奥数导引小学五年级含详解答案 第04讲:包含与排除
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1、第第 4 讲讲 包含与排除包含与排除 内容概念: 有重叠部分的若干对象的计数问题,能利用文氏图进行辅助分析,弄清文氏图中每部分的含义;结合 文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理;灵活处理具有一些不确定性的计数问题,以及其他形式的重 复计数问题。 典型问题: 兴趣篇兴趣篇 1. 暑假里,小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”。他们发现十八景中的每一处都有人去过,而且有五处是两 人都去过的。如果小悦去过其中的十二景,那么冬冬去过其中的几景? 2.在一群小朋友中,有 12 人看过动画片黑猫警长 ,有 21 人看过动画片大闹天宫 ,并且有 8 人两部动 画片都看过。请问:至少看过其中一部的小朋友有多少人?
2、 3、 五年级一班 45 个学生参加期末考试。成绩公布后,数学得满分的有 10 人,数学及语文均得满分的有 3 人,这两科都没有得满分的有 29 人。请问:语文成绩得满分的有多少人? 4.某餐馆有 27 道招牌菜。小悦吃过其中的 13 道,冬冬吃过其中的 7 道,而且有 2 道菜是两人都吃过的。请 问:有多少道招牌菜是两人都没有吃过的? 5.如图 4-1,已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6、8、 5,同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2。请问: (1)只被甲或乙覆盖,却不被丙覆盖的部分的面积是多少? (2)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的
3、面积是多少? 6.在一个由 30 人组成的合唱队中,每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有 10 个人爱喝 红茶,12 人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问:只爱喝花茶的有多少人? 7.光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组,参加的人数分别是 54 人、46 人、36 人。同时参 加体育小组和音乐小组的有 4 人,同时参加体育小组和书法小组的有 7 人,同时参加音乐小组和书法小组 的有 10 人,三组都参加的有 2 人。光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人? 8.卫生部对 120 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查,结果发现:含维生素 A 的有 62 种,含维生素
4、C 的有 90 种,含维生素 E 的有 68 种,同时含维生素 A 和 C 的有 48 种,同时含维生素 A 和 E 的有 36 种,同 时含维生素 C 和 E 的有 50 种,同时含这三种维生素的有 25 种。请问: (1)这三种维生素都不含的食物有多少种? (2)仅含维生素 A 的食物有多少种? 9.操场上有 50 名同这在跑步或跳绳。其中女生有 18 名,跳绳的同学有 31 名,跑步的男生有 14 名。跳绳的 女生有多少名? 10.学校举行棋类比赛,分为象棋、围棋和军棋三项,每人最多参加其中两项。根据报名的人数,学校决定 对象棋的前 9 名、围棋的前 10 名和军棋的前 11 名发放奖品
5、。请问:最少有几人获得奖品? 拓展篇拓展篇 1.在一个办公室中,有 7 个人爱喝茶,10 个人爱喝咖啡,3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少爱 喝茶或咖啡中的一种,那么这个办公室里共有多少人? 2.五年级二班有 40 名同学。 其中有 25 人没参加数学小组, 有 18 人参加航模小组, 有 10 人两个小组都参加。 那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人? 3.在 1 至 100 这 100 个自然数中,既不能被 2 整除也不能被 3 整除的数有多少个? 4.渔乡小学举行长跑和游泳比赛,共 305 人参加。参加长跑比赛的有 150 名男生和 90 名女生,参加游泳比 赛的有 12
6、0 名男生和 70 名女生,有 110 名男生两项比赛都参加了。请问:只参加游泳比赛而没有参加长跑 比赛的女生有多少人? 5.森林里住着一群小白兔,每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种。爱吃萝卜的小白兔中有 12 只不爱吃白菜;爱吃白菜的小白兔中有 23 只不爱吃青草;爱吃青草的小白兔中有 34 只不爱吃萝卜。如 果三种食物都爱吃的小白兔有 5 只,那么这群小白兔一共有多少只? 6.三位基金经理投资若干只股票。张经理买过其中 66 只,王经理买过其中 40 只,李经理买过其中 23 只。 张经理和王经理都买过的有 17 只,王经理和李经理都买过的有 13 只,李经理和张经理都买过的
