2021年中考数学二轮复习二次函数压轴题分类训练4:与等腰三角形相关的综合题(含答案)
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1、2021 年中考复习二次函数压轴题分类训练年中考复习二次函数压轴题分类训练 4:与等腰三角形相关的综合题:与等腰三角形相关的综合题 1如图,关于 x 的二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(1,0)和点 B,与 y 轴交于点 C(0,3) , 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D (1)求二次函数的解析式 (2)有一个点 M 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动,另一个点 N 从点 D 与点 M 同时出发,以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点 M 到达点 B 时,点 M、N 同时停止运 动,问点 M、N 运动到何处时,MNB 面积最
2、大,试求出最大面积 (3)在 y 轴上是否存在一点 P,使PBC 为等腰三角形?若存在,请直接写出点 P 的坐标,若不存在请 说明理由 2如图,抛物线 ya(x)2+h 经过点 A(1,0) ,C(0,3) (1)求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标; (2)如图,在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使得四边形 PAOC 的周长最小?若存在,求出此时 P 点坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图,点 Q 是 OB 上一动点,连接 BC,在线段 BC 上是否存在这样的点 M,使CQM 为等腰 三角形且BQM 是直角三角形?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 3已知直线与 x
3、轴交于点 A,与 y 轴交于点 C,二次函数 yax2+bx+c 的图象经过 A、B、C 三点,且 B(2,0) (1)求二次函数的解析式; (2)如图 1,点 P 为直线 AC 上方抛物线上一动点,连接 PA,PC,求四边形 PAOC 面积的最大值,并 求此时点 P 的坐标; (3)如图 2,将OBC 绕着点 O 顺时针旋转 60得OBC,点 G 是 AC 中点,点 H 为直线 OC 上一动点,当GHB为等腰三角形时,直接写出对应的点 H 的坐标 4如图,已知抛物线 yax2+bx3,与 x 轴交于 A(1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴的交于点 C点 P 是线段 BC 上一动点,过点
4、 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 D (1)求抛物线的表达式; (2)连接 CD、DB当BDC 的面积最大时,求BDC 面积的最大值以及此时点 P 的坐标? (3)是否存在点 P,使得PCD 是等腰三角形,若存在,求出 P 点的坐标若不存在,说明理由 5如图,抛物线 yax2x+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交 C 点,点 A 的坐标为(2,0) ,点 C 的 坐标为(0,3) (1)求抛物线的解析式; (2)M 是线段 AB 上的任意一点,当MBC 为等腰三角形时,求 M 点的坐标 6 二次函数y (m1)6x+9的图象与x轴交于点A和点B, 以AB为边在x轴下方作正方形AB
5、CD, 点 P 是 x 轴上一动点,连接 DP,过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E (1)求出 m 的值并求出点 A、点 B 的坐标 (2)当点 P 在线段 AO(点 P 不与 A、O 重合)上运动至何处时,线段 OE 的长有最大值,求出这个最 大值; (3)是否存在这样的点 P,使PED 是等腰三角形?若存在,请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方 形 ABCD 重叠部分的面积;若不存在,请说明理由 7如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx+3 经过点 A(1,0) ,B(3,0) ,与 y 轴交于点 C,直 线 yx+2 与 y 轴交于点 D,交抛物线于 E,F 两
