学选出 5 人，上场参加篮球比赛。请问： （1）如果甲、乙两人必须入选，共有多少种选法？ （2）如果甲、乙两人中至少有一人入选，共有多少种选法？ （3）如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法？ （4）如果甲、乙、丙不能同时都入选，共有多少种选法？ 【答案】 （1）286 种； （2）1716 种； （3）1485 种； （4）2937 种 【分析】 （1）甲、乙两人必须入选，再从剩下的人中选 3 人即可，一共 3 15 2

24、13 12 11 286 32 1 C （种） （2）甲、乙两人任选一人有 1 2 C种，再从剩下 15-2=13 人中任选 4（人）有 4 13 C种 一共 14 213 2 7151430CC（种） 甲、乙两人都入选有 2 13 286C （种） 一共 1430+286=1716（种） （3）甲、乙、丙三人中选一人有 1 3 C种，再从剩下 15-3=12（人）中任选 4 人，有 4 12 C种 一共 14 312 3 4951485CC （种） （4）甲、乙、丙三人中选一人，再从剩下 15-3=12（人）中选 4 人，有 14 312 1485CC（种） 甲、乙、丙三人中选 2 人，再从

25、剩下 15-3=12（人）中选 3 人，有 23 312 660CC（种） 甲、乙、丙三人都未入选有： 5 12 792C （种） 一共 1485+660+792=2937（种） 7、体育课上，老师将冬冬、阿奇和另 7 名同学分成 3 组做游戏，每组 3 人。一共有多少种分组方法？如果 要求冬冬和阿奇分到同一组，有多少种分组方法？ 【答案】280 种；70 种 【分析】 （1）一共有 2+7=9（人） 第一组有 3 9 84C （种） ， 第二组在剩下 9-3=6 （人） 中选 3 人有 3 6 20C （种） ， 第三组有 1 种。 一共 84201=1680 1680 3 3 P=280（

26、种） （2） 冬冬、 阿奇分到同一组， 此组还需要 1 人， 从 7 人中选 1 人有 1 7 C=7 种， 第二组有 3 6 20C （种） ， 第三组有 3 3 1C （种） 7201 2 2 P=70（种） 8、大、小两个口袋中，装有一些同样的小球。大口袋里装有 9 个小球，分别编号为 1,2,3， 9；小口袋里装有 6 个小球，分别编号为 1,2,3，6。从这两个口袋中分别摸出 3 个小球，这 6 个小球 的编号一共有多少种可能情况？ 【分析】从结果开始考虑，则有： （1） 若两人选的球的编号均相同，则有： 3 6 20C ; （2） 若两人选的编号均互不相同，相当于从 9 个里选择 6 个互不相同的编号，共有： 6 9 84C （个） ； （3） 若两人选的编号有 1 个相同，则有 41 86 420CC个，但是由于如果选好相同的后，另外 4 个，如 果有 3 个是 7、8、9，不符合条件，则还应减去 1 6 530C 个，所以此时编号的可能性共有 390 个； （4） 若两人选的编号由 2 个相同，则有： 22 67 15 21315CC个，由于选择好了相同的之后，剩下 的 两个不能都为 7、8、9，这样的选择共有： 22 36 45CC,所以符合条件的有 270 个。 那么，这 6 个球的编号一共有：20 84 390270764（个） 。