2021年中考数学二轮复习二次函数压轴题分类训练5：与直角三角形相关的综合题（含答案）

《2021年中考数学二轮复习二次函数压轴题分类训练5：与直角三角形相关的综合题（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学二轮复习二次函数压轴题分类训练5：与直角三角形相关的综合题（含答案）（33页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2021 年中考复习二次函数压轴题分类训练年中考复习二次函数压轴题分类训练 5：与直角三角形相关的综合题：与直角三角形相关的综合题 1已知抛物线 l1：yax2+bx+c 的顶点为 M（1，4） 它与 x 轴交于点 A、点 B 两点，其中点 B 的坐标为 （3，0） （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线 l 绕 x 轴上的一个动点旋转 180得新抛物线 l，点 B 和点 M 的对应点分别为点 C 和点 N，当BMN 为直角三角形时，求新抛物线 l的表达式 2如图，抛物线 yx2+bx+c 过点 A（3，0） ，B（1，0） ，交 y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C

2、点沿抛物线向 A 点运动（点 P 不与 A 重合） ，过点 P 作 PDy 轴交直线 AC 于点 D （1）求抛物线的解析式； （2）求点 P 在运动的过程中线段 PD 长度的最大值； （3）APD 能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点 P 坐标；若不能，请说明理由 3如图，直线 yx+n 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B （1）求抛物线的解析式； （2）E（m，0）为 x 轴上一动点，过点 E 作 EDx 轴，交直线 AB 于点 D，交抛物线于点 P，连接 BP 点 E 在线段 OA 上运动，若BPD 直角三角形

3、，求点 E 的坐标； 点 E 在 x 轴的正半轴上运动，若PBD+CBO45请直接写出 m 的值 4如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ， 与 y 轴交于点 C （1）若 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） 求抛物线的解析式； 若点 P 为 x 轴上一点，点 Q 为抛物线上一点，CPQ 是以 CQ 为斜边的等腰直角三角形，求出点 P 的坐标； （2）若直线 ybx+t（tc）与抛物线交于点 M、点 N（点 M 在对称轴左侧） 直线 AM 交 y 轴于点 E， 直线 AN 交 y 轴于点 D试说明点 C 是

4、线段 DE 的中点 5已知直线 l：y1x1，抛物线 c：y2（xh）2+k （1）若 h0，k1，求直线 l 与抛物线 c 的交点坐标； （2）若 k1 时，求当 x（可用含 h 的代数式表示）为何值时，y2y1； （3）若 kh2+1，设直线 l 与 x，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 c 的顶点为 P，当点 A，B，P 三点构成 的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标 6如图，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（4，0） ，C（1，0）两点，与 y 轴交于点 B，P 为第一象限抛物线 上的动点，连接 AB，BC，PA，PC，PC 与 AB 相交于点 Q （1）求抛物线的解析式

5、； （2）设APQ 的面积为 S1，BCQ 的面积为 S2，当 S1S25 时，求点 P 的坐标； （3）是否存在点 P，使PAQ 为直角三角形，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 7如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，且 OBOC直 线 yx+1 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 E，点 Q 是抛物线的顶点，设直线 AD 上方的抛物线 上的动点 P 的横坐标为 m （1）求该抛物线的解析式及顶点 Q 的坐标 （2）连接 CQ，直接写出线段 CQ 与线段 AE 的数量关系和位置关系 （3）连接 PA

6、、PD，当 m 为何值时 SAPDSDAB？ （4）在直线 AD 上是否存在一点 H，使PQH 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由 8如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，B 点坐标为（4，0） ，与 y 轴交于点 C（0，4） 点 D 为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式及 A 点坐标； （2）若BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标； （3）若BCD 是锐角三角形，请写出点 D 的横坐标 m 的取值范围 9如图，过点 A（5，）的抛物线 yax2+bx 的对称轴是 x2，点 B 是抛物线与 x

