奥数导引小学五年级含详解答案 第22讲:牛吃草问题与时钟问题
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1、第第 22 讲:讲:牛吃草问题与钟表问题牛吃草问题与钟表问题 内容概述 牛吃草问题是一类特殊的工程问题,钟表问题是一类特殊的行程问题。牛吃草问题的难点在于草的总量有 变化,因此要注意单位“1”的选取。掌握钟表问题的相关知识,学会将指针成角度问题转化为指针间的环形 追及问题或相遇问题,学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.有一片牧场,草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养 24 头牛,那么 6 天就把草吃完了;如果只放养 21 头牛,那么 8 天才把草吃完。请问: (1)要使得草永远吃不完,最多可以放养多少头牛? (2)如果放养 36 头牛,多少天可以
2、把草吃完? 2.学校有一片均匀生长的草地,可以供 18 头牛吃 40 天,或者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天,如果 1 头牛每 天的吃草量相当于 3 只羊每天的吃草量。请问:这片草地让 17 头牛与多少只羊一起吃,刚好 16 天吃完? 3.一片均匀生长的草地,如果有 15 头牛吃草,那么 8 天可以把草全部吃完;如果起初这 15 头牛在草地上吃 了 2 天后,又来了 2 头牛,则总共 7 天就可以把草吃完。如果起初这 15 头牛吃了 2 天后,又来了 5 头牛, 再过多少天可以把草吃完? 4.有一座时钟现在显示上午 10 点整。问: (1)多少分钟后,分针与时针第一次重合? (2)再
3、经过多少分钟,分针与时针第二次重合? 5.小悦早上 6 点半起床,赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线,那么小悦到达学 校的时间是几点几分? 6.阿奇在 9 点与 10 点之间开始解一道数学题,当时手表的时针和正好成一条直线。当阿奇解完这道题时, 时针和刚好第一次重合。请问:阿奇解这道题用了多少分钟? 7.下午 6 点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片,动画片开始时他看手表,发现时针和的夹角为110。在新闻 联播前动画片放完了,冬冬又看了表,发现时针和分针的夹角仍是110。那么动画片一共放了多少分钟? 8.在早晨 6 点到 7 点之间有一时刻,钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正
4、中央。请问:这一时刻是 6 点多 少分? 9.小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些。这天中午 12 点时,小悦把手表和闹钟校准,但当闹钟走到下午 1 点时,手表显示的时间是 1 点 5 分。请问: (1)当闹钟显示当天下午 5 点的时候,手表显示的时间是几点几分? (2)当手表显示当天下午 6 点半的时候,闹钟显示的时间是几点几分? 10.一个快钟每小时比标准时间快 1 分钟,一个慢钟每小时比标准时间慢 3 分钟。现在将两个钟同时调到标 准时间, 结果在 24 小时内, 快钟显示 9 点整时, 慢钟恰好显示 8 点整。 请问: 这个时候的标准时间是多少? 拓展篇 1.有一片牧场,草每天都在均匀地
5、生长。如果在牧场上放养 18 头牛,那么 10 天能把草吃完;如果只放养 24 头牛,那么 7 天就把草吃完了。请问: (1)如果放养 32 头牛,多少天可以把草吃完? (2)要放养多少头牛,才能恰好 14 天把草吃完? 2.进入冬季后,有一片牧场上的草开始枯萎,因此草会均匀地减少。现在开始在这片牧场上放羊,如果有 38 只羊,把草吃完需要 25 天;如果有 30 只羊,把草吃完需要 30 天。如果有 20 只羊,这片牧场可以吃多 少天? 3.一个露天水池底部有若干同样大小的进水管。这天蓄水时恰好赶上下雨,每分钟注入水池的雨水量相同。 如果打开 24 根进水管,5 分钟能注满水池;如果打开 1
