奥数导引小学四年级含详解答案 第17讲:数列与数表
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1、 1 第第 17 讲讲 数列与数表数列与数表 兴趣篇兴趣篇 1、1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,100。请观察上面数列的规律,问: (1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少? 2、观察数组(1,2,3) , (3,4,5) , (5,6,7) , (7,8,9)的规律,求: (1)第 20 组中三个数的和; (2)前 20 组中所有数的和。 3、一个数列的第一项是 1,之后的每一项是这样得到的:如果前一项是一位数,接着的一项就等于前一项 的二倍;如果前一项是两位数,接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。请问: (1)第
2、100 项是多少? (2)前 100 项的和是多少? 4、如图,方格表中的数是按照一定规律填入的。请观察方格表,并填出“?”处的数。 5、如图,数阵中的数是按一定规律排列的,请问: (1)100 在第几行、第几列? (2)第 20 行第 3 列的数是多少? 1 ? 282115136 3610120 4536 55667891 1 ? 282115136 3610120 4536 55667891 2 6、如图,从 4 开始的自然数是按某种规律排列的,请问: (1)100 在第几行,第几列? (2)第 5 行第 20 列的数是多少? 7、如图所示,把偶数 2、4、6、8,排成 5 列。各列从左
3、到右依次为第 1 列、第 2 列、第 3 列、第 4 列和第 5 列,请问: (1)100 在第几行,第几列? (2)第 20 行第 2 列的数是多少? 8、如图,从 1 开始的自然数按某种方式排列起来,请问: (1)100 在第几行?100 是这一行左起第几个数? (2)第 25 行左起第 5 个数是多少? 3 9、如图,把从 1 开始的自然数排成数阵。试问:能否在数阵中放入一个 33 的方框。使得它围住的几个 数之和等于: (1)1997; (2)2016; (3)2349。 如果可以,请写出方框中最大的数。 10、如图,将 1 至 400 这 400 个自然数顺次填入 2020 的方格表
4、中,试问: (1)246 在第几行,第几列? (2)第 14 行第 13 列的数是多少? (3)所有阴影方格中数的总和是多少? 拓展篇拓展篇 1、1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84,0。请观察上面数列的规律,请问: 4 (1)这个数列有多少项是 2? (2)这个数列所有项的总和是多少? 2、一列由两个数组成的数组: (1,1) , (1,2) , (2,2),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(2,4), (3,4), (4,4),(1,5),请问: (1)第 100 组内的两数之和是多少? (2)前 55 组中“5”这个数
5、出现了多少次? 3、有一列数,第一个数是 3,第二个数是 4,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的和的个位数。 从这列数种取出连续的 50 个数,并求出它们的和,所得的和最大是多少?如果从中取出连续的 500 个 数,500 个数的和最大又是多少? 4、如图,把从 1 开始的自然数填在图上,1 在射线OA上,2 在射线OB上,3 在射线OC上,4 在射线OD 上,5 在射线OE上,6 在射线OF上,7 在射线OG上,8 在射线OH在,9 又回到射线OA上,如此循 环下去,问:78 在哪条射线上?射线OE上的第 30 个是多少? 5、如图,将从 5 开始的连续自然数按规律填入数阵中,请问:
6、(1)123 应该排在第几列? (2)第 2 行第 20 列的数是多少? 5 6、如图所示,将自然数有规律地填入方格表中,请问: (1)500 在第几行,第几列? (2)第 100 行第 2 列是多少? 7、如图所示,数阵中的数字是按一定规律排列的。这个数阵中第 60 行左起第 4 个数字是多少? 8、中国古代的纪年方法叫“干支纪年” ,是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的。 天干共十个,其排列顺序为:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸; 地支共十二个,其排列顺序为:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。 以一个天干和一个地支相配,天干在前,地支在后,每对干支表示一年。
7、在干支纪年种,每六十年纪年 方式循环一次。 公元纪年则是国际通行的纪年方式。 图是 1911 年到 1926 年的公元纪年与干支纪年的对照表。请问: (1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元 1911 年,是干支纪年的辛亥年,请问公元 2049 年是干支 纪年的什么年? (2)21 世纪的甲子年是公元纪年的哪一年? (3) “戊戌变法”发生在 19 世纪末的戊戌年,这一年是公元纪年的哪一年? 6 9、如图所示,将 1 至 400 这 400 个自然数填入下面的三角形中,每个小三角形内填有一个数。 “1”所处的 位置为第 1 行; “2,3,4”所处的位置为第 2 行;请问: (1)第 15
