奥数导引小学四年级含详解答案 第19讲：格点与割补

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1、第第 19 讲讲 格点与割补格点与割补 兴趣篇兴趣篇 1、图中相邻两个点间的距离均为 1 厘米。三个多边形的面积分别是多少平方厘米？ 2、图中相邻两格点间的距离均为 1 厘米。三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 3、图中每个小正方形的面积均为 2 平方厘米。阴影多边形的面积是多少平方厘米？ 4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 1 平方厘米。三个多边形的面积分别为 多少平方厘米？ 5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米。四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是 多少平方厘米？ 6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。 （单位：

2、厘米） 7、如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是 6 厘米，图中线段 AEAH、都等于 2 厘米。求长方形EFGH的面积。 8、如图所示，四边形ABCD是正方形，长AD等于 7 厘米，宽AB等于 5 厘米，四边形CDEF是平行四边 形。如果BH的长是 3 厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？ 9、如图所示，大正方形的边长为 10 厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边 三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影的面积总和等于多少平方厘 米？ 10、在图中，五个小正方形的边长都是 2 厘米，求三角形AB

3、C的面积。 拓展篇拓展篇 1、图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 1 平方厘米。这三个多边形的面积分别是多少平 方厘米？ 2、 （1）图 1 中每个小正方形的面积是 2 平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ （2）图 2 中每个小正三角形的面积是 4 平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ 3、图中每个小正方形的边长是 1 厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4、如图 1 和图 2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。已知图 1 中阴影 部分的面积是 394 平方分米。请问：图 2 中的阴影部分面积是多少平方分米？ 5、如图，在两个相同的等腰直角三角

4、形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是 36 平方厘米，那么正 方形 B 的面积是多少平方厘米？ 6、如图所示，正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米，M 是 AB 中点，N 是 CD 中点，P 是 EF 中点。请 问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？ 7、图中小正方形和大正方形的边长分别是 4 厘米和 6 厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 8、图中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9 厘米，CF 长 3 厘米，求阴 影部分的面积。 图(a) 图(b) 9、图是一个边长为 1 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬” 。梯形的上

5、底长 1.5 米，A 为上底的中点， 线段 AB 恰好是梯形的高，长为 0.5 米，CD 长为 0.3 米。图中阴影部分的面积是多少平方米？ SR Q A B CD E F N MPPM N F E DC B A H G I E C F B DAAD B F C E E C F B DA 10、在图中，每一个小正方形的面积都是 1 平方厘米。用粗线围成的图形面积是多少平方厘米？ 11、如图，正方形网格的总面积等于 96 平方厘米，求阴影图形的面积。 12、如图，每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 超越篇超越篇 1、图中每个小正方形的边长为 1 厘米。阴影部

6、分的面积是多少平方厘米？ 2、如图，平面上有 16 个点，相邻两点间隔为 1 厘米。在每个点都钉上钉子，形成 4 行 4 列的正方形钉阵。 现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形？（面积相同但形状不同的三角形算一种） 3、已知大的正六边形面积是 72 平方厘米，按图中不同方式切割（切割点均为等分点） ，形成的阴影部分面 积各是多少平方厘米？ 4、 图为一个边长为 2 厘米的正方形， 分别连接顶点与对应边中点。 围成的阴影部分的面积为多少平方厘米？ 5、如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单 位：厘米） 6、如图所示，这个多边形六

7、条边的长度分别是 1、2、3、4、5、7。问：这个图形的面积最大可能是多少？ 7、如图，有一个 80100 的长方形网格，它的四个顶点分别为 A、B、C、D。已知图中每一个小方格的面 积都是 1，请选出一个合适的格点 P，使得三角形 PAC 的面积尽可能小（不能等于 0） ，那么这个最小的面 积是多少？ 8、正 12 边形的边长为 1 厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为 1 厘米） ，如图，那么空白部分面积等于 多少平方厘米？（原图不标准，待改） 第第 19 讲讲 格点与割补格点与割补 兴趣篇兴趣篇 1、图中相邻两个点间的距离均为 1 厘米。三个多边形的面积分别是多少平方厘米？ 【分析】利用

8、三角形面积公式，易知三个图形的面积分别为：4 平方厘米，2 平方厘米，8 平方厘米 2、图中相邻两格点间的距离均为 1 厘米。三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？ 【分析】根据格点面积公式： 1 2 L N 第一个阴影图形的面积为： 4 415 2 (平方厘米)； 第二个阴影图形的面积为： 4 415 2 （平方厘米） ； 第三个阴影图形的面积为： 3 010.5 2 （平方厘米） ； ； 3、图中每个小正方形的面积均为 2 平方厘米。阴影多边形的面积是多少平方厘米？ 【分析】阴影部分的面积为： 7 71219 2 （平方厘米） 。 4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积