7、有 9 只, 三个人都买过的有 6 只。请问:这三位经理一共买过多少只股票? 7.唐僧西天取经共经历了 81 难,其中单独渡过了 3 难,与孙悟空一起渡过了 77 难,与猪八戒一起渡过了 65 难,与沙和尚一起渡过了 62 难,同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了 64 难,同时与孙悟空和沙和尚一起 渡过了 61 难,同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了 60 难。请问:师徒四人共同渡过的有多少难? 8.培英学校有学生 1000 人,其中有 500 人订阅了中国少年报 ,有 350 人订阅了少年文艺 ,有 250 人 订阅了数学报 ,至少订阅两种报刊的有 400 人,订阅了三种报刊的有 100 人。请问:
8、培英学校有多少人 没有订报? 9.五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组。其中有 24 人参加了数学小组,20 人参加 了语文小组,既参加数学小组又参加语言语文小组的有 10 人。参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参 加文艺小组人数的 3.5 倍,还是三项小组都参加的人数的 7 倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于 三项小组都参加的人数的 2 倍,求参加文艺小组的人数。 10.图书室有 100 本书,借阅图书者需在图书上签名。已知这 100 本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有 33 本、44 本和 55 本,其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本,同时有甲、丙签名的
9、图书为 25 本,同时有乙、 丙签名的图书为 36 本。问:这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过? 11.五年级三班有 50 名学生, 参加语文竞赛的有 28 人, 参加数学竞赛的有 22 人, 参加英语竞赛的有 20 人。 如果每人最多参加两科竞赛,那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人? 12.甲、乙、丙三人都在读同一本故事书,书中有 100 个故事。已知甲读了 85 个故事,乙读了 70 个故事, 丙读了 62 个故事。请问: (1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个? (2)如果每个人都是从某一个故事开始,按顺序连续往后读,那么甲、乙、丙三人共同读过的故事最少
10、有 多少个? 超越篇超越篇 1.森林里住着 100 只小白兔,凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜 的小白兔数量的 2 倍,而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍。它们当中有多少只 小白兔既爱吃又爱吃白菜? 2. 育才小学画展上展出了许多幅画,其中有 16 幅画不是六年级的,有 15 幅画不是五年级的,五、六年级 共展出 25 幅画。其他年级的画共有多少幅? 3.学而思学校有 105 名男生和 75 名女生参加数学竞赛,有 95 名女生和 85 名男生参加作文竞赛。已知该校 一共有 280 名学生参加了竞赛, 其中只参加数学竞赛的男生人数与只
11、参加作文竞赛的女生人数相同。 请问: 只参加数学竞赛的女生有多少人? 3. 冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游,他们照了很多照片。回家后,冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相 册里,再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里,最后把剩下的照片放到爸爸的相册里。爸爸认为 应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里,于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了 37 张照片放到 了自己的相册。妈妈不同意,又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的 45 张照片都拿出来放到了 自己的相册。请问:究竟是妈妈和冬冬的合影多,还是爸爸和冬冬的合影多?多几张? 5.一次测验共有 5 道试题。测试后统计如下:有 81%的同学做对第
