湖南省长沙市雨花区2020-2021学年中考数学最后押题试卷（含答案详解）

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1、2020 年湖南省长沙市雨花区中考数学最后押题试卷年湖南省长沙市雨花区中考数学最后押题试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1下列各数中，正数是（ ） A2 B0 C D 2湖南铁路“五纵五横”的干线网、以长沙为中心的“一环八射”快速网将在 2020 年初步完成，届时长 沙铁路总 里程将达到 6800 公里左右，数据 6800 用科学记数法表示为（ ） A0.68104 B6.8103 C68102 D680101 3如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（ ） A传 B统 C文 D化 4甲、乙、丙、丁

2、四位同学五次数学测验成绩统计如表如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态 稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方 差 42 42 54 59 A甲 B乙 C丙 D丁 5下列命题是真命题的是（ ） A对角线相等的平行四边形是矩形 B菱形的对角线相等 C四边都相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直的平行四边形是正方形 6如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（ ） A1 B C D 7如图，O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC若A60，ADC90，则C 的 度数是（ ） A25 B

3、27.5 C30 D35 8某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P（kPa）是气体体积 V（m3）的反 比例函数，其图象如图所示当气球内的气压大于 120kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积 应（ ） A不小于m3 B小于m3 C不小于m3 D小于m3 9已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2（5m6）x+m20 的两个不相等的实根，且满足 x1+x2m2， 则 m 的值是（ ） A2 B3 C2 或 3 D2 或3 10已知二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ，交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C则

4、：b2； 该二次函数图象与 y 轴交于负半轴； 存在这样一个 a，使得 M、A、C 三点在同一条直线上； 若 a1，则 OAOBOC2以上说法正确的有（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分）分） 11式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12一个正多边形的每个内角等于 108，则它的边数是 13从某玉米种子中抽取 6 批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.745 0.8

5、15 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到 0.1） 14如图，BD 是ABC 的平分线，P 为 BD 上的一点，PEBA 于点 E，PE4cm，则点 P 到边 BC 的距离 为 cm 15 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E 是 BC 上一点， BFAE 交 DC 于点 F， 若 AB5， BE2， 则 AF 16将点 P（2，3）向右平移 2 个单位得到点 P1，点 P2与点 P1关于 x 轴对称，则 P2的坐标是 17某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡 AB 的坡度是 1：，堤坝高 BC50m，则 AB m 18如图，在 Rt

6、ABC 中，A90，ABAC8，点 E 为 AC 的中点，点 F 在底边 BC 上，且 FE BE，则CEF 的面积是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： （） 2（2019）02sin45+| 1| 20 （6 分）解不等式组： 21 （8 分）达州市图书馆今年 4 月 23 日开放以来，受到市民的广泛关注.5 月底，八年级（1）班学生小颖 对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表 八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表 去图书馆的次数 0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及以上

7、人数 8 12 a 10 4 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：a ，b ； （2）求扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，谈谈对新图书馆的印象和感受求恰好抽中去过“4 次及以上”的同学的概率 22 （8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，BDAD，A45，E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 BE DF，连接 EF 交 BD 于 O （1）求证：BODO； （2）若 EFAB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG1 时，求 AE 的长 23 （9 分）马上开学，益文超市王老板购进了一批笔和作业本，已

8、知每本作业本的进价比每个笔的进价少 10 元，且用 480 元购进作业本的数目是用同样金额购进笔的支数的 6 倍 （1）求每支笔和每个作业本的进价分别是多少元？ （2）由于销售火爆，第一批销售完了以后，该商店用相同的价格再购进 300 本作业本和 200 支笔，已知 作业本 售价为 6 元一本，笔售价为 24 元一支，销售一段时间后，作业本卖出了总数的，笔售出了总数的， 为了清仓，该店老板对剩下的笔和作业本以相同的折扣数进行打折销售，并很快全部售出求商店最低 打几折可以使得第二次购进的这批作业本和笔的总利润率不低于 90%？ 24 （9 分）如图，AB 是O 的直径，点 P 在O 上，且 PA