6、2 根进水管,8 分钟能注满水池;如果打开 8 根进水 管,多少分钟能将水池注满? 4.把一片均匀生长的大草地分成三块,面积分别为 5 公顷、15 公顷和 24 公顷。如果第一块草地可以供 10 头牛吃 30 天,第二块草地可以供 28 头牛吃 45 天,那么第三块草地可以供多少头牛吃 80 天? 5.一个时钟现在显示的时间是 3 点整,请问: (1)多少分钟后,时针与分针第一次重合? (2)再经过多少分钟后,时针与分针第一次张开成一条直线? 6.在 9 点 23 分时, 时针和分针的夹角是多少度?从这一时刻开始, 经过多少分钟, 时针和分针第一次垂直? 7.小悦晚上去超市买东西,到的时候是
7、7 点 24 分,买完出来的时候仍然是 7 点多,且分针和时针所夹的角 度与到超市时相同。请问:小悦出来的时候是 7 点几分?买东西一共花了多少分钟? 8.图 22-1 中是一个特殊的钟,分针每 80 分钟走一圈,分针走 8 圈时针就走一圈。从分针与时针重合开始, 到分针与时针第三次成直角需要多少分钟? 9.小明上了一节课,时间不到 1 小时,他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调。请问:这 一堂课上了多少分钟? 10.在早晨 6 点到 7 点之间有一个时刻,钟面上的数字“5”恰好在时针与分针的正中央。请问:这时是 6 点几 分? 11.(1)小悦的闹钟比标准时间每小时快 3 分钟
8、。一天晚上 11 点,小悦把钟校准,并把闹铃定在第二天早 上 6 点。试问:当闹铃响起时,标准时间是几点几分? (2)阿奇的手表比标准时间每小时慢 4 分钟。一天早上 8 点,阿奇将表校准。试问:当这只表指向下午 3 点的时候,标准时间是几点几分? 12.如图 22-2 所示,某科学家设计了一只怪钟。这只怪钟每昼夜 10 小时,每小时 100 分钟。当这只钟显示 5 点时,实际上是中午 12 点。问:当这只钟第一次显示 6 点 75 分时,实际上是什么时间? 超越篇超越篇 1.第一、二、三号牧场的面积依次为 3 公顷、5 公顷、7 公顷,三个牧场上的草长得一样密,且生长得一样 快。有两群牛,第
9、一群牛 2 天将一号牧场的草吃完,又用 5 天将二号牧场的草吃完。在这 7 天里,第二群 牛刚好将三号牧场的草吃完。如果第一群牛有 15 头,那么第二群牛有多少头? 2.钟面上会出现时针与分针重合的情况,也会出现时针与分针关于钟面左右对称的情况。请问: (1)距 5 点最近的“时针与分针重合”的时刻是几点几分? (2)距 5 点最近的“时针与分针左右对称”的时刻是几点几分? 3.现在的时间在 10 点与 11 点之间,如果在 6 分钟后表的分针的位置恰好与 3 分钟前时针的位置方向相反, 那么现在的时间是几点几分? 4.某工厂的一只不准的时钟需要 69 分钟(标准时间)时针与分针才能重合一次。
10、工人每天的正常工作时间 是 8 小时,在此期间内,每工作一小时付约工资 4 元,如果超出规定时间就算加班,加班每小时付给工资 6 元。如果一个工人照此钟工作 8 小时,他实际上应得到工资多少元? 5.有两只旧钟,分别对它们进行观测,发现一只钟的分针与时针重合一次用 64 分钟,另一只钟的分针与时 针重合一次用 66 分钟,现在把两只钟都在标准时间 0:00 校准。试问:当它们再次出现在钟面上同一位置, 且分针与时针重合(不一定指向 12 点) ,是几天几小时几分钟之后? 6.费叔叔有一只手表和一个闹钟,他发现闹钟每走一个小时,他的手表会多走 30 秒,但闹钟却比标准时间 每小时慢 30 秒。在
11、今天中午 12 点费叔叔把手表和标准时间校准,那么明天中午 12 点时,费叔叔的手表显 示的时间是几点几分几秒? 7.如图 22-3 所示, 一块正方形草地被分为完全相同的四块以及中间的阴影部分。 已知草一开始是均匀分布, 且以恒定的速度均匀生长。但如果某块地上的草被吃光,就不再生长(因为草根也被吃掉了) 。老农先带着 一群牛在 1 号草地上吃草,两天后把 1 号草地上的草全部吃完(这期间其他草地的草正常生长) 。之后他让 一半牛在 2 号草地上吃草,另一半在 3 号草地上吃草,结果又过了 6 天,这两个草地上的草也全部吃完。 最后,老农把 3 5 的牛放在阴影草地上吃草,而剩下的牛放在 4
12、号草地上,最后发现两块草地上的草同时吃 完。如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草,那么吃完这些草需要多少天? 8.有一只表没有秒针,而且时针和分针无法辨别。在多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间, 但有时也会出现两种可能,使你判断不出正确的时间。请问:从中午 12 时到夜里 12 时这段时间会遇到多 少次无法判断的情况? 第第 22 讲:讲:牛吃草问题与钟表问题牛吃草问题与钟表问题 内容概述 牛吃草问题是一类特殊的工程问题,钟表问题是一类特殊的行程问题。牛吃草问题的难点在于草的总量有 变化,因此要注意单位“1”的选取。掌握钟表问题的相关知识,学会将指针成角度问题转化为指针间的环形 追