12、1 题,有 85%的同学做对第 2 题,有 91% 的同学做对第 3 题,有 74%的同学做对第 4 题,有 79%的同学做对第 5 题。如果做对 3 道或 3 道以上试题 的同学为考试合格。请问:这次考试的合格率最多达百分之几?最少达百分之几? 6.五年级一班有 22 人参加语文竞赛, ,32 人参加数学竞赛,27 人参加英语竞赛,其中同时参加语文竞赛和 数学竞赛有 12 人,同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 14 人,同时参加数学竞赛和英语竞赛的有 15 人。请 问:五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少? 7.在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水。已知甲浇了 30 盆
13、,乙浇了 75 盆,丙浇了 80 盆,丁浇了 90 盆,请问: (1)恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆? (2)恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆? 8.一根 1.8 长的木棍, 从左端开始每隔 2 厘米划一个刻度, 每隔 3 厘米划一个刻度, 每隔 5 厘米划一个刻度, 每隔 7 厘米划一个刻度,如果按刻度把木棍截断,一共可以截成多少段小木棍? 第第 4 讲讲 包含与排除包含与排除 内容概念:内容概念: 有重叠部分的若干对象的计数问题,能利用文氏图进行辅助分析,弄清文氏图中每部分的含义;结合有重叠部分的若干对象的计数问题,能利用文氏图进行辅助分析,弄清文氏图中每部分的含义;结合 文氏图
14、理解两个对象和三个对象的容斥原理;灵活处理具有一些不确定性的计数问题,以及其他形式的重文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理;灵活处理具有一些不确定性的计数问题,以及其他形式的重 复计数问题。复计数问题。 典型问题:典型问题: 兴趣篇:兴趣篇: 4. 暑假里,小悦和冬冬一起讨论暑假里,小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景金陵十八景”。他们发现十八景中的每一处都有人去过,而且有五处是两。他们发现十八景中的每一处都有人去过,而且有五处是两 人都去过的。如果小悦去过其中的十二人都去过的。如果小悦去过其中的十二景,那么冬冬去过其中的几景?景,那么冬冬去过其中的几景? 【分析】【分析】“十八景”剩余了18 1
15、26景,所以冬冬去过其中的 6+5=11 景。 2.在一群小朋友中,有在一群小朋友中,有 12 人看过动画片黑猫警长 ,有人看过动画片黑猫警长 ,有 21 人看过动画片大闹天宫 ,并且有人看过动画片大闹天宫 ,并且有 8 人两部人两部 动画片都看过。请问:至少看过其中一部的小朋友有多少人?动画片都看过。请问:至少看过其中一部的小朋友有多少人? 【分析】【分析】至少看过一部的小朋友有:12 21 825 (人) 4、 五年级一班五年级一班 45 个学生参加期末考试。成绩公布后,数学得满分的有个学生参加期末考试。成绩公布后,数学得满分的有 10 人,数学及语文均得满分的有人,数学及语文均得满分的有
16、 3 人,这两科都没有得满分的有人,这两科都没有得满分的有 29 人。请问:语文成绩得满分的有多少人?人。请问:语文成绩得满分的有多少人? 【分析】两科至少有一科得满分的有:45 29 16(人) ,只有数学得满分的有:10 37 人,语文得 满分的有:16 79 (人) 。 4.某餐馆有某餐馆有 27 道招牌菜。小悦吃过其中的道招牌菜。小悦吃过其中的 13 道,冬冬吃过其中的道,冬冬吃过其中的 7 道,而且有道,而且有 2 道菜是两人都吃过的。道菜是两人都吃过的。 请问:有多少道招牌菜是两人都没有吃过的?请问:有多少道招牌菜是两人都没有吃过的? 【分析】两人都吃过的菜有:13 7 2 18
17、道理,两人都没有吃过的有:27 189(道) 。 5.如图如图 4-1,已知甲、乙、丙三个圆的面积均为,已知甲、乙、丙三个圆的面积均为 30,甲与乙、乙与丙、甲与,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为丙重合部分的面积分别为 6、8、 5,同时被这三个圆覆盖的部分的面积为,同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2。请问:。请问: (1)只被甲或乙覆盖,却不被丙覆盖的部分的面积是多少?)只被甲或乙覆盖,却不被丙覆盖的部分的面积是多少? (2)只被这)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少?个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少? 【分析】 (1)根据题意,有:6DG,则2G,624D ;
18、 8FG,则有:8 26F ; 5EG,则有:5 23E ; 所以:306 321A;308 319B 所以只被甲或者乙覆盖,却不被丙覆盖的是:21 19 343 ; (2)306618C 所以只被这 3 个圆中的某一个圆覆盖的部分的面积是:21 19 1858。 6.在一个由在一个由 30 人组成的合唱队中,每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有人组成的合唱队中,每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有 10 个人爱个人爱 喝红茶,喝红茶,12 人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问:只爱喝花茶的有多少人?人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问:只爱喝花茶的有多少人? 【分析】只爱喝花