9、PB，点 M 是O 外一点，MB 与O 相切于 点 B，连接 OM，过点 A 作 ACOM 交O 于点 C，连接 BC 交 OM 于点 D （1）求证：ODAC； （2）求证：MC 是O 的切线； （3）若 MD8，BC12，连接 PC，求 PC 的长 25 （10 分）定义：点 P（a，b）关于原点的对称点为 P，以 PP为边作等边PPC，则称点 C 为 P的“等 边对称点” （1）若 P（1，） ，求点 P 的“等边对称点”的坐标； （2）平面内有一点 P（1，2） ，若它其中的一个“等边对称点”C 在第四象限时，请求此 C 点的坐标； （3）若 P 点是双曲线 y（x0）上一动点，当点

10、P 的“等边对称点”点 C 在第四象限时 如图（1） ，请问点 C 是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是， 请说明理由； 如图（2） ，已知点 A（1，2） ，B（2，1） ，点 G 是线段 AB 上的动点，点 F 在 y 轴上，若以 A、G、F、 C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 C 的纵坐标 yC的取值范围 26 （10 分）已知抛物线 yax23amx4am2（a0，m0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左边） ，与 y 轴交于 C 点，顶点为 P，OC2AO （1）求 a 与 m 满足的关系式； （2）直线 ADBC，与抛

11、物线交于另一点 D，ADP 的面积为，求 a 的值； （3）在（2）的条件下，过（1，1）的直线与抛物线交于 M、N 两点，分别过 M、N 且与抛物线仅有 一个公共点的两条直线交于点 G，求 OG 长的最小值 2020 年湖南省长沙市雨花区中考数学最后押题试卷年湖南省长沙市雨花区中考数学最后押题试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1下列各数中，正数是（ ） A2 B0 C D 【分析】根据正数的意义即可判断 【解答】解：A、2 是负数，故本选项错误； B、0 既不是正数，也不是负数，故本选项错误； C、|

12、，是正数，故本选项正确； D、 是负数，故本选项错误 故选：C 2湖南铁路“五纵五横”的干线网、以长沙为中心的“一环八射”快速网将在 2020 年初步完成，届时长 沙铁路总 里程将达到 6800 公里左右，数据 6800 用科学记数法表示为（ ） A0.68104 B6.8103 C68102 D680101 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：68006.8103， 故选：B

13、 3如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（ ） A传 B统 C文 D化 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“扬”与“统”相对，面“弘”与面 “文”相对， “传”与面“化”相对 故选：C 4甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态 稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方 差 42 42 54 59 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】此题有两个要求：成绩较好，状态稳定于是应选平均数大、方

14、差小的同学参赛 【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙 故选：B 5下列命题是真命题的是（ ） A对角线相等的平行四边形是矩形 B菱形的对角线相等 C四边都相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【分析】根据矩形的判定定理、菱形的性质定理、正方形的判定定理判断即可 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A 是真命题； B、菱形的对角线互相垂直，B 是假命题； C、四边都相等的平行四边形是矩形，C 是假命题； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D 是假命题； 故选：A 6如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（

15、） A1 B C D 【分析】由平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，可知ADE 与ABC 相似，且面积 比为，则相似比为，的值为 【解答】解：DEBC， ADEABC， DE 把ABC 分成面积相等的两部分， SADES四边形DBCE， ， ， 故选：C 7如图，O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC若A60，ADC90，则C 的 度数是（ ） A25 B27.5 C30 D35 【分析】 由ADCA+B， A60， ADC90， 推出B30， 两点AOC2B60， 再根据ADCAOC+C，即可求出C 【解答】解：ADCA+B，A60，ADC90

16、， B30， AOC2B60， ADCAOC+C， C906030， 故选：C 8某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P（kPa）是气体体积 V（m3）的反 比例函数，其图象如图所示当气球内的气压大于 120kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积 应（ ） A不小于m3 B小于m3 C不小于m3 D小于m3 【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压 P（kPa）是气体体积 V（m3）的反比例函数，且 过点（1.6，60）故 PV96；故当 P120，可判断 V 【解答】解：设球内气体的气压 P（kPa）和气体体积 V（m3）的关系式为 P， 图象过点（

