奥数导引小学五年级含详解答案 第02讲:整除
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1、第第 2 讲讲 数的整除数的整除 内容概述: 掌握整除的概念和基本性质,掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填 问题,以及多位数的构成问题等。 典型问题: 兴趣篇兴趣篇 1.下面有 9 个自然数:14,35,80,152,650,434,4375,9064,24125。在这些自然数中,请问: (1)有哪些数能被 2 整除?哪些能被 4 整除?哪些能被 8 整除? (2)有哪些数能被 5 整除?哪些能被 25 整除?哪些能被 125 整除? 2.有如下 9 个三位数:452,387,228,975,525,882,715,775,837。这些数中哪些能被 3 整除?哪些
2、能被 9 整除?哪些能同时被 2 和 3 整除? 3.一个三位数64的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值: (1)如果要求这个三位数能被 3 整除,“”可能等于多少? (2)如果要求这个三位数能被 4 整除,“”可能等于多少? (3)这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除,如果有可能,“”可能等于多少? 4.新学年开学了,同学们要改穿新的校服。雯雯收了 9 位同学的校服费(每人交的钱一样多)交给老师。老 师给了雯雯一张纸条, 上面写着“交来校服费238元”其中有一滴墨水, 把方格处的数字污染得看不清了。 牛牛看了看,很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们,你们能算出这个
3、数字是多少吗? 5.四位数29能同时被 3 和 5 整除,求出所有满足要求的四位数。 6.四位偶数6 4 能被 11 整除,求出所有满足要求的四位数。 7.多位数 32 3232321 n个 能被 11 整除,满足条件的n最小是多少? 8.一天,王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他,目前只有形如“123468”的号码可 以申请。也就是说,在申请号码时,方框内的两个数字可以随意选择,而其余数字不得改动。王经理打算 申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码。请问:他申请的号码可能是多少? 9.一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除,把它的个位数字去掉后剩下一个三位数,这个三位
4、数能被 4 整除。这个四位数最大是多少? 10.(1)一个多位数(两位及两位以上) ,它的各位数字互不相同,并且含有数字 0。如果它能被 11 整除, 那么这个多位数最小是多少? (2)一个多位数,它的各位数字之和为 13,如果它能被 11 整除,那么这个多位数最小是多少? 拓展篇拓展篇 1.判断下面 11 个数的整除性: 23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407. (1)这些数中,有哪些数能被 4 整除?哪些数能被 8 整除? (2)哪些数能被 25 整除?哪些数能被 125 整除? (3)哪些数能被 3 整除?哪些数能
5、被 9 整除? (4)哪些数能被 11 整除? 2.173是一个四位数。 数学老师说: “我在其中的方框内先后填入 3 个数字, 得到 3 个四位数, 依次能被 9、 11、8 整除。”问:数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少? 3.五位数307能同时被 11 和 25 整除。这个五位数是多少? 4.牛叔叔给 45 名工人发完工资后,将总钱数记在一张纸上。但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞,上面只 剩下“678”,其中方框表示被烧出的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样,并且都是整数元。请问: 这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢? 5.六位数2008能同时被 9 和 11 整除。