8、行正中间的数是多少? (2)第 12 行中所有空白三角形内的数之和是多少? (3)前 8 行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少? 10、如图,把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来。请问: (1)150 在第几行,第几列? (2)第 5 行第 10 列的数是多少? 11、如图,把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来。请问: (1)200 排在第几行,第几列? (2)第 18 行第 22 列的数是多少? 7 12、如图所示,把自然数按规律排列起来。如果用“土”字型阴影覆盖出 8 个数并求和,且和为 798。这 8 个数中最大的数是多少?( “土”字不能旋转或翻转) 超越篇
9、超越篇 1、下面的数组时按一定顺序排列的: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) ,。 请问: (1)其中第 70 个括号内的数分别是多少? (2)前 50 个括号内各数之和是多少? 2、桌子上有一堆球,如果球的总数量是 10 的倍数,就平均分成 10 堆并拿走其中 9 堆;如 果球的总数量不是 10 的倍数,就添加不多于 9 个球,使球数变为 10 的倍数,再平均分 成 10 堆并拿走其中 9 堆。这个过程称为一次“操作” 。若球仅为一个,则不做“操作” 。 如果最初有 19491948194754321
10、个球,那么经过多少次“操作”后仅余下一个球? 8 3、在图所示的数阵中,将满足下面条件的两个数分为一组:它们上下相邻,且和为 391。问:在所有这样 的数组中,哪一组内的两个数乘积最小? 4、图中的数是按一定规律排列的,那么第 6 行第 23 列的数字是多少? 5、将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图所示的方式排列。请问: (1)第 1 行从左往右数的第 15 个字是多少? (2)第 1 列从上往下数的第 25 个字是多少? (3)第 25 行的第 15 个字是多少? 6、将自然数从 1 开始,顺次排成如图所示的螺旋形,其中 2,3,5,7,处为拐点,请问: (1)第 30 个拐点处的数
11、是多少? (2)前 30 个拐点处的各数之和是多少? 9 7、如图,把从 1 开始的连续的自然数按照一定的顺序排成数表,如果这个数表有 40 行,请通过计算回答 下列问题: (1)第 1 行的数是多少? (2)第 20 行中最大数与最小数之和是多少? (3)第 35 行中最大数与最小数之和是多少? 8、 (2004 年走进美妙的数学花园团体总决赛试题)如图,25 个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三 角形。在每个小三角形的顶点处都标有一个数,使得任何两个相邻小等边三角形所构成的棱形的两组相 对的顶点上所放置的数的和都相等。已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是 100、200、300。
12、 求所有顶点上数的总和。 第第 17 讲讲 数列与数表数列与数表 兴趣篇兴趣篇 1 1、1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,31,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,100100。请观察上面数列的规律,问:。请观察上面数列的规律,问: 10 (1 1)这个数列一共有多少项?这个数列一共有多少项? (2 2)这个数列所有数的总和是多少?)这个数列所有数的总和是多少? 【分析】 (1)根据题意,由于 1、4、7、10 一直到 100 为等差数列,共有: (100-1) 3+1=34 项。所以这个数列一 共有:2
13、 34-1=67 项。 (2)根据题意,这个数列的所有的和为: 111231471006617171783 2 2、观察数组(、观察数组(1,2,31,2,3) , () , (3,4,53,4,5) , () , (5,6,75,6,7) , (, (7,8,97,8,9)的规律,求:的规律,求: (1 1)第第 2020 组中三个数的和;组中三个数的和; (2 2)前前 2020 组中所有数的和。组中所有数的和。 【分析】 (1) 根据题意,观察末位:第 1 组为 3,第 2 组为 5,第 3 组为 7,第 4 组为 9,第 20 组的最后一个数 为 41,所以第 20 组的三个数的和为:
14、39+40+41=120; (2) 第 1 组的所有数和为 6,第 2 组的所有数和为 12;第 3 组的所有数和为 18第 20 组的所有数和为 120。 所以,前 20 组的所有数的和为: 612020 1260 2 3、一个数列的第一项是 1,之后的每一项是这样得到的:如果前一项是一位数,接着的一项就等于前一项 的二倍;如果前一项是两位数,接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。请问: (1)第 100 项是多少? (2)前 100 项的和是多少? 分析: (1)根据题意,依次填写可能为:1、2、4、8、16、12、4、8、16、12以,2、4、8、16、12 四个 为一个周期。 则第 1
15、00 项是:10024242 所以,第 100 项是 8; (2)前 100 项之和为:1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 1224 + 4 + 8 = 975 【答案】 (1)8; (2)975 4、如图,方格表中的数是按照一定规律填入的。请观察方格表,并填出“?”处的数。 【分析】观察,每两个数的差由 2 逐渐递增,由于 91 比 78 大 13,所以?处应填写 105。 1 ? 282115136 3610120 4536 55667891 1 ? 282115136 3610120 4536 55667891 11 5、如图,数阵中的数是按一定规律排列的,请问: (1)100 在