17、1.6，60） k96 即 P在第一象限内，P 随 V 的增大而减小， 当 P120 时，V 故选：C 9已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2（5m6）x+m20 的两个不相等的实根，且满足 x1+x2m2， 则 m 的值是（ ） A2 B3 C2 或 3 D2 或3 【分析】根据根与系数的关系和根的判别式得出 x1+x25m6，（5m6）24m20，解之求 出 m 的取值范围，再结合 x1+x2m2列出关于 m 的方程，解之可得答案 【解答】解：x1，x2是关于 x 的一元二次方程 x2（5m6）x+m20 的两个不相等的实根， x1+x25m6，（5m6）24m20， 解得 m

18、或 m2， x1+x2m2， 5m6m2， 解得 m2（舍）或 m3， 故选：B 10已知二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ，交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C则：b2； 该二次函数图象与 y 轴交于负半轴； 存在这样一个 a，使得 M、A、C 三点在同一条直线上； 若 a1，则 OAOBOC2以上说法正确的有（ ） A B C D 【分析】根据二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ，代入可得 a、b、 c 的关系，然后通过变形可以得到 b 的值，即可判断是否正确； 根据二次函数 yax2+bx+c（a0

19、）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ，代入可得 a、b、c 的关系， 通过变形可以得到 a、c 的关系，由 a0，即可判断 c 的正负，从而可以判断是否正确； 求出过点 M、C 的直线解析式，然后令 y0，求出相应的 x 的值，然后将 x 的值代入二次函数的解析 式，看是否有 a 的值使得二次函数的值等于 0，注意 a 的值必须大于 0，从而可以判断是否正确； 根据 a 的值可以得到二次函数的解析式，从而可以推出结论是否正确 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c（a0）经过点 M（1，2）和点 N（1，2） ， ，得 2b4， 解得 b2，故b2 正确； +，得 2（a+c）0， a

20、+c0， a0， ca0，故正确； 设过点 M（1，2） ，点 C（0，c）的直线的解析式为 ykx+m ， 解得， y（c2）x+c， ca， y（a2）xa， 当 y0 时，x， 将 x代入 yax22xa，得 y， 令0，得 a0， a0，a0 不符题意，故错误； 当 a1 时，二次函数的解析式为：yx22x1， 当 y0 时，设 x22x10 的两根为 x1，x2， ， OAOB|x1|x2|1|1（1）2OC2，故正确； 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分）分） 11式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【分析】直接利用二

21、次根式的有意义的条件得出 x 的取值范围，进而得出答案 【解答】解：由题意可得：x30， 解得：x3 故答案为：x3 12一个正多边形的每个内角等于 108，则它的边数是 5 【分析】 根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为 72， 再用外角和 360除以 72， 计算即可得解 【解答】解：正多边形的每个内角等于 108， 每一个外角的度数为 18010872， 边数360725， 这个正多边形是正五边形 故答案为：5 13从某玉米种子中抽取 6 批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 29

22、8 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 0.8 （精确到 0.1） 【分析】本题考查的是用频率估计概率，6 批次种子粒数从 100 粒大量的增加到 5000 粒时，种子发芽的 频率趋近于 0.801，所以估计种子发芽的概率为 0.801，精确到 0.1，即为 0.8 【解答】解：种子粒数 5000 粒时，种子发芽的频率趋近于 0.801， 估计种子发芽的概率为 0.801，精确到 0.1，即为 0.8 故本题答案为：0.8 14如图，BD 是ABC 的平分线，P 为

23、 BD 上的一点，PEBA 于点 E，PE4cm，则点 P 到边 BC 的距离 为 4 cm 【分析】BD 是ABC 的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点 P 到 BC 的距离 【解答】解：BD 是ABC 的平分线，PEAB 于点 E，PE4cm， 点 P 到 BC 的距离PE4cm 故答案为 4 15如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，BFAE 交 DC 于点 F，若 AB5，BE2，则 AF 【分析】根据正方形的性质得到 ABBC，ABEBCF90，推出BAEEBH，根据全等三角 形的性质得到 CFBE2，求得 DF523，根据勾股定理即可得到结论 【解答】解：四边

