奥数导引小学五年级含详解答案 第16讲:构造与论证
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1、第第 16 讲讲 构造论证一构造论证一 内容概述 各种形式的构造问题,解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求,有时应从简单情形入手寻找规律。 本讲的论证问题,一般采用奇偶性或整除性的分析方法。 典型问题 兴趣篇 1.如图 16-1,用1 2和1 3两种规格的小长方形地板砖铺满地面,至少需要地板砖多少块? 2.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线,图 16-2 中一个皇后(图中五角星)就把整个3 3的 棋盘控制了。为了控制一个44的棋盘至少要放几个皇后? 3.图 16-3 的左图为 15 枚硬币组成的三角形,如果仅移动 5 枚硬币,要把这些硬币变成右图的形式,应该怎 样移动?请在图中
2、表示出移动的方法。 4.把 100 个橘子分装在 6 个篮子里,使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6,应该如何装? 5.把正方体的所有棱染成白色或者红色,要求每个面上至少要有一条棱是白色的。请问:最少有多少条棱是 白色的? 6.请在 9,8,3,2,1 的相邻两个数之间填入“+”或者“”(不能改变数的顺序) ,使得结果是 1。能否使 得结果是 0 呢? 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 7.如图 16-5, 能否在三角形的三个顶点各填一个自然数, 使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数?如果 能,请写出一种填法;如果不能,请说明理由。 8.四位同
3、学进行了一次乒乓球单打比赛,当比赛进行了若干场后,体育老师问他们分别比赛了多少场。这四 全同学回答分别比了 1、2、3、3 场。老师说:“你们肯定有人记错了。”请问:老师是怎么知道的呢? 9.有四个算式:+=,-=, =, =。 如果每一个算式中都至少有 1 个偶数和 1 个奇数, 那么 12 个数中一共有多少个偶数?如果没有前面的限制,这 12 个数中最少有多少个偶数?最多有多少个 偶数? 10.有 14 个孩子,依次给他们编号为 1,2,3,14。能否把他们分成三组,使得每组都有一个孩子的编号 是该组其它孩子的编号之和。 拓展篇 1.图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形,如果
4、仅移动 7 枚硬币,要把这些硬币变成右图的形状,应该 怎样移动?请在图中表示出移动的方法。 2.小明买来一个 1500 克的生日蛋糕,他把蛋糕切成了 7 块,使得无论是 3 个人还是 5 个人平分,都不必再 分割蛋糕。这 7 块蛋糕的重量分别是多少? 3.有 4 颗外形完全相同的珍珠,其中 3 颗是真的,另 1 颗是假的,已知假珍珠比真的要轻。请问:用一架没 有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠?如果是 9 颗珍珠里有 1 颗假的呢?请设计出方案。 4.图 16-7 中,左边是一把长为 6 厘米的直尺,其中已标出 2 条刻度线。用它可以一次量出从 1 至 6 厘米中 任意整数厘米的长度。右图
5、为一把长为 9 厘米的直尺,请你在上面只标出 3 条刻度线,使得用这把直尺一 次可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度。 5.请将 8 个 1,8 个 0 填入图 16-8 的 16 个空格中,使得每行、每列的 4 个数之和都是奇数。 6.有一列自然数,其中任意 3 个相连的数之和都不小于 6,而任意 4 个相连的数之和都小于 8。这个数列最 多能有几项? 7.用 7 个相同的数字并且适当使用加、减号,可以计算出 1000,例如1111 1111000。试用 8 个相同的数 字(并且适当使用加号、减号)来计算 1000。 8.有 12 根长木棍,长度分别为 1,2,3,4,12 厘米
6、。 (1)能否用这 12 根小木棍拼成一个长方形,要求木棍上且不能折断或弯曲。 (2)能否用这 12 根小木棍拼成一个正方形,要求木棍上且不能折断或弯曲。 9.(1)请在 1,2,3,19,20 的相邻两个数之间填入“+”或“-”(不能改变数的顺序) ,使得结果是 0。 (2)能否在 1,2,3,,20,21 的相邻两个数之间填入“+”或者“-”(不能改变数的顺序) ,使得结果是 0。 10.有 5 个亮着的灯泡,每个灯泡都由一个开关控制。每次操作可以拉动其中的 2 个开关以改变相应灯泡的 1 00 1 01 010 1 0 1 01 01 亮暗状态。能否经过若干次操作使得 5 个灯泡都变暗?