6、这个六位数是多少? 6.请从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数,使它是 99 的倍数。这个五位数最大 是多少? 7.雯雯写了一个两位数 59,牛牛写了一个两位数 89,他们让羊羊写一个一位数放在 59 与 89 之间拼成一个 五位数5989,使得这个五位数能被 7 整除。请问:羊羊写的数是多少? 8.已知 51 位数 255259 5555999 个个 能被 13 整除,中间方格内的数字是多少? 9.用数字 6、7、8 各两个,要组成能同时被 6、7、8 整除的六位数。请写出一个满足要求的六位数。 10.牛牛和羊羊玩一个数字游戏。牛牛先将一个三位数的百位与
7、个位填好,然后羊羊来填写这个三位数的十 位。如果最后这个三位数能被 11 整除,那么羊羊获胜,否则牛牛获胜。牛牛想了一会,想到了一个必胜的 办法。请问:牛牛想到的办法是什么? 11.对于一个自然数N,如果具有以下的性质就称为“破坏数”:把它添加到任何一个自然数的右端,形成的 新数都不能被1N 整除。请问:一共有多少个不大于 10 的破坏数? 12.一个五位数,它的末三位为 999。如果这个数能被 23 整除,那么这个五位数最小是多少? 超越篇超越篇 1. 在所有各位数字互不相同的五位数中,能被 45 整除的数最小是多少? 2.将自然数 1,2,3,依次写下去形成一个多位数“1234567891
8、01112”。写出某个数N时,所形成的多 位数恰好第一次能被 90 整除。请问:N是多少? 3.雯雯的爸爸买回来两箱杯子。两个箱子上各贴有一张价签,分别写着“总价 117. 元”、“总价 127.元” (、 、四个数字已辨认不清,但是它们互不相同) 。爸爸告诉雯雯,其中一箱装了 99 只A型杯子, 另一箱装了 75 只B型杯子,每只杯子的价格都是整数分。 但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱, 也不记得哪个箱子装的是A型杯子, 哪个箱子装的是B型杯子了。 爸爸知道雯雯的数学水平很厉害,于是他想考考雯雯。 雯雯看了看,说:“这可难不倒我,我刚好学了一些复杂的整除性质,这下可以派上用场了。” 同学们
9、,你能像雯雯一样把价签上的数分辨出来吗? 4.牛牛在一张纸条上依次写下 2、3、4、5、6、7 这 6 个数字,形成一个六位数。羊羊把这张纸条撕成了三 节。 这三节纸条上的数加起来得到的和 (如图 2-1, 三节纸条上的和为 23+456+7=486) 能被 55 整除。 请问: 羊羊可能是在什么位置撕断的这张纸条? 5.将一个自然数N接在任一自然数的右面 (例如将 2 接在 13 的右面得到 132) , 如果所得的新数都能被N整 除,那么称N为“神奇数”。请求出所有的两位“神奇数”。 (希望杯培训试题) 6.在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字,使此数能被 17 和 19 整除。方
10、框中的两位数是多少? 7.多位数A由数字 1、3、5、7、9 组成,每个数字都可以重复出现但至少出现一次,而且A可以被A中任意 一个数字整除。求这样的A的最小值。 8.有一些自然数, 从左向右读与从右向左读是完全一样的, 我们将这样的数称作“回文数”。 比如 2332、 181、 77 都是回文数。如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数,那么这个六位数是多少? 第第 2 讲讲 数的整除数的整除 内容概述:内容概述: 掌握整除的概念和基本性质,掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填掌握整除的概念和基本性质,掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补
11、填 问题,以及多位数的构成问题等。问题,以及多位数的构成问题等。 典型问题:典型问题: 兴趣篇兴趣篇 1.下面有下面有 9 个自然数:个自然数:14,35,80,152,650,434,4375,9064,24125。在这些自然数中,请问:。在这些自然数中,请问: (1)有哪些数能被)有哪些数能被 2 整除?哪些能被整除?哪些能被 4 整除?哪些能被整除?哪些能被 8 整除?整除? (2)有哪些数能被)有哪些数能被 5 整除?哪些能被整除?哪些能被 25 整除?哪些能被整除?哪些能被 125 整除?整除? 【分析】【分析】(1)能被 2 整除的数末位应是 2 的倍数,有:14,80,152,6