24、形 ABCD 是正方形， ABBC，ABEBCF90， BAE+AEB90， BHAE， BHE90， AEB+EBH90， BAEEBH， 在ABE 和BCF 中， ABEBCF（ASA） ， CFBE2， DF523， 四边形 ABCD 是正方形， ABAD5，ADF90， 由勾股定理得：AF 故答案为： 16 将点 P （2， 3） 向右平移 2 个单位得到点 P1， 点 P2与点 P1关于 x 轴对称， 则 P2的坐标是 （4， 3） 【分析】直接利用平移的性质得出 P1的坐标，再利用关于 x 轴对称点的性质得出答案 【解答】解：将点 P（2，3）向右平移 2 个单位得到点 P1， P

25、1（4，3） 点 P2与点 P1关于 x 轴对称， P2的坐标是： （4，3） 故答案为： （4，3） 17某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡 AB 的坡度是 1：，堤坝高 BC50m，则 AB 100 m 【分析】根据坡比可得：BC：AC1：，然后根据 BC50m，求出 AC 的长度，最后利用勾股定理求 出 AB 的长度 【解答】解：由图可得，BC：AC1：， BC50m， AC50m， AB100（m） 故答案为：100 18如图，在 RtABC 中，A90，ABAC8，点 E 为 AC 的中点，点 F 在底边 BC 上，且 FE BE，则CEF 的面积是 16 【分析】过 C 作 CDC

26、E 与 EF 的延长线交于 D，构成直角三角形可证出 RtABERtCED，然后证 出其面积；或作 FHCE 于 H，设 FHh，RtEHFRtBAE，然后求出其面积 【解答】解：如图，过 C 作 CDCE 与 EF 的延长线交于 D ABE+AEB90，CED+AEB90，ABECED RtABERtCED， （）2，2， ECFDCF45， CF 是DCE 的平分线，则点 F 到 CE 和 CD的距离相等， 2， SCEF2SCDF， SCEFSCDESABESABC8816， 故答案为：16 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）

27、计算： （） 2（2019）02sin45+| 1| 【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简 得出答案 【解答】解：原式412+1 41+1 2 20 （6 分）解不等式组： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x31，得：x2， 解不等式2，得：x4， 不等式组的解集为 2x4 21 （8 分）达州市图书馆今年 4 月 23 日开放以来，受到市民的广泛关注.5 月底，八年级（1）班学生小颖 对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查

28、统计，并制成了如图不完整的统计图表 八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表 去图书馆的次数 0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及以上 人数 8 12 a 10 4 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：a 16 ，b 20 ； （2）求扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，谈谈对新图书馆的印象和感受求恰好抽中去过“4 次及以上”的同学的概率 【分析】 （1）根据去图书馆“1 次”的学生数其占全班人数的百分比可得总人数，将总人数减去其余 各次数的人数可得“2 次”的人数，即 a 的值，将“3 次”的人数除以总人数可

29、得 b 的值； （2）将 360乘以“0 次”人数占总人数比例可得； （3）直接根据概率公式可得 【解答】解： （1）该班学生总数为：1224%50（人） ， 则 a5081210416， b10020； （2）扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数为：36057.6； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，有 50842 种等可能结果， 其中恰好抽中去过“4 次及以上”的同学有 4 种结果， 故恰好抽中去过“4 次及以上”的同学的概率为 故答案为： （1）16，20 22 （8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，BDAD，A45，E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 B

30、E DF，连接 EF 交 BD 于 O （1）求证：BODO； （2）若 EFAB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG1 时，求 AE 的长 【分析】 （1）由平行四边形的性质和 AAS 证明OBEODF，得出对应边相等即可； （2）证出 AEGE，再证明 DGDO，得出 OFFG1，即可得出结果 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB， OBEODF 在OBE 与ODF 中， OBEODF（AAS） BODO （2）解：EFAB，ABDC， GEAGFD90 A45， GA45 AEGE BDAD， ADBGDO90 GODG45 DGDO， OFFG1

31、， 由（1）可知，OEOF1， GEOE+OF+FG3， AE3 23 （9 分）马上开学，益文超市王老板购进了一批笔和作业本，已知每本作业本的进价比每个笔的进价少 10 元，且用 480 元购进作业本的数目是用同样金额购进笔的支数的 6 倍 （1）求每支笔和每个作业本的进价分别是多少元？ （2）由于销售火爆，第一批销售完了以后，该商店用相同的价格再购进 300 本作业本和 200 支笔，已知 作业本 售价为 6 元一本，笔售价为 24 元一支，销售一段时间后，作业本卖出了总数的，笔售出了总数的， 为了清仓，该店老板对剩下的笔和作业本以相同的折扣数进行打折销售，并很快全部售出求商店最低 打几折