6、点,点 P 为线段 EF 上一个动点(与 E,F 不重合) ,PQ y 轴与抛物线交于点 Q (1)求抛物线的解析式; (2)当 P 在什么位置时,四边形 PDCQ 为平行四边形?求出此时点 P 的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 M,使MAC 为等腰三角形?若存在,请直接写出点 M 的坐标; 若不存在,请说明理由 8如图,二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于点 A(1,0) 、B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3) ,D 为抛物线的顶点 (1)求此二次函数的表达式; (2)求CDB 的面积 (3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 P,使PDC 是等
7、腰三角形?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 9如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于原点 O 和点 B(4,0) ,点 A(3, m)在抛物线上 (1)求抛物线的表达式,并写出它的对称轴; (2)若点 P 为线段 OA 上方抛物线上的一点,过点 P 作 x 轴的垂线,交 OA 于点 Q,求线段 PQ 长度的 最大值 (3)求 tanOAB 的值 (4)在抛物线的对称轴上是否存在一点 N,使得BAN 为以 AB 为腰的等腰三角形,若不存在,请说明 理由,若存在,请直接写出点 N 的坐标 10如图,抛物线 yax2+bx+4 交 x 轴
8、于 A(3,0) ,B(4,0)两点,与 y 轴交于点 C,连接 AC,BC点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点,点 P 的横坐标为 m,过点 P 作 PMx 轴,垂足为点 M,PM 交 BC 于点 Q (1)求此抛物线的表达式: (2)过点 P 作 PNBC,垂足为点 N,请用含 m 的代数式表示线段 PN 的长,并求出当 m 为何值时 PN 有最大值,最大值是多少? (3) 试探究点 P 在运动过程中, 是否存在这样的点 Q, 使得以 A, C, Q 为顶点的三角形是等腰三角形 若 存在,请求出此时点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由 11如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yx2+2x+
9、3 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴 交于点 C,过点 C 作 CDy 轴,交抛物线于点 D,连结 AD (1)点 P 为线段 AD 上方抛物线上的一动点,点 E 是线段 AD 上一动点,连结 PA,PD,PE,当PAD 面积最大时,求 PE+AE 的最小值; (2)在(1)中,PE+AE 取得最小值时,过点 E 作 EFx 轴,垂足为点 F,将AEF 绕点 F 顺时针 旋转 90后得到AEF,点 A、E 的对应点分别为 A、E,在直线 AD 上是否存在一点 Q,使得 DEQ 为等腰三角形?若存在,直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 12已知:二次
10、函数 yx22mxm2+4m2 的对称轴为 l,抛物线与 y 轴交于点 C,顶点为 D (1)判断抛物线与 x 轴的交点情况; (2)如图 1,当 m1 时,点 P 为第一象限内抛物线上一点,且PCD 是以 PD 为腰的等腰三角形,求 点 P 的坐标; (3)如图 2,直线 ymx 和抛物线交于点 A、B 两点,与 l 交于点 M,且 MOMB,点 Q(x0,y0) 在抛物线上,当 m1 时,h+12my026my0时,求 h 的最大值 13如图,二次函数 yax2+x+c 的图象交 x 轴于 A,B(4,0)两点,交 y 轴于点 C(0,2) (1)求二次函数的解析式; (2)点 P 为第一
11、象限抛物线上一个动点,PMx 轴于点 M交直线 BC 于点 Q,过点 C 作 CNPM 于 点 N连接 PC; 若PCQ 为以 CQ 为腰的等腰三角形,求点 P 的横坐标; 点 G 为点 N 关于 PC 的对称点,当点 G 落在坐标轴上时,直接写出点 P 的坐标 14如图,已知抛物线 ya(x+6) (x2)过点 C(0,2) ,交 x 轴于点 A 和点 B(点 A 在点 B 的左侧) , 抛物线的顶点为 D,对称轴 DE 交 x 轴于点 E,连接 EC (1)直接写出 a 的值,点 A 的坐标和抛物线对称轴的表达式; (2)若点 M 是抛物线对称轴 DE 上的点,当MCE 是等腰三角形时,求