7、轴的一个交点，点 C 在 y 轴上，点 D 是抛物线的顶点 （1）求 a、b 的值； （2）当BCD 是直角三角形时，求OBC 的面积； （3）设点 P 在直线 OA 下方且在抛物线 yax2+bx 上，点 M、N 在抛物线的对称轴上（点 M 在点 N 的 上方） ，且 MN2，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 OA 于点 Q，当 PQ 最大时，请直接写出四边形 BQMN 的周长最小时点 Q、M、N 的坐标 10如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 A（0，3） 、B（1，0） 、D（2，3） ，抛物线与 x 轴的另一交点为 E点 P 为直线 AE 上方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为

8、 t （1）求抛物线的表达式； （2）当 t 为何值时，PAE 的面积最大？并求出最大面积； （3）是否存在点 P 使PAE 为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 11如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，0） 、C（4，0） ，BCx 轴于点 C，且 ACBC，抛物线 y x2+bx+c 经过 A、B 两点 （1）求抛物线的表达式； （2）点 E 是线段 AB 上一动点（不与 A、B 重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 P，使EFP 是以 EF 为直角边的

9、直角三角形？若存 在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由 12如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，）的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在点 C 的左侧） ，已知 A 点坐标为（0，8） （1）求此抛物线的解析式； （2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线 的对称轴 l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明； （3）连接 AC，在抛物线上是否存在一点 P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，若存在，请直 接写出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 13在平面直角坐标系中，抛物线

10、 ymx22x+n 与 x 轴的两个交点分别为 A（3，0） ，B（1，0） ，C 为顶 点 （1）求 m、n 的值 （2）在 y 轴上是否存在点 D，使得ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标； 若不存在，说明理由 14如图，在平面直角坐标系中，线段 AB 的端点坐标分别为 A（0，6） 、B（6，6） 点 Q 在线段 AB 上， 以 Q 为顶点的抛物线 yx2+bx+c 与 y 轴交于点 D，与 x 轴的一个交点为 C设点 Q 的横坐标为 m， 点 C 的横坐标为 n（nm） （1）当 m0 时，求 n 的值 （2）求线段 AD 的长（用含 m 的式子表示） ；

11、 （3）点 P（2，0）在 x 轴上，设BPD 的面积为 S，求 S 与 m 的关系式； （4）当DCQ 是以 QC 为直角边的直角三角形时，直接写出 m 的值 15在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+4x （1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点” 试求拋物线 yx2+4x 的“方点”的坐标； （2）如图，若将该抛物线向左平移 1 个单位长度，新抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点（A 在 B 左侧） ， 与 y 轴相交于点 C，连接 BC若点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一点，求PBC 的面积的最大值； （3） 第 （2） 问中平移后的抛物线上是否存在点

12、 Q， 使QBC 是以 BC 为直角边的直角三角形？若存在， 直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，说明理由 参考答案参考答案 1解： （1）抛物线 l1：yax2+bx+c 的顶点为 M（1，4） ， 设抛物线 l1解析式为：ya（x1）24，过点 B（3，0） ， 04a4， a1， 抛物线 l1 的解析式为：y（x1）24x22x3； （2）设这个动点为（a，0） ，则点 N（2a1，4） ， 点 M（1，4） ，点 B（3，0） ，点 N（2a1，4） ， MB2（31）2+（0+4）220， BN2（2a13）2+（40）2（2a4）2+16， MN2（2a11）2+（4+

13、4）2（2a2）2+64， 当BMN90时，则 BN2MB2+MN2， 20+（2a2）2+64（2a4）2+16， a7， 点 N（15，4） ， 新抛物线 l的表达式为 y（x+15）2+4， 当BNM90，则 BM2NB2+MN2， 20（2a2）2+64+（2a4）2+16， a23a+100， 940310， 方程无解； 当MBN90，则 BM2+NB2MN2， （2a2）2+64（2a4）2+16+20， a2， 点 N（5，4） ， 新抛物线 l的表达式为 y（x+5）2+4， 综上所述：新抛物线 l的表达式为 y（x+15）2+4 或 y（x+5）2+4 2解： （1）抛物线