7、 11.桌上放有 5 张卡片,小悦先在卡片的正面分别写上 1、2、3、4、5,然后冬冬在背面也分别写上 1、2、3、 4、5,写完后计算每张卡片上两数之和,再把 5 个和相乘,问:冬冬能否找到一种写法,使得最后的乘积 是奇数?为什么? 12.将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数。请问:这个新的三位数和原来的三位 数之和能不能等于 999?如果能,请举出例子;如果不能,请说明理由。 超越篇 1.桌上放有 5 枚硬币。第一次翻动其中 1 枚,第二次翻动其中 2 枚,第三次翻动其中 3 枚,第四次翻动其中 4 枚,第五次翻动其中 5 枚。能否找到一种翻动硬币的方法,使得最后所有的
8、硬币都翻过来?如果桌上放有 6 枚硬币,按类似的方法翻动六次,能否找到一种翻动硬币的方法,使得最后所有的硬币都翻过来? 2.甲、乙、丙、丁四个人,每个人都有一条消息。他们之间通过电话传递消息:当甲与乙两个人通话时,甲 把他当时所知道的一切信息全部告诉乙,乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案,使得 只需打电话 4 次,就可以使得每个人都知道其他所有人的信息。 3.天平称物体的原理是:在天平的左右两个托盘中放入物品和砝码,当天平平衡时,我们可以根据砝码的重 量来知道物品的重量。 (1)在某一类天平中,物品只能放在左边的托盘中,砝码只能放在天平右端的托盘中。至少需要准备多少 个砝码,才
9、能保证一次称出 1 至 20 克之间的任意整数克的物品? (2)在某一类天平中,砝码可以放在天平两端的托盘中,物品也可以放在两边的托盘中,那么至少需要准 备多少个砝码,才能保证一次称出 1 至 32 克之间的任意整数克的物品? 4.如图 16-9 所示,18 个孩子站在 24 个方格中,每格最多站 1 人。要使得每行每列站的孩子数都是偶数。请 在图中标出这些孩子的站法(只需给出一种站法即可) 。 5.如图 16-10 所示,有 3 个3 3的方格表,每个都已经填入了 9 个整数。如果将表中同一行或同一列的 3 个 数加上相同的整数称为一次操作。问: (1)下表三个方格表中,是否有某个方格表能通
10、过若干次操作使得表中 9 个表都变为相同的数?若有请指 出是哪个或哪个或哪些表格,若没有则说明理由; (2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样?若有请指出是哪个或哪些表格,若没有则说明 理由。 6.(1)能否将 1、2、3、4、5 围成一个圆圈,使得相邻两个数的差都是 2 或者 3? (2)能否将 1、2、3、4、5、6、7 围成一个圆圈,使得相邻两个数的差都是 2 或者 3? 7.旅店现在有 9 个单人间,10 名旅客可能入住。这 10 名旅客每次有 9 个人同时入住,管理员想事先给每个 人配一些钥匙,使得无论是哪 9 个人入住,总能正好入住这 9 个房间,而且不用找别人借钥匙。
11、请问:最 少需要多少把钥匙? 8.如图 16-11,在五角星图案中共有 10 个节点(用黑色实心圆点表示) ,以这些节点为顶点的三角形共有 10 个。现在将自然数 1 至 10 分别填在 10 个节点上,将每个三角形中三个顶点处所标数和称为此三角形的“特 征值”。请问: (1)是否存在一种填数方法,使得每个三角形的特征值均为偶数; (2)是否存在一种填数方法,使得每个三角形的特征值都能被 3 整除。能则举出例子,不能请说明理由。 第第 16 讲讲 构造论证一构造论证一 内容概述 各种形式的构造问题,解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求,有时应从简单情形入手寻找规律。 本讲的论证问题,一般采
12、用奇偶性或整除性的分析方法。 典型问题 兴趣篇 1.如图 16-1,用1 2和1 3两种规格的小长方形地板砖铺满地面,至少需要地板砖多少块? 分析分析为了让消耗的地砖尽量少,应尽可能多的使用1 3的地砖。 5 8403 1313 1222 因此,至少需要用12214块地板砖。如图: 2.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线,图 16-2 中一个皇后(图中五角星)就把整个3 3的 棋盘控制了。为了控制一个44的棋盘至少要放几个皇后? 分析分析在44的棋盘中,一个皇后最多可以控制 12 个格子,那么 16 个格子至少需要 2 个皇后才能全部 控制住。图中给出了两种全部控制的方法,答案不唯
