奥数导引小学五年级含详解答案 第10讲:几何计数
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1、第第 10 讲:讲:几何计数几何计数 内容概述内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题;学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类;掌握方 格表中长方形个数的计算方法;注意利用图形的对称性来简化计算。 典型问题典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.如图 10-1,线段ABBCCDDE、的长度都是 3 厘米。请问:图中一共有多少条线段?这些线段的长度 之和是多少厘米? 2.小明把巧克力棒摆成了如图 10-2 所示的形状,其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问: (1)一共有多少个巧克力棒? (2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形? (3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有小箭头的小边)
2、,剩下的图形中还有多少个三角形? 3.如图 10-3,它是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形,基中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形。图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 4.如图 10-4 和 10-5,数一数,两个图形中分别有多少个三角形? 5.如图 10-6,在一个44的方格表中,共有多少个正方形? 6.如图 10-7,数一数图中共有多少线线段?多少个矩形? 7.如图 10-8,ABCDEFMN、互相平行,则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 8.如图 10-9,125 个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体,其中露在表面上的黑色小立方体有 多少
3、个? 9 如图 10-10, 木板上钉着 12 枚钉子, 排成三行四列的长方阵。 用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形? 10.如图 10-11,在23的长方形中,每个小正方形的面积都 1。请问:ABCDEFG、 、 、 、 、 、为顶点且面 积为 1 的三角形共有多少个? 拓展篇拓展篇 1.如图 10-12,数一数,图中有多少个三角形? 2.如图 10-13,数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形。 3.如图 10-14,数一数,图中有多少个三角形? 4.如图 10-15,数一数,图中共有多少个长方形?(正方形是一种特殊的长方形) 5.如图 10-16,四条边长度都相等的四边形称为菱形。
4、用 16 个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形。数一 数,图中共有多少个菱形? 6.如图 10-17,这是一个长为 9,宽为 4 的网格,每一个小格都是一个正方形。请问: (1)从中可以数出多个长方形? (2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个? 7.如图 10-18,数一数,图中共有多少个长方形? F A B E C D 8.如图 10-19,数一数,图中共有多少个平行四边形? 9.如图 10-20,18 个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形。数一数,图中共有多少个梯形? 10.如图 10-21,方格纸上放了 20 枚棋子,以这些棋子为顶点,可以连出多少个正方形? 11.一个平面封闭
5、图形, 只要组成它的边中有一条边不是直线段, 就将这个图形称为曲边形, 例如圆、 半圆、 扇形等都是曲边形。在图 10-22 中,共有多少个不同的曲边形? F E C BD A 12.如图 10-23,一个23的网格中,每个小正方形的面积都是 1。以这些格点为顶点,可以连成多少个面积 为 1 的三角形? 超越篇超越篇 1.图 10-24 是一个等边三角形的点阵。以这些点为顶点,可以画出多少个等腰三角形(包括等边三角形)? 2.如图 10-25,数一数,图中共有多少个三角形? 3.如图 10-26,这是一个48的矩形网格,每一个小格都是一个小正方形。请问: (1)包含有两个“”的矩形共有多少个?
6、 (2)至少包含一个“”的矩形有多少个? 4.如图 10-27, 在图中的3 3正方形格子中, 格线的交点称为格点。 例如:, ,A B C这 3 个点都是格点。 那么, 以格点为顶点,且完全覆盖了阴影部分小方格的三角形共有多少个? 5.如图 10-28,用 12 个点将圆周 12 等分。以这些点为顶点的梯形共有多少个? 6.一个平面封闭图形,只要组成它的边中有一条边不是直线段,就将这个图形称为曲边形,例如圆、半圆、 扇形等都是曲边形。在图 10-29 中,共有多少个不同的曲边形? 7.如图 10-30,木板上钉着 16 枚钉子,排成四行四列的方阵。用橡皮筋一共可以套出多少个不同的等腰三角 形
7、? 8.如图 10-31,在3 3的方格表内,每个小正方形的面积为 1。请问: (1)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 4 的三角形? (2)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 3 的三角形? (3)以格点为顶点共可以连出多少个面积为 1.5 的三角形? 第第 10 讲:讲:几何计数几何计数 内容概述内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题;学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类;掌握方 格表中长方形个数的计算方法;注意利用图形的对称性来简化计算。 典型问题典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.如图 10-1,线段ABBCCDDE、的长度都是 3 厘米。请问:图中一共有多少条线段?这些线