12、50,434,9064,; 能被 4 整除的末两位应为 4 的倍数,有:80,152,9064; 能被 8 整除的末三位应为 8 的倍数,有:80,152,9064; (2)能被 5 整除的末位应为 5 的倍数,有 35,80,650,4375,24125; 能被 25 整除的末两位应为 25 的倍数,有:650,4375,24125; 能被 125 整除的末三位应为 125 的倍数,有:4375,24125; 2.有如下有如下 9 个三位数:个三位数:452,387,228,975,525,882,715,775,837。这些数中哪些能被。这些数中哪些能被 3 整除?哪些整除?哪些 能被能被
13、 9 整除?哪些能同时被整除?哪些能同时被 2 和和 3 整除?整除? 【分析】【分析】 能被 3 整除的应为数字和为 3 的倍数,有:387,228,975,525,882,837; 能被 9 整除的数字和应为 9 的倍数,有:387,882,837; 能同时被 2 和 3 整除的数有:228、882。 3.一个三位数一个三位数64的十位数字未知。请分别根据下列要求找出的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“”中合适的取值:中合适的取值: (1)如果要求这个三位数能被)如果要求这个三位数能被 3 整除,整除,“”可能等于多少?可能等于多少? (2)如果要求这个三位数能被)如果要求这个三位数能
14、被 4 整除,整除,“”可能等于多少?可能等于多少? (3)这个三位数有没有可能同时被)这个三位数有没有可能同时被 3 和和 4 整除,如果有可能,整除,如果有可能,“”可能等于多少?可能等于多少? 【分析】【分析】 (1)数字和保证是 3 的倍数,则可填写 2,5,8; (2)能被 4 整除,则末两位能被 4 整除,则可填写 0、2、4、6、8; (3)既能被 3 又能被 4 整除,则两者均需符合,应填 2 或者 8 4.新学年开学了,同学们要改穿新的校服。新学年开学了,同学们要改穿新的校服。雯雯雯雯收了收了 9 位同学的校服费(每人交的钱一样多)交给老师。位同学的校服费(每人交的钱一样多)
15、交给老师。 老师给了老师给了雯雯雯雯一张纸条,上面写着一张纸条,上面写着“交来校服费交来校服费238元元”其中有一滴墨水,把方格处的数字污染得看不清其中有一滴墨水,把方格处的数字污染得看不清 了。了。牛牛牛牛看了看,很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们,你们能算出这个数字是多少吗?看了看,很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们,你们能算出这个数字是多少吗? 【分析】【分析】 令该四位数为2 38a,则数字和应为 9 的倍数,所以,5a。 5.四位数四位数29能同时被能同时被 3 和和 5 整除,求出所有满足要求的四位数。整除,求出所有满足要求的四位数。 【分析】【分析】 由于该数能被 5 整
16、除,则末位为 0 或者 5; (1)当末位为 5 时,2 95a应为 3 的倍数,则 a 可等于 2、5、 8;此时四位数有 2295,2595,2895; (2)当末位为 0 时,2 90a应为 3 的倍数,则 a 可等于 1,4,7,此时的四位数有 2190,2490,2790。 所以满足条件的四位数共有 6 个,如上。 6.四位偶数四位偶数64能被能被 11 整除,求出所有满足要求的四位数。整除,求出所有满足要求的四位数。 【分析】【分析】 令该数为6 4a b,根据题意,能被 11 整除的数应为从末位开始,奇数位数字之和与偶数位数字 之和的差应为 11 的倍数。所以10a b ,并且为
17、偶数,则共有 4 个满足条件的四位数分别为: 6248,6446,6644,6842。 7.多位数多位数 32 3232321 n个 能被能被 11 整除,满足条件的整除,满足条件的n最小是多少?最小是多少? 【分析】【分析】 能被 11 整除的数应为奇数位数字之和与偶数位数字之和的差应为 11 的倍数。 则奇数位数字之和应该为:31n;偶数位数字之和为:2n. 则 n 的最小值为 10。 8.一天,王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他,目前只有形如一天,王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。服务人员告诉他,目前只有形如“123468”的号码可的号码可 以申请。也就是说,在申请