13、及问题或相遇问题,学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系。 典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.有一片牧场,草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养 24 头牛,那么 6 天就把草吃完了;如果只放养 21 头牛,那么 8 天才把草吃完。请问: (1)要使得草永远吃不完,最多可以放养多少头牛? (2)如果放养 36 头牛,多少天可以把草吃完? 【分析】【分析】 设1头牛1天吃1份草,则草的生长速度为(21 824 6)(86)12 ,因此最多放养12头牛. 原有草量为24612672,如果放养 36 头牛最多72(36 12)3(天) 2.学校有一片均匀生长的草地,可以供 18 头牛吃 40
14、天,或者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天,如果 1 头牛每 天的吃草量相当于 3 只羊每天的吃草量。请问:这片草地让 17 头牛与多少只羊一起吃,刚好 16 天吃完? 【分析】【分析】 将羊转化为牛,题目转化为可以供 18 头牛吃 40 天,或者供24头牛吃 25 天 设1头牛1天吃1份草,则草的生长速度为(18 4024 25)(4025)8, 原有草量为242525 8400,这片草地可供40016833(头)牛,相当于17头牛, (3317)348(只)羊 3.一片均匀生长的草地,如果有 15 头牛吃草,那么 8 天可以把草全部吃完;如果起初这 15 头牛在草地上吃 了 2 天后
15、,又来了 2 头牛,则总共 7 天就可以把草吃完。如果起初这 15 头牛吃了 2 天后,又来了 5 头牛, 再过多少天可以把草吃完? 【分析】【分析】 设1头牛1天吃1份草,则草的生长速度为(15 8 15 2 17 5)(87)5 ,原有草量为 15 85 880 , 起初这 15 头牛吃了 2 天后, 又来了 5 头牛, 再过80(155)2(1555)4 天可以把草吃完 4.有一座时钟现在显示上午 10 点整。问: (1)多少分钟后,分针与时针第一次重合? (2)再经过多少分钟,分针与时针第二次重合? 【分析】【分析】 (1)上午 10 点整,分针落后时针50格,所以 116 50(1)
16、50(1)54 121111 分钟后分针与时针 第一次重合 (2)分针再追时针60格,分针与时针第二次重合,所以再过分钟 15 60(1)65 1211 分钟 5.小悦早上 6 点半起床,赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线,那么小悦到达学 校的时间是几点几分? 【分析】【分析】 6点时分针和时针好张开成一条直线,因此分针要在比时针多走60格,才能再次出现时针和分针 张开成一条直线,即再过 15 60(1)65 1211 分钟,所以小悦到达学校的时间是7点 5 511分 6.阿奇在 9 点与 10 点之间开始解一道数学题,当时手表的时针和正好成一条直线。当阿奇解完这道题时,
17、 时针和刚好第一次重合。请问:阿奇解这道题用了多少分钟? 【分析】【分析】 由成一条直线到重合,分针比时针多走了30格,所以阿奇解这道题用了 18 30(1)32 1211 分钟. 7.下午 6 点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片,动画片开始时他看手表,发现时针和的夹角为110。在新闻 联播前动画片放完了,冬冬又看了表,发现时针和分针的夹角仍是110。那么动画片一共放了多少分钟? 【分析】【分析】 分针比时针多走了220,所以动画片一共放了220(60.5)40(分钟) 8.在早晨 6 点到 7 点之间有一时刻,钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央。请问:这一时刻是 6 点多 少分? 【分析】
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