8、段的长度 之和是多少厘米? 【详解】【详解】图中一共有 2 5 10C 条线段。长度之和为4 1 3 22 3 1 4360 厘米。 2.小明把巧克力棒摆成了如图 10-2 所示的形状,其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问: (1)一共有多少个巧克力棒? (2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形? (3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后(图中两端带有小箭头的小边) ,剩下的图形中还有多少个三角形? 【详解】【详解】 (1)一共有 30 个巧克力棒; (2)由 1 个三角形组成的有 16 个三角形,由 4 个三角形组成的有 7 个三角形,由 9 三角形组成的有 3 个三角形,由 16 个三角形组成的
9、三角形有 1 个。所以总共有 1673127 个。 (3)一共有 5 个三角形的边用到了这根巧克力棒,所以剩下的图形中还有 27522个三角形。 3.如图 10-3,它是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形,基中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形。图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个? 【详解】【详解】 只观察包含“*”的各种大小的正三角形。 由 1 个三角形组成的有 1 个, 由 4 个三角形组成的有 4 个, 由 9 个三角形组成的有 1 个。那么总共有1416 个。 4.如图 10-4 和 10-5,数一数,两个图形中分别有多少个三角形? 【详解】【详解】图
10、10-4 中不包含中间的线的有 5 个三角形,加上中间那条线多了 7 个三角形,所以一共5712 个。图 10-5 中先观察形如下图 1 的形状的三角形有 5 个,总共是5420个,再数该形状之间的 交叉的三角形有 4 个,再数下图 2 的三角形有 4 个,再数它们互相交叉的三角形有 4 个,所以总共 有2044432个。 5.如图 10-6,在一个44的方格表中,共有多少个正方形? 【详解】【详解】先数面积为 1 的有 16 个,再数面积为 4 的有 9 个,再数面积为 9 的有 4 个,再数面积为 16 的有 1 个,总共有1694130 个。 6.如图 10-7,数一数图中共有多少线线段
11、?多少个矩形? 【详解】【详解】线段:水平方向有 2 5 440C条线段,竖直方向有 2 4 530C条线段,总共有403070条线段。 矩形:水平方向选两条线,竖直方向选两条线即可以组成矩形共有 22 54 60C C 个矩形。 7.如图 10-8,ABCDEFMN、互相平行,则图中梯形个数与三角形个数的差是多少? 【详解】【详解】梯形的个数为 22 45 60C C 个,三角形的个数为 2 5 440C个,它们的差为 20 个。 8.如图 10-9,125 个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体,其中露在表面上的黑色小立方体有 多少个? 【详解】【详解】 每条棱上都有两个小立方体共
12、 12 条棱, 一共有2 1224个, 每一个面上除了棱有 4 个小立方体, 一共有4624个。总共有242448个。 9 如图 10-10, 木板上钉着 12 枚钉子, 排成三行四列的长方阵。 用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形? 【详解】【详解】从 12 个钉子中选择 3 个钉子组成三角形,一共有 3 12 220C个,但是有 3 个点在同一条直线上的情 况,需要排除,水平方向共有 3 4 312C个,竖直方向有1 44个,斜着有 4 个,这样的话总共有 2201244200个。 10.如图 10-11,在23的长方形中,每个小正方形的面积都 1。请问:ABCDEFG、 、 、 、 、
13、 、为顶点且面 积为 1 的三角形共有多少个? 【详解】【详解】有底为 1,高为 2 的三角形有: ,;,DEADEBEFAEFBFGAFGBABDABEABFABG 底为 2,高为 1 的三角形有:,DFCEGC。此外还有,BCFACG。一共 14 个。 拓展篇拓展篇 1.如图 10-12,数一数,图中有多少个三角形? 【详解】【详解】先数由 1 个三角形组成的三角形一共 25 个,再数由 4 个三角形组成的大三角形一共 13 个,再数 由 9 个三角形组成的大三角形一共 6 个,再数由 16 个三角形组成的大三角形一共 3 个,再数由 25 个 三角形组成的大三角形一共 1 个。所以一共有
14、251363148 个三角形。 2.如图 10-13,数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形。 【详解】【详解】 (1)图中有两个五边形,对于外围的五边形,三角形三个顶点全在外围五边形上的三角形一共有 3 5 10C 个。再看内部的五边形,组成的三角形中其中一个顶点在内部五边形顶点上,另两个顶点在 外围五边形上的三角形一共有4520个。还有 5 个三角形属于有两个顶点在内部五边形上,另一 个顶点在外围五边形上。这样一共有1020535个。 (2)包含少的那一条线段的三角形的个数 一共有 6 个, 这样的话三角形的总数为35629个。 (3) 包含新加线段的三角形左边右边各 6 个, 所以一共
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