14、yx2+bx+c 过点 A（3，0） ，B（1，0） ， ， 解得， 抛物线解析式为 yx24x+3； （2）令 x0，则 y3， 点 C（0，3） ， 则直线 AC 的解析式为 yx+3， 设点 P（x，x24x+3） ， PDy 轴， 点 D（x，x+3） ， PD（x+3）（x24x+3）x2+3x（x）2+， a10， 当 x时，线段 PD 的长度有最大值； （3）APD 是直角时，点 P 与点 B 重合， 此时，点 P（1，0） ， yx24x+3（x2）21， 抛物线的顶点坐标为（2，1） ， A（3，0） ， 点 P 为在抛物线顶点时，PAD45+4590， 此时，点 P（2，1

15、） ， 综上所述，点 P（1，0）或（2，1）时，APD 能构成直角三角形 3解： （1）直线 yx+n 与 x 轴交于点 A（3，0） ， 03+n， n3， 直线解析式为：yx+3， 当 x0 时，y3， 点 B（0，3） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B， ， ， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3； （2）EDx 轴， PEA90， BDPADE90， 设点 E（m，0） ，点 P（m，m2+2m+3） ，则点 D（m，m+3） ， PD2（m2+3m）2，BP2m2+（m2+2m）2，BD2m2+（m+33）22m2， 当PBD90时，BP2+BD2PD2， m2+（m2

16、+2m）2+2m2（m2+3m）2， m1，m0（舍去） 点 E 的坐标为（1，0） ， 当BPD90时，BP2+PD2BD2， m2+（m2+2m）2+（m2+3m）22m2， m0（舍去） ，m3（舍去） ，m2， 点 E 的坐标为（2，0） ， 综上所述：点 E 的坐标为（1，0）或（2，0） ； （3）当点 P 在 x 轴上方时，如图 1，连接 BC，延长 BP 交 x 轴于 N， 点 A（3，0） ，点 B（0，3） ， OAOB3， BAOABO45， 抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A，点 B， 0 x2+2x+3， x13，x21， 点 C（1，0） ， OC1，

17、PBD+CBO45，BAOPBD+BNO45， CBOBNO， 又BOCBON90， BCONBO， ， ， ON9， 点 N（9，0） ， 直线 BN 解析式为：yx+3， x+3x2+2x+3， x10（舍去） ，x2， 点 P 的横坐标为， m； 当点 P 在 x 轴下方时，如图 2，连接 BC，设 BP 与 x 轴交于点 H， PBD+CBO45，OBH+PBD45， CBOOBH， 又OBOB，COBBOH， BOHBOC（ASA） ， OCOH1， 点 H（1，0） ， 直线 BH 解析式为：y3x+3， 3x+3x2+2x+3， x10（舍去） ，x25， 点 P 的横坐标为 5

18、， m5， 综上所述：m5 或 4解： （1）将点 A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx22x3； 当点 P 在 CQ 的右边时，设点 P（m，0） ，如图，过点 Q 作 QSx 轴于点 S， QPS+CPO90，SQP+QPS90， SQPCPO， QSPPOC90，PQPC， PQSCPO（AAS） ， SQOPm，SPOC3， SO3m，则点 Q（m3，m） ， 将点 Q 的坐标代入抛物线表达式得：m（m3）22（m3）3，解得 m， 故点 P 的坐标为（，0）或（，0） 当点 P 在 CQ 的左侧时，同法可得 Q（m+3，m） ， 将点 Q 的坐标代入