13、一。 3.图 16-3 的左图为 15 枚硬币组成的三角形,如果仅移动 5 枚硬币,要把这些硬币变成右图的形式,应该怎 样移动?请在图中表示出移动的方法。 分析分析我们可以把两个图叠放在一起进行比对。比对后发现,两图刚好有 5 个硬币不能重合,那么移动 这 5 枚硬币到对应的位置即可。 4.把 100 个橘子分装在 6 个篮子里,使得每个篮子里装的橘子数都含有数字 6,应该如何装? 分析分析要让每个篮子中橘子的个数都含有数字 6,那么只能是 5 个篮子个位带 6,1 个篮子十位带 6。这样 的 6 个数最小是606666690,比 100 刚好差 10。于是有: 60166666100 5.把
14、正方体的所有棱染成白色或者红色,要求每个面上至少要有一条棱是白色的。请问:最少有多少条棱是 白色的? 分析分析每条棱被两个面共用。那么要每个面上都有白色的棱,最少需要623条白色的棱。如图,其中 虚线部分为白色棱。 6.请在 9,8,3,2,1 的相邻两个数之间填入“+”或者“”(不能改变数的顺序) ,使得结果是 1。能否使 得结果是 0 呢? 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 分析分析(1)9876543211 (2)不能。987. 145 ,当把其中的任意号换成号时,算式的奇偶性不变。因此算式结果不 可能为 0 7.如图 16-5, 能否在三角
15、形的三个顶点各填一个自然数, 使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数?如果 能,请写出一种填法;如果不能,请说明理由。 分析分析设 3 个顶点填入的 3 个自然数数分别为, ,a b c,假设,ab ac bc都为奇数,于是 abacbc也为奇数。但是2abacbcabc 是一个偶数,矛盾。因此每条边的两个顶 点上的数之和不可能都是奇数。 8.四位同学进行了一次乒乓球单打比赛,当比赛进行了若干场后,体育老师问他们分别比赛了多少场。这四 全同学回答分别比了 1、2、3、3 场。老师说:“你们肯定有人记错了。”请问:老师是怎么知道的呢? 分析分析每次比赛, 比赛双方各赛了一场。 因此四个人比赛的总
16、场次应该是偶数。 而12339是奇数。 因此肯定有人记错了。 9.有四个算式:+=,-=, =, =。 如果每一个算式中都至少有 1 个偶数和 1 个奇数, 那么 12 个数中一共有多少个偶数?如果没有前面的限制,这 12 个数中最少有多少个偶数?最多有多少个 偶数? 分析分析(1)加减法算式中,有奇数就必有 2 个奇数。乘除法算式中,有偶数就至少有 2 个偶数。因此四 个算式中分别有 1,1,2,2 个偶数,共 6 个偶数。 (2) 加减法算式中最少有 1 个偶数, 最多有 3 个偶数; 乘除法算式中, 最少有 0 个偶数, 最多有 3 个偶数。 因此四个算式中最少有 2 个偶数,最多有 1
17、2 个偶数。 10.有 14 个孩子,依次给他们编号为 1,2,3,14。能否把他们分成三组,使得每组都有一个孩子的编号 是该组其它孩子的编号之和。 分析分析不能 如果可以,我们取每组编号最大的那个孩子,那么这 3 个孩子的编号和,与其他所有孩子的编号和相等。 那么所有孩子的编号和必须是一个偶数。 123. 14105是一个奇数,矛盾。因此不能把他们分成三组,使得每组都有一个孩子的编号是该 组其它孩子的编号之和。 拓展篇 1.图 16-6 中的左图为 21 枚硬币组成的三角形,如果仅移动 7 枚硬币,要把这些硬币变成右图的形状,应该 怎样移动?请在图中表示出移动的方法。 分析分析把两个图形叠放
18、在一起比对, 发现只有 7 枚硬币不能重叠, 那么移动这 7 枚硬币到指定位置即可。 2.小明买来一个 1500 克的生日蛋糕,他把蛋糕切成了 7 块,使得无论是 3 个人还是 5 个人平分,都不必再 分割蛋糕。这 7 块蛋糕的重量分别是多少? 分析分析我们可以先把蛋糕 5 等分,那么每一块蛋糕重 300 克。如果我们要把蛋糕分给 3 个人,每个人应 该拿到 500 克蛋糕。那么我们把其中两块 300 克的蛋糕分成200100克的两块,这样就可以得到 300200,300200,300 100 100三块 500 克的蛋糕。共分了 7 块。 3.有 4 颗外形完全相同的珍珠,其中 3 颗是真的
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