9、为 1 平方厘米。三个多边形的面积分别为 多少平方厘米？ 【分析】根据题意，有图形的面积为 6 个小的等边三角为 6 平方厘米； 根据图知， 4 2126 2 S （平方厘米） ； 根据图知， 8 41214 2 S （平方厘米） ； 5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米。四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是 多少平方厘米？ 【分析】根据毕克定理可知9 24220 ABCD S 四边形 （平方厘米） ； 4 24210 EFG S 三角形 （平方厘米） 6 6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。 （单位：厘米）、图中的数字分别表示对应线段的长度，

10、试求这个多边形的面积。 （单位：厘米） 【分析】【分析】将图形补充完整，则可知这个多边形面积为：6 74 2 2 142 1032 7、如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是 6 厘米，图中线段 AEAH、都等于 2 厘米。求长方形EFGH的面积。 【分析】由于2AEAH,所以三角形 AEH 为等腰直角三角形，所以三角形 EBF 也为等腰直角三角形。 则6 62 2 222 4 4216S 长方形 （平方厘米） 。 8、如图所示，四边形ABCD是正方形，长AD等于 7 厘米，宽AB等于 5 厘米，四边形CDEF是平行四边 形。如果BH的长是 3 厘米，那

11、么图中阴影部分面积是多少平方厘米？ 4 3 2 2 1 5 【分析】阴影部分面积为平行四边形 EFCD 的面积与三角细心那个 HDC 的面积的差为： 5 7 4 5 220 （平方厘米） 。 9、如图所示，大正方形的边长为 10 厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边 三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影的面积总和等于多少平方厘 米？ 【分析】分别连相对的四个中点，易知阴影部分面积与空白部分面积相等，为整个正方形面积的一半，为 50 平方厘米。 1010、在图中，五个小正方形的边长都是、在图中，五个小正方形的边长都是 2 2 厘米，求三角形厘

12、米，求三角形ABC的面积。的面积。 【分析】【分析】根据题意，有： 3 1346814 2 （平方厘米） 。 拓展篇拓展篇 1、图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 1 平方厘米。这三个多边形的面积分别是多少平 方厘米？ 【分析】由格点面积公式知： 的面积为： 9 417.5 2 （平方厘米） ； 的面积为： 9 316.5 2 （平方厘米） ； 的面积为： 12 41218 2 （平方厘米） 。 2、 （1）图 1 中每个小正方形的面积是 2 平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ （2）图 2 中每个小正三角形的面积是 4 平方厘米。阴影部分面积是多少平方厘米？ 【分析】 （1

13、）根据题意，图中 阴影部分面积可以分为两部分,其和为： ； 5 3122 417 2 S （平方厘米） ； （2） 8 414 256 2 S 阴 （平方厘米） ； 3、图中每个小正方形的边长是 1 厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】 812 2115124 1014 22 （平方厘米） 。 4、如图 1 和图 2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。已知图 1 中阴影 部分的面积是 394 平方分米。请问：图 2 中的阴影部分面积是多少平方分米？ 【分析】图 1 中小三角形的个数共有 25 个，其中涂有阴影部分的为 12 个。所以运原三角形的面积为： 2

14、94 12 25612.5（平方厘米） ； 图 2 中三角形的个数为：1 137249 ，阴影部分的个数为 16.从而求出阴影部分面积为： 612.5 49 16200（平方分米） 。 5、如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是 36 平方厘米，那么正 方形 B 的面积是多少平方厘米？ 【分析】根据题意，由于正方形A的面积是 36 平方厘米，则整个三角新的面积为 722 平方厘米； 对图形进行如下分割， 由于整个三角形的面积为 72， 则正方形 B 所在的面积为： 4 7232 9 （平方厘米） 。 6、如图所示，正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘

15、米，M 是 AB 中点，N 是 CD 中点，P 是 EF 中点。请 问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？ A 【分析】【分析】 将正六边形分成六个面积为 1 平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为 4 个小正三角形于是正六边形 ABCDEF 被分成了 24 个小正三角形，每一个小正三角形的面积是 6240.25(平方厘米)，三角形 MNP 由 9 个小正三角形所组成，所以三角形 MNP 的面积 0.2592.25(平方厘米) 7、图中小正方形和大正方形的边长分别是 4 厘米和 6 厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】连接 AB，则三角形 ADO 的面积与三角形

16、 BOC 的面积相等。所以阴影部分的面积即为三角形 DBC 的面积，为 18. 【答案】18 平方厘米 SR Q A B CD E F N MPPM N F E DC B A O D C B A 8、图中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9 厘米，CF 长 3 厘米，求阴影部分的面积。 图(a) 图(b) 【分析】【分析】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形 ABC占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形， ABC 99240.5S (平 方厘米)，所以阴影部分的面积为40.59627 (平方厘米) 方法二