19、抛物线表达式得：m（m+3）22（m+3）3，解得 m0 或5， P（0，0）或（5，0） 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（，0）或（，0）或（0，0）或（5，0） （2）设点 A、M、N 的坐标分别为（p，0） 、 （m，am2+bm+c） 、 （n，an2+bn+c） ， 由点 A 的坐标得：当 xp 时，yax2+bx+cap2+bp+c0，即 cap2bp， 联立 yax2+bx+c 和 ybx+t 并整理得：ax2+ct0，则 m+n0， 设直线 MN 的表达式为 ysx+q，则，解得， 即直线 MN 表达式中的 k 值为 am+an+b， 同理直线 AM 表达式中的 k 值为

20、 am+ap+b， 则直线 AM 的表达式为 y（am+ap+b） （xp） ，令 x0，则 yEp（am+ap+b） ， 同理可得 AN 表达式为 y（an+ap+b） （xp） ，令 x0，则 yDp（an+ap+b） ， 则（yD+yE）p（am+an+2ap+2b）p（0+2ap+2b）ap2bpcyC， 故点 C 是线段 DE 的中点 5解： （1）若 h0，k1，则 y2x21 联立两个函数表达式并整理得：x2x0，解得 x0 或 1， 故交点坐标为（0，1）和（1，0） ； （2）联立 y1x1 和 y2（xh）21 并整理得：x2（2h+1）x+h20， 解得 x， 由抛物线的

21、表达式知，抛物线开口向上， 则当 x或 x时，y2y1； （3）由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为 P（h，h2+1） ， 即点 P 在抛物线 yx2+1 上， 如下图，画出过点 A、B、O 的圆和抛物线的图象， 当PAB 为直角时， 从图象看，点 P 的坐标为（0，1） ； 当ABP 为直角时， 从图象看，直线 PB 不可能与 yx2+1 相交，故点 P不存在； 当ABP为直角时， 则 ABOP四点共圆， 则点 P是抛物线与圆的交点， 从图象看，抛物线和圆不可能相交，故点 P不存在， 故点 P 的坐标为（0，1） 6解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（4，0） ，C（1，0）

22、两点， 解得 抛物线的解析式是 yx2+3x+4； （2）设 P（x，y） ，对于抛物线 yx2+3x+4令 x0，则 y4， B（0，4） S1S25， S1S2+5 S1+SAQCS2+SAQC+5，即 SAPCSABC+5 +5 y6 x2+3x+46 解得 x11，x22 点 P 的坐标是（1，6）或（2，6） （3）存在，点 P 的坐标是（3，4）或（，1） 理由： 若AQP90时，即 ABCP 由 A（4，0） ，B（0，4）知，OAOB， OABOBA45 PCA45 设直线 PC 解析式为：yx+t 把 C（1，0）代入，得1+t0 解得 t1 故直线 PC 的解析式为 yx+

23、1 联立， 解得（舍去）或 P（3，4） ； 若APQ90时，APC 是直角三角形， 设 P（m，n） ，则 nm2+3m+4 则由 AP2+CP2AC2，即（m+1）2+n2+（m4）2+n2（4+1）2 整理，得 m23m4+n20 n+n20 解得 n10，n21 当 n0 时，m2+3m+40，即（m4） （m+1）0 解得 m11，m24 当 n1 时，m2+3m+41，即 m23m30， 解得 m1，m2（舍去） 此时点 P 的坐标分别是（1，0） （舍去） ， （4，0） （舍去） ， （，1） 若QAP90时，该种情况不存在 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是（3，4）或（，

24、1） 7解： （1）直线 yx+1 与抛物线交于 A 点，则点 A（1，0） 、点 E（0，1） OBOC，C（0，3） ， 点 B 的坐标为（3，0） ， 故抛物线的表达式为 ya（x+1） （x3）a（x22x3） ， 将点 C 的坐标代入，得3a3， 解得 a1， 抛物线的表达式为 yx2+2x+3， 函数的对称轴为 x1，故点 Q 的坐标为（1，4） （2）CQAE，且 CQAE，理由： Q（1，4） ，C（0，3） ， CQ， CQ 的解析式为 yx+3， 又AE，直线 AE 的解析式为 yx+1， CQAE，CQAE， （3）， ， 点 D 的坐标为（2，3） 如图 1，过点 P