16、第几行、第几列? (2)第 20 行第 3 列的数是多少? 【分析】【分析】 (1)根据题意, 1008124,所以 96 应在第 24 行第 4 列。则 100 在第 25 行第 6 列; (2) 第 20 行第 4 列的数为:20 4=80。所以第 20 行第 3 列的数为 79。 【答案】 (1)第 25 行第 6 列; (2)79 6、如图,从 4 开始的自然数是按某种规律排列的,请问: (1)100 在第几行,第几列? (2)第 5 行第 20 列的数是多少? 【分析】 (1)由于10038121,所以 100 在第 25 列第 1 行; (2) 第 20 列的第一个数为:38108
17、3,所以第 20 列第 5 行的数为 83。 7、如图所示,把偶数 2、4、6、8,排成 5 列。各列从左到右依次为第 1 列、第 2 列、第 3 列、第 4 列和第 5 列,请问: (1)100 在第几行,第几列? (2)第 20 行第 2 列的数是多少? 12 【分析】【分析】 (1)由于1001472,则第 100 在第 15 行第 2 列上; (2)20 行第 1 列的数为:10 14=140,所以,第 20 行第 2 列的数为 138。 8、如图,从 1 开始的自然数按某种方式排列起来,请问: (1)100 在第几行?100 是这一行左起第几个数? (2)第 25 行左起第 5 个数
18、是多少? 【分析】【分析】 (1 1)根据题意,1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,由于加到奇数的最后一个数都在左边,所 以 100 在第 14 行。是这一行中的 100-91=9 个数; (2) 第 25 行的第一个数为: 12525 325 2 ,所以第 25 行起左起第 5 个数为 321。 【答案】 (1)第 14 行,左起第 9 个数; (2)321 9、如图,把从 1 开始的自然数排成数阵。试问:能否在数阵中放入一个 33 的方框。使得它围住的几个 数之和等于: (1)1997; (2)2016; (3)2349。 如果可以,请写出方框中最大的数。 1
19、3 【分析】左上角的数为:1+2+3+8+9+10+15+16+17=81。 由于每向右移动一位,即增加 9,最多可向右移动 4 次,向下移动一位可增加 63。 由于: (1)1997811916 1916633026,, 不是 9 的倍数; (2)2016811935 1935633045,,无法向右移动 5 次; (3)2349812268 22686336,; 所以,只有 2349 是可以的,应向下移动 36 次, 所以最大的数为:73617269 10、如图,将 1 至 400 这 400 个自然数顺次填入 2020 的方格表中,试问: (1)246 在第几行,第几列? (2)第 14
20、 行第 13 列的数是多少? (3)所有阴影方格中数的总和是多少? 【分析】 (1)由于24620126,所以第 246 是在第 13 行第 6 列; (2) 第 13 行的第 20 列的数为:260;所以第 14 行第 13 列的数为 273; (3) 所有阴影方格中的数的总和应为: 12243400203958381401040108020 【答案】 (1)第 13 行,第 6 列; (2)273; (3)8020 14 拓展篇拓展篇 1、1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84,0。请观察上面数列的规律,请问: (1)这个数列有多少项是
21、2? (2)这个数列所有项的总和是多少? 【分析】 (1) 两个两个看,可以看到规律,从 100 到每次少 2,共有 51 组数。 又观察每组第一个数,可知 1,2,3,2。四个为一个周期,由于 514=123,所以有:122+1=25 项是 2, 又从 100 递减到 2,也会有一个。所以共有 26 个 2。 (2)这个数列的所有项的总和为:024100121 2321 2+3=2652 2、一列由两个数组成的数组: (1,1) , (1,2) , (2,2),(1,3),(2,3),(3,3),(1,4),(2,4), (3,4), (4,4),(1,5),请问: (1)第 100 组内的
22、两数之和是多少? (2)前 55 组中“5”这个数出现了多少次? 【分析】 观察每一组内的第二个数, 则知第二组是几, 第二位是这个数就有几个, 由于1231391, 则第 100 组内的两个数为,9+14=23; 同样,据上面所述规律,由于1231055,当该组的第二个数是 5 时,这样的组数有 5+1=6 个, 当该组的第二个数是 6、7、 8、9、10 时,分别对应的有 1 个 5,所以 5 共出现了 10 次。 【答案】 (1)23; (2)11 次 3、有一列数,第一个数是 3,第二个数是 4,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的和的个位数。 从这列数种取出连续的 50 个数,并
23、求出它们的和,所得的和最大是多少?如果从中取出连续的 500 个 数,500 个数的和最大又是多少? 【分析】根据观察,这一列数的个位为:3、 4、 7、1、8、9、7、6、3、9、2、1、3、4、7、1,12 个位 一个周期,由于501242,共有 4 个周期余为 2,所以从 8 开始连续 50 个数的和最大,为: 89604257; 而50012418,正面考虑较为复杂,可从反面开始考虑,从一个周期里去掉 4 个数,而且使其尽量的 小,显然是,2,1,3,4,此时和为:604160102510 【答案】257;2510 4 4、如图,把从如图,把从 1 1 开始的自然数填在图上,开始的自然
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