17、：如图(b)，连接IG，有四边形ADGI为正方形，易知3FGFC(厘米)，所以 936DGDFFG(厘米)， 于是 2 11 69 44 HIGAIGD SS 正方形 . 而四边形IGFB为长方形， 有6BFADDG(厘米)，3GF (厘米)，所以 IGFB 6 3 18S 长方形 .阴影部分面积为AHIG与 长方形IGFB的面积和，即为91827(平方厘米) 9、图是一个边长为 1 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬” 。梯形的上底长 1.5 米，A 为上底的中点，线段 AB 恰好是梯形的高，长为 0.5 米，CD 长为 0.3 米。图中阴影部分 的面积是多少平方米？ 【分析】【分析】三角

18、形三角形 AEFAEF 面积面积= = 1 1 0.520.375 2 平方厘米 H G I E C F B DAAD B F C E E C F B DA 梯形梯形 ADGFADGF 面积面积= = 11 0.7 1.50.55 22 平方厘米 阴影部分面积阴影部分面积= = 1 (1 1.5) 0.520.3750.550.7 AEFDGFA SSSS 正方形梯三角形梯形 ( (平方米平方米) )。 10、在图中，每一个小正方形的面积都是 1 平方厘米。用粗线围成的图形面积是多少平方厘 米？ 【分析】 7 416.5 2 S （平方厘米） 。 11、如图，正方形网格的总面积等于 96 平方

19、厘米，求阴影图形的面积。 【分析】图中共有 86=48 个小正方形，则一个小正方形的面积为 2，根据毕克定理，知： 82421238S 阴 （平方厘米） 。 12、如图，每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】根据毕克定理，内部格点数6n，边上格点数7L ，所以阴影部分面积为： 7 61217 2 （平方厘米） 。 超越篇超越篇 1、图中每个小正方形的边长为 1 厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】 41 162 19 122 134SSSS 阴阴内空白内空白 （平方厘米） 。 2、如图，平面上有 16 个点，相邻两点间隔为 1 厘米。在每个

20、点都钉上钉子，形成 4 行 4 列的正方形钉阵。现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形？（面积 相同但形状不同的三角形算一种） 【分析】共能形成就 9 种不同面积的三角形，如下： 3、已知大的正六边形面积是 72 平方厘米，按图中不同方式切割（切割点均为等分点） ，形 成的阴影部分面积各是多少平方厘米？ 【分析】通过分割法，第一幅图的面积是：72 24 6 18 （平方厘米） ； 第二幅图的面积是：72 12 954 （平方厘米） ； 第三幅图的面积是：72 18 624 ; 【答案】18 平方厘米，54 平方厘米，24 平方厘米 4、图为一个边长为 2 厘米的正方形，分别连接顶

21、点与对应边中点。围成的阴影部分的面积 为多少平方厘米？ 【分析】如图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是 2250.8。 5、如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少 平方厘米？（单位：厘米） 【分析】【分析】大三角形面积大三角形面积= = 1 7 724.5 2 ，小三角形面积，小三角形面积= = 1 3 34.5 2 四边形面积四边形面积= =24.5 4.520； 6、如图所示，这个多边形六条边的长度分别是 1、2、3、4、5、7。问：这个图形的面积最 大可能是多少？ 【分析】多边形面积最大为：4 5 2 326

22、； 所以这个图形的面积最大可能是 26. 7、如图，有一个 80100 的长方形网格，它的四个顶点分别为 A、B、C、D。已知图中每 一个小方格的面积都是 1，请选出一个合适的格点 P，使得三角形 PAC 的面积尽可能小 （不能等于 0） ，那么这个最小的面积是多少？ 7 2 1 5 4 3 【分析】【分析】连接 AC，则会与横线产生很多交点。对这些图形进行分割，对于三角形 PAC 来说，高均为 80， 现在要求最小，则要求与横线的交点尽可能的接近格点。 由于8020，100，则其可以分解成 400 个 4 5 的小长方形，在这样的一个小长方形内，如下图， 最短的为 GF，由于 AE:OE=5:4，则 OG:OE=1:4，GF:AE=OG:OE=1:4。所以 1 4 GF ，所以最小的面积为： 11 8010 42 8、正 12 边形的边长为 1 厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为 1 厘米） ，如图，那么空 白部分面积等于多少平方厘米？（原图不标准，待改） 【分析】采用分割法，连接所有的小三角形的底边，则可以形成 6 个形如ABCD的正方形，这 6 个正方形 的面积为 6 平方厘米，则空白部分的面积正好是这 6 个正方形的面积。 G F O E C A