25、作 y 轴的平行线，交 AD 于点 K， 设点 P（m，m2+2m+3） ，则点 K（m，m+1） SPAD43 解得 m0 或 1 （4）存在，点 P 的坐标为（0，3）或 设点 H（t，t+1） ，点 P（m，n） ，nm2+2m+3，而点 Q（1，4） ， 当QPH90时， 如图 2， 过点 P 作 y 轴的平行线， 过点 H、 点 Q 作 x 轴的平行线， 交过点 P 且平行于 y 轴的直线于点 M、 G， GQP+QPG90，QPG+HPM90， HPMGQP，PGQHMP90，PHPQ， PGQHMP（AAS） ， PGMH，GQPM， 即 4n|tm|，|1m|n（t+1）|，

26、解得 m2 或 n3 当 n3 时，3m2+2m+3，解得 m10，m22（舍去） ， 点 P（0，3） 当PQH90时，不合题意 当PHQ90时，如图 3， 同理可得 n2， 解得 m11+（舍去） ，m21 故点 P（1，2） 综上可得，点 P 的坐标为（0，3）或（1，2） 8 （1）解：将 B（4，0） ，C（0，4）代入 yx2+bx+c 得 解得 所以抛物的解析式为 yx25x+4 令 y0，得 x25x+40，解得 x11，x24 A 点的坐标为（1，0） （2）解：设 D 点横坐标为 a，则纵坐标为 a25a+4 当BCD90时，如下图所示， 连结 BC，过 C 点作 CDBC

27、 与抛物 交于点 D，过 D 作 DEy 轴于点 E， 由 B、C 坐标可知，OBOC4 OBC 为等腰直角三角形， OCBOBC45 又BCD90， ECD+OCB90 ECD45， CDE 为等腰直角三角形， DECEa OEOC+CEa+4 由 D、E 织坐标相等，可得 a25a+4a+4 解得 a16，a20， 当 a0 时，D 点坐标为（0，4） ，与 C 重含，不符含思意，舍去 当 a6 时，D 点坐标为（6，10） 当CBD90时，如下图所示， 连按 BC，过 B 点作 BDBC 与抛物线 交于点 D，过 B 作 FGx 轴，再过 C 作 CFFG 于 F，过 D 作 DGFG

28、于 G COBOBFBFC90， 四边形 OBFC 为形， 又OCOB， 四边形 OBFC 为正方形， CBF45 CBD90， CBF+DBG90 DBG45， DBG 为等腰直角三角形， DGBG D 点横坐标为 a DG4a 而 BG（a25a+4） （a25a+4）4a 解得 a12，a24 当 a4 时，D 点坐标为（4，0） ，与 B 重含，不符含题意，舍去 当 a2 时，D 点坐标为（2，2） 上所述，D 点坐标为（6，10）或（2，2） （3）当 BC 为斜边构成 RtBCD 时，如下图所示， 以 BC 中点 O为圆心，以 BC 为直径画圆，与物线交于 D 和 D BC 为 O

29、的直径 BDCBDC90 D 到 O的距离为 O的半径 D 点横坐标为 m，纵坐标为 m25m+4，O坐标为（2，2） ， 由图象易得 m0 或 4 为方程的解，则方程方边必有因式 m（m 一 4） 采用因式分解法进行降次解方程 m（m4） （m26m+6）0 m0 或 m40 或 m26m+60 ，解得当 m0 时，D 点坐标为（0，4） ，与 C 点重合，舍去； 当 m4 时，D 点坐标为（4，0） ，与 B 点重合，舍去； 当时，D 点横坐标 当时，D 点横坐标为 结合（2）中BCD 形成直角三角形的情况， 可得BCD 为锐角三角形时，D 点横坐标 m 的取值范围为或 9解： （1）过点