18、号码时,方框内的两个数字可以随意选择,而其余数字不得改动。王经理打算以申请。也就是说,在申请号码时,方框内的两个数字可以随意选择,而其余数字不得改动。王经理打算 申请一个能同时被申请一个能同时被 8 和和 11 整除的号码。请问:他申请的号码可能是多少?整除的号码。请问:他申请的号码可能是多少? 【分析】【分析】 令该数为1234 6 8a b,根据题意,该数能被 8 整除,所以该数必然能被 4 整除,则 b 应为 0、 2、4、6、8,该数又能被 8 整除,则 b 为 0 或者 4 或者 8。 而该数又能被 11 整除,奇数位数字之和为:20;偶数位数字之和为:4ab 。由于18a b ,
19、则5ab或者16a b 。 在5ab时,有 1 4 a b ,或者 5 0 a b 在16a b 时,有一组解, 8 8 a b 所以,他申请的号码共有 3 种可能。 9.一个各位数字互不相同的四位数能被一个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除,把它的个位数字去掉后剩下一个三位数,这个三位数能被整除,把它的个位数字去掉后剩下一个三位数,这个三位数能被 4 整除。这个四位数最大是多少?整除。这个四位数最大是多少? 【分析】【分析】 由于四位数要尽可能的大,则位数高的要尽可能的大,又该数的千位百位十位所组成的三位 数,则前三位最大为 984,则令该四位数为984a,这个四位数又能被 9 整除。所
20、以6a 。所以这个 四位数最大为 9846 10.(1)一个多位数(两位及两位以上) ,它的各位数字互不相同,并且含有数字)一个多位数(两位及两位以上) ,它的各位数字互不相同,并且含有数字 0。如果它能被。如果它能被 11 整除,整除, 那么这个多位数最小是多少?那么这个多位数最小是多少? (2)一个多位数,它的各位数字之和为)一个多位数,它的各位数字之和为 13,如果它能被,如果它能被 11 整除,那么这个多位数最小是多少?整除,那么这个多位数最小是多少? 【分析】【分析】 (1)根据题意,该位的各位数字互不相同,且还能被 11 整除。不存在这样的两位数; 则必为三位数,令该三位数为abc
21、,则有:acb 为 11 的倍数,又因为其中一项为 0,则若 c 为 0,显 然不存在; 则只能 b 为 0,则此时11ac ,满足条件的最小的多位数为 209; (2)根据题意,该多位数也不可能是两位数,因为两位数中能被 11 整除的数必为偶数; 若该数为三位数,令该数为abc,则有13acb ,且有0acb 或者 11,由于两个数的和与两 个数的差必然同时为奇数或者同时为偶数。 所以只能是13acb 与11acb 同时成立。 所以有: 1b,12ac ,则这样的多位数最小是 319。 拓展篇拓展篇 1.判断下面判断下面 11 个数的整除性:个数的整除性: 23487,3568,8875,6
22、765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407. (1)这些数中,有哪些数能被)这些数中,有哪些数能被 4 整除?哪些数能被整除?哪些数能被 8 整除?整除? (2)哪些数能被)哪些数能被 25 整除?哪些数能被整除?哪些数能被 125 整除?整除? (3)哪些数能被)哪些数能被 3 整除?哪些数能被整除?哪些数能被 9 整除?整除? (4)哪些数能被)哪些数能被 11 整除?整除? 【分析】【分析】 (1)末两位能被 4 整除,该数即能被 4 整除; 末三位能被 8 整除,该数即能被 8 整除。 所以,能被 4 整除的数有:3568,5880,6512,864
23、; 能被 8 整除的数有:3568,5880,6512,864; (2)末两位是 25 的倍数,该数就能被 25 整除; 末三位是 125 的倍数,该数就能被 125 整除。 所以能被 25 整除的数有:8875,93625; 能被 125 整除的数有:8875,93625; (3)数字和是 3 的倍数即能被 3 整除,数字和为 9 的倍数即能被 9 整除。 所以,能被 3 整除的数有:23487,6765,5880,198954,864; 能被 9 整除的数有:198954,864; (4)从末位开始,奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果为 11 的倍数,即为 11 的倍数。 则为 11
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