32、可以使得第二次购进的这批作业本和笔的总利润率不低于 90%？ 【分析】 （1）设每支笔的进价为 x 元，则每个作业本的进价为（x10）元，根据数量总价单价结合 用 480 元购进作业本的数目是用同样金额购进笔的支数的 6 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检 验后即可得出结论； （2）设剩下的笔和作业本打 y 折销售，根据总利润销售收入成本结合总利润率不低于 90%，即可得 出关于 y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设每支笔的进价为 x 元，则每个作业本的进价为（x10）元， 依题意，得：6， 解得：x12， 经检验，x12 是原分式方程的解，且符合题

33、意， x102 答：每支笔的进价为 12 元，则每个作业本的进价为 2 元 （2）设剩下的笔和作业本打 y 折销售， 依题意，得：300（62）+200（2412）+300（62）+200（1）（24 12）300090%， 解得：y5 答：商店最低打 5 折可以使得这批货的总利润率不低于 90% 24 （9 分）如图，AB 是O 的直径，点 P 在O 上，且 PAPB，点 M 是O 外一点，MB 与O 相切于 点 B，连接 OM，过点 A 作 ACOM 交O 于点 C，连接 BC 交 OM 于点 D （1）求证：ODAC； （2）求证：MC 是O 的切线； （3）若 MD8，BC12，连接

34、PC，求 PC 的长 【分析】 （1）先证明BODBAC，然后依据相似三角形的性质进行证明即可； （2）连接 OC，先先切线的性质得带OBM90，然后依据平行线的性质和等腰三家巷的性质证明 BOMCOM， 然后利用SAS证明OCMOBM， 由全等三角形的性质可得到OCMOBM90； （3）根据圆周角定理和平行线的性质得到ACBAPB90，根据垂径定理得到OCDCMD， 过点 A 作 AHPC 于点 H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论 【解答】解： （1）ACOM， BODBAC， ODAC （2）连接 OC，ACOM， OACBOM，ACOCOM， OAOC， OACACO BOM

35、COM， 在OCM 与OBM 中， OCMOBM； 又MB 是O 的切线， OCMOBM90， MC 是O 的切线； （3）AB 是O 的直径，ACOM， ACBAPB90，ODBC， CDBD6， OCD+MCDCMD+MCD90， OCDCMD， OCMCDOCDM90， CDOMDC， CD2ODDM， OD， OC， AB15， PAPB； 过点 A 作 AHPC 于点 H， AHCH，PH6， PCPH+CH 25 （10 分）定义：点 P（a，b）关于原点的对称点为 P，以 PP为边作等边PPC，则称点 C 为 P的“等 边对称点” （1）若 P（1，） ，求点 P 的“等边对称点

36、”的坐标； （2）平面内有一点 P（1，2） ，若它其中的一个“等边对称点”C 在第四象限时，请求此 C 点的坐标； （3）若 P 点是双曲线 y（x0）上一动点，当点 P 的“等边对称点”点 C 在第四象限时 如图（1） ，请问点 C 是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是， 请说明理由； 如图（2） ，已知点 A（1，2） ，B（2，1） ，点 G 是线段 AB 上的动点，点 F 在 y 轴上，若以 A、G、F、 C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 C 的纵坐标 yC的取值范围 【分析】 （1）P（1，）则 P（1，） ，可求 PP4，设

37、C（m，n） ，有 PCPC4，通过解方 程可得 m3n，再进行运算即可； （2）P（1，2）则 P（1，2） ，可求 PP2；设 C（m，n） ，有 PCPC2，通过解方程可 得 m2n，再进行运算即可； （3）3）设 P（c，）则 P（c，） ，可求 PP2；设 C（s，t） ，有 PCPC2，通 过解方程可得 s，tc，令，消元 c 即可得 xy6； 当 AG 为平行四边形的边时，G 与 B 重合时，为一临界点通过平移可求得 C（1，6） ，yc6；当 AG 为平行四边形的对角线时，G 与 B 重合时，求得 C（3，2） ，G 与 A 重合时，C（2，3） ，此时 3yc2 【解答】解：