30、的抛物线 yax2+bx 的对称轴是 x2， 解之，得； （2）设点 C 的坐标是（0，m） 由（1）可得抛物线， 抛物线的顶点 D 的坐标是（2，3） ，点 B 的坐标是（4，0） 当CBD90时，有 BC2+BD2CD2 ， 解之，得， ； 当CDB90时，有 CD2+BD2BC2 ， 解之，得， ； 当BCD90时，有 CD2+BC2BD2 ，此方程无解 综上所述，当BDC 为直角三角形时，OBC 的面积是或； （3）设直线 ykx 过点，可得直线 由（1）可得抛物线， ， 当时，PQ 最大，此时 Q 点坐标是 PQ 最大时，线段 BQ 为定长 MN2， 要使四边形 BQMN 的周长最小

31、，只需 QM+BN 最小 将点 Q 向下平移 2 个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点 ，直线 BQ2与对称轴的交点就是符合条件的点 N，此时四边形 BQMN 的周长最小 设直线 ycx+d 过点和点 B（4，0） ， 则 解之，得 直线过点 Q2和点 B 解方程组得 点 N 的坐标为，点 M 的坐标为， 所以点 Q、M、N 的坐标分别为， 10解： （1）由题意得：， 解得：， 抛物线解析式为 yx2+2x+3； （2）A（0，3） ，D（2，3） ， 抛物线对称轴为 x1， E（3，0） ， 设直线 AE 的解析式为 ykx+3， 3k+30，解得，k1， 直线 AE 的解析式

32、为 yx+3， 如图 1，作 PMy 轴，交直线 AE 于点 M，设 P（t，t2+2t+3） ，M（t，t+3） ， PMt2+2t+3+t3t2+3t， ， t时，PAE 的面积最大，最大值是 （3）由图可知PEA90， 只能有PAE90或APE90， 当PAE90时，如图 2，作 PGy 轴， OAOE， OAEOEA45， PAGAPG45， PGAG， tt2+2t+33，即t2+t0，解得 t1 或 t0（舍去） ， 当APE90时，如图 3，作 PKx 轴，AQPK， 则 PKt2+2t+3，AQt，KE3t，PQt2+2t+33t2+2t， APQ+KPEAPQ+PAQ90，

33、PAQKPE，且PKEPQA， PKEAQP， ， ， 即 t2t10，解得：t或 t0（舍去） ， 综上可知存在满足条件的点 P，t 的值为 1 或 11解：A（1，0） 、C（4，0） ， OA1，OC4， AC5， BCx 轴于点 C，且 ACBC， B（4，5） ， 将点 A 和点 B 的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b2，c3 抛物线的解析式为 yx22x3 （2）直线 AB 经过点 A（1，0） ，B（4，5） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ，解得：， 直线 AB 的解析式为：yx+1， 二次函数 yx22x3， 设点 E（t，t+1） ，则 F（t，t22t3）

34、 ， EF（t+1）（t22t3）（t）， 当 t时，EF 的最大值为， 点 E 的坐标为（） （3）存在，分两种情况考虑： （）过点 E 作 aEF 交抛物线于点 P，设点 P（m，m22m3） ， m22m3， ， ， （）过点 F 作 bEF 交抛物线于 P3，设 P3（n，n22n3） ， 则有：n22n3， （舍去） ， ， 综上所述，使EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形所有点 P 的坐标为：P1， ， 12解： （1）设抛物线为 ya（x11）2， 抛物线经过点 A（0，8） ， 8a（011）2， 解得 a， 抛物线为 y； （2）设C 与 BD 相切于点 E，连接 CE，

35、则BECAOB90 y0 时，x116，x26 A（0，8） 、B（6，0） 、C（16，0） ， OA8，OB6，OC16，BC10； AB10， ABBC ABBD， ABCEBC+90OAB+90， EBCOAB， ， OABEBC（AAS） ， OBEC6 设抛物线对称轴交 x 轴于 F x11， F（11，0） ， CF161156， 对称轴 l 与C 相交； （3）由点 A、C 的坐标得：直线 AC 的表达式为：yx+8， 当ACP90时， 则直线 CP 的表达式为：y2x32， 联立直线和抛物线方程得， 解得：x30 或 16（舍去） ， 故点 P（30，28） ； 当CAP90