19、茶的有:3010 128(人) 。 7.光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组,参加的人数分别是光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组,参加的人数分别是 54 人、人、46 人、人、36 人。同时人。同时 参加体育小组和音乐小组的有参加体育小组和音乐小组的有 4 人,同时参加体育小组和书法小组的有人,同时参加体育小组和书法小组的有 7 人,同时参加音乐小组和书法小人,同时参加音乐小组和书法小 组的有组的有 10 人,三组都参加的有人,三组都参加的有 2 人。光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人?人。光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人? 【分析】根据容斥原理,参加课
20、外活动的共有: 54+46+36- 4+7+10 +2=117(人) 。 8.卫生部对卫生部对 120 种食物是否含有维生素种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查,结果发现:含维生素进行调查,结果发现:含维生素 A 的有的有 62 种,含维生素种,含维生素 C 的有的有 90 种,含维生素种,含维生素 E 的有的有 68 种,同时含维生素种,同时含维生素 A 和和 C 的有的有 48 种,同时含维生素种,同时含维生素 A 和和 E 的有的有 36 种,种, 同时含维生素同时含维生素 C 和和 E 的有的有 50 种,同时含这三种维生素的有种,同时含这三种维生素的有 25 种。请问:种。请问
21、: (1)这三种维生素都不含的食物有多少种?)这三种维生素都不含的食物有多少种? (2)仅含维生素)仅含维生素 A 的食物有多少种?的食物有多少种? 【分析】至少含一种的有: 62+90+68- 48 36 5025220 13425111; 都不含的食物有:120 111 9(种) ; 仅含有维生素 A 的有:6248 36253(种) 。 9.操场上有操场上有 50 名同这在跑步或跳绳。其中女生有名同这在跑步或跳绳。其中女生有 18 名,跳绳的同学有名,跳绳的同学有 31 名,跑步的男生有名,跑步的男生有 14 名。跳绳名。跳绳 的女生有多少名?的女生有多少名? 【分析】根据题意,跑步的学
22、生有:50 31 19(人) ; 跑步的女生有:19 145(人) ; 跳绳的学生有:18 5 13 (人) ; 10.学校举行棋类比赛,分为象棋、围棋和军棋三项,每人最多参加其中两项。根据报名的人数,学校决定学校举行棋类比赛,分为象棋、围棋和军棋三项,每人最多参加其中两项。根据报名的人数,学校决定 对象棋的前对象棋的前 9 名、围棋的前名、围棋的前 10 名和军棋的前名和军棋的前 11 名发放奖品。请问:最少有几人获得奖品?名发放奖品。请问:最少有几人获得奖品? 【分析】要使获奖人数最少,最好每位同学都获得两个奖项。则最少有:910 11 9215(人) ; 拓展篇拓展篇 1.在一个办公室中
23、,有在一个办公室中,有 7 个人爱喝茶,个人爱喝茶,10 个人爱喝咖啡,个人爱喝咖啡,3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少个人既爱喝茶又爱喝咖啡。如果每个人都至少 爱喝茶或咖啡中的一种,那么这个办公室里共有多少人?爱喝茶或咖啡中的一种,那么这个办公室里共有多少人? 【分析】这个办公室共有:7 10 3 14 (人) ; 丙 乙 甲 G F E D C B A 2.五年级二班有五年级二班有 40 名同学。其中有名同学。其中有 25 人没参加数学小组,有人没参加数学小组,有 18 人参加航模小组,有人参加航模小组,有 10 人两个小组都参人两个小组都参 加。那么只参加了这两个小组之一的学生
24、共有多少人?加。那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人? 【分析】两个小组都没有参加的有:25 8 17 (人) ; 至少参加一个小组的有:40 1723(人) ; 只参加数学小组的有:23 185(人) ; 只参加这两个小组其中之一的有:5 813 (人) ; 3.在在 1 至至 100 这这 100 个自然数中,既不能被个自然数中,既不能被 2 整除也不能被整除也不能被 3 整除的数有多少个?整除的数有多少个? 【分析】能被 2 整除的数有: 100 50 2 个;能被 3 整除的数有: 100 33 3 个; 既能被 2 整除又能被 3 整除的数有: 100 16 6 个。 所以既不
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