12、点 M 的坐标; (3)点 P 是抛物线上的动点,连接 PC,PE,将PCE 沿 CE 所在的直线对折,点 P 落在坐标平面内的 点 P处求当点 P恰好落在直线 AD 上时点 P 的横坐标 参考答案参考答案 1解: (1)把 A(1,0)和 C(0,3)代入 yx2+bx+c, , 解得:, 二次函数的表达式为:yx24x+3; (2)如图 1,设 A 运动时间为 t,由 AB2,得 BM2t,则 DN2t, SMNB(2t)2tt2+2t(t1)2+1, 即当 M(2,0) 、N(2,2)或(2,2)时MNB 面积最大,最大面积是 1; (3)令 y0,则 x24x+30, 解得:x1 或
13、x3, B(3,0) , BC3, 点 P 在 y 轴上,当PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图 2, 当 CPCB 时,PC3, OPOC+PC3+3或 OPPCOC33 P1(0,3+3) ,P2(0,33) ; 当 BPBC 时,OPOB3, P3(0,3) ; 当 PBPC 时, OCOB3, 此时 P 与 O 重合, P4(0,0) ; 综上所述,点 P 的坐标为: (0,3+3)或(0,33)或(0,3)或(0,0) 2解: (1)由抛物线表达式知,函数的对称轴为 x, 而点 A(1,0) , 根据点的对称性,则 xB1+2(1)4, 故点 B 的坐标为(4,0) ; (
14、2)存在,理由: 抛物线经过点 A(1,0) ,B(4,0) , A、B 关于对称轴对称,如图 1,连接 BC, BC 与对称轴的交点即为所求的点 P,此时 PA+PCBC, 四边形 PAOC 的周长最小值为:OC+OA+BC, A(1,0) ,B(4,0) ,C(0,3) , 设直线 BC 解析式为 ykx+n,把 B、C 两点坐标代入可得,解得, 直线 BC 的解析式为 yx+3, 由抛物线的表达式知,抛物线的对称轴为 x, 当 x时,yx+3, 故点 P 的坐标为(,) ; (3)存在,理由: 当BQM90时,如图 2, M 在线段 BC 上 设 M(m,m+3) , CMQ90, 只能
15、 CMMQm+3, MQy 轴, MQBCOB,则,即, 解得:m, M(,) ; 当QMB90时,如图 3, CMQ90, 只能 CMMQ, 设 CMMQm, BM5m, BMQCOB90,MBQOBC, BMQBOC,则,即, 解得 mCM, 过点 M 作 MNOB 交 y 轴于点 N, ,即, MN, BC 的解析式为 yx+3, 当 x时,则 yx+3, M(,) 综上,在线段 BC 上存在这样的点 M,使CQM 为等腰三角形且BQM 为直角三角形,点 M 的坐标为 (,)或(,) 3解: (1)对于,令0,解得 x6,令 x0,则 y2, 故点 A、C 的坐标分别为(6,0) , (
16、0,2) , 设抛物线的表达式为 ya(xx1) (xx2)a(x+6) (x2) , 将点 C 的坐标代入上式并解得 a, 故抛物线的表达式为 y(x+6) (x2)x2x+2; (2)过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 F, 设点 P(x,x2x+2) ,则点 F(x,x+2) , 设四边形 PAOC 面积为 S,则 SSACO+SACPSACO+SPFA+SPFC62+6(x2 x+2x2)x23x+6, 0, 故 S 有最大值, 当 x3 时,S 的最大值为, 则点 P(3,) ; (3)A(6,0) ,C(0,2) ,点 G 是 AC 中点, G(3,) ,AOC60, 由题
17、意得COC60, ACOC, 直线 OC的解析式为 yx, 设 H(m,m) , BOB60,B(2,0) , 点 B(1,) , 当GHB为等腰三角形时, 若 GHGB,则(m+3)2+3(1m)242+(2)2,解得 m, 故点 H 的坐标为(,)或(,) ; 若 HBGH,则(m1)2+3(1+m)2(m+3)2+3(1m)2, 解得:m2, 点 H(2,) , 若 HBGB,则(m1)2+3(1+m)242+(2)2,解得 m3, 故点 H 的坐标为(3,)或(3,) , 综合以上可得点 H 的坐标为(,)或(,)或(2,)或 (3,)或(3,) 4解: (1)设抛物线的表达式为 ya
18、(x1) (x+3)a(x2+2x3) , 即3a3,解得 a1, 故抛物线的表达式为 yx2+2x3; (2)由抛物线的表达式知,点 C(0,3) , 设直线 BC 的表达式为 ykx+t,则,解得, 故直线 BC 的表达式为 yx3, 设点 P(x,x3) ,则点 D(x,x2+2x3) , 则 PDx3x22x+3x23x, 则BDC 的面积SPDB+SPDCPCOB3(x23x)x2x, 0,故BDC 的面积有最大值, 当 x时,BDC 的面积的最大值为,此时点 P(,) ; (3)存在,理由: 由(1)知,设点 P(x,x3) ,则点 D(x,x2+2x3) ,则 PDx3x22x+
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