36、时， 同理可得：点 P（46，100） ， 综上，点 P（30，28）或（46，100） ； 13解： （1）把 A（3，0） ，B（1，0）代入 ymx22x+n 得， 解得：； 故 m 的值为1，n 的值为 3； （2）存在， 理由：过 C 作 CEy 轴于 E， 抛物线的解析式为 yx22x+3， y（x+1）2+4， C（1，4） ， CE1，OE4， 设 D（0，a） ， 则 ODa，DE4a， ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形， CDE+ADO90， CDEDAO， CDEDAO， ， ， a11，a23， 点 D 的坐标为（0，1）或（0，3） 14解： （1）当 m0 时

37、，点 Q 坐标为（0，6） ， 抛物线表达式为 yax2+6 根据题意可知， 抛物线表达式为 当 y0 时， 解得 x3 由题意 nm， n3； （2）点 Q 坐标为（m，6） ， 抛物线表达式为 当 x0 时， 点 D 坐标为（0，） ， 点 A 坐标为（0，6） ， AD为； （3）如图 1，延长 BP 交 y 轴于点 M， OPAB， MOPMAB， AO6， OM3，AM9 当 ADAM，即 0m时， Sm2+18 当 ADAM，即时， Sm218 综上，S 与 m 的关系式为 S （4）如图 2，过点 Q 作 QHOC， 点 Q 坐标为（m，6） ， 抛物线表达式为 当 x0 时，

38、点 D 坐标为（0，） ODm26， 当 y0 时，0（xm）2+6， x13+m，x23+m， 点 C（3+m，0） OC3+m，CH3， OCD90， OCQ+OCD90，且OCQ+CQH90， CQHDCO，且QHCCOD90， CQHDCO， ， ， m13（不合题意舍去） ，m2， 如图 3，过点 Q 作 QHOC， 同理可证ADQHCQ， m10（不合题意舍去） ，m2， 综上所述：当 m或时，DCQ 是以 QC 为直角边的直角三角形 15解： （1）由题意得：xy， x2+4xx， 解得，x10，x23， 抛物线的方点坐标是（0，0） ， （3，3） ； （2）如图 1，过 P

39、点作 y 轴的平行线交 BC 于点 D， yx2+4x（x2）2+4， 向左平移 1 个单位长度后抛物线的表达式为 y（x1）2+4x2+2x+3， 在 yx2+2x+3 中， 当 x0 时，y3；当 y0 时，x11，x23， C（0，3） ，A（1，0） ，B（3，0） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+3， 将点 B（3，0）代入， 得，k1， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 设 P（m，m2+2m+3） ，则 D（m，m+3） ， PDm2+2m+3（m+3）m2+3m（0m3） ， （0m3） ， 当时，PBC 的面积最大，最大值为； （3）存在，理由如下： C（0，3） ，

40、B（3，0） ， OBOC3， OBC 为等腰直角三角形， CBO45， 当点 B 为直角顶点时，如图 2，过点 B 作直线 BC 的垂线，交 y 轴于点 M，交抛物线于点 Q， 则OBM45， OBM 为等腰直角三角形， OBOM3， M（0，3） ， 设直线 BM 的解析式为 ykx3， 将点 B（3，0）代入， 得，k1， 直线 BM 的解析式为 yx3， 联立，得， 解得，x12，x23（舍弃） ， Q1（2，5） ； 当点 C 为直角顶点时，如图 2，过点 C 作直线 BC 的垂线，交抛物线于点 Q， 则 QCBM， 则直线 QC 的解析式为 yx+3， 联立，得， 解得，x10，x21， Q2（1，4） ， 综上所述，点 Q 的坐标为（2，5）或（1，4）