38、 （1）P（1，） ， P（1，） ， PP4， 设 C（m，n） ， 等边PPC， PCPC4， 4， mn， n， C（3，）或 C（3，） （2）P（1，2） ， P（1，2） ， PP2， 设 C（a，b） ， 等边PPC， PCPC2， 2， a2b， b， C（2，）或 C（2，） ， C 在第四象限， C（2，） （3）设 P（c，） ， P（c，） ， PP2， 设 C（s，t） ， PCPC2， 2， s， t23c2， tc， C（，c）或 C（，c） ， 点 C 在第四象限，c0， C（，c） ， 令， xy6，即 y（x0） 当 AG 为平行四边形的边时，G 与 B 重

39、合时， 通过平移可求得点 C 的横坐标为 1， xy6， C（1，6） ， yc6 当 AG 为平行四边形的对角线时，G 与 B 重合时， 通过平移可知点 C 的横坐标为 3， xy6， C（3，2） ， G 与 A 重合时，同法可得 C（2，3） ， 此时3yc2， 综上所述：yc6 或3yc2 26 （10 分）已知抛物线 yax23amx4am2（a0，m0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左边） ，与 y 轴交于 C 点，顶点为 P，OC2AO （1）求 a 与 m 满足的关系式； （2）直线 ADBC，与抛物线交于另一点 D，ADP 的面积为，求 a 的值； （3）在（2）

40、的条件下，过（1，1）的直线与抛物线交于 M、N 两点，分别过 M、N 且与抛物线仅有 一个公共点的两条直线交于点 G，求 OG 长的最小值 【分析】 （1）在 yax23amx4am2中，令 x0，可求出点 C 的坐标，令 y0 时，可求出点 A，B 的 坐标，利用 OC2AO 可列等式求出 a 与 m 的关系式； （2）用含 a 或 m 的代数式求出直线 BC 的解析式，直线 AD 的解析式，表示出 D，A 的坐标，求出抛物 线顶点坐标，利用 SADPPE （xDxA）可求出 m 的值及 a 的值； （3）可设抛物线解析式为为 yx2+cx+d，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，

41、过点 M 的切线解析式为 yk（x x1）+y1，将抛物线与切线的解析式联立，由只有一个公共点可求出 k 的值，得到 M，N 的坐标满足 yM （c+2x） （xMx）+ycxM+（2xMc）x2x2+y，将（1，1）代入，推出 G 为直线 yx上的 一点，由垂线段最短，求出 OG 垂直于直线时的值即为最小值 【解答】解： （1）在抛物线 yax23amx4am2中， 当 x0 时，y4am2， C（0，4am2） ， 当 y0 时，x14m，x2m， A（m，0） ，B（4m，0） ， OC2OA， 4am22m， a； （2）a， C（0，2m） ， 设 BC 的解析式为 ykx2m， 将

42、点 B（4m，0）代入， 得，k， yBCx2m， ADBC， 设直线 AD 的解析式为 yADx+b， 将点 A（m，0）代入， 得，b， 直线 AD 的解析式为 yADx+， 直线 AD 与抛物线联立，得 x+x2x2m， 解得，m1m，m25m， D（5m，3m） ， yax23amx4am2 x2x2m （xm）2m， 顶点 P（m，m） ， 如图 1，过点 P 作 x 轴的垂线，交 AD 于点 E， 则 E（m，m） ， PEm（m）m， SADPPE （xDxA）m6m， 解得，m（取正值） ， a1； （3）在（2）的条件下，可设抛物线的解析式为 yx2+cx+d， 设 M（x1

43、，y1） ，N（x2，y2） ，过点 M 的切线解析式为 yk（xx1）+y1， 将抛物线与切线的解析式联立， 得 x2+cx+dk（xx1）+y1， 整理，得 x2+（ck）x+（d+kx1y1）0， y1x12+cx1+d， 方程可整理为 x2+（ck）xx12（c+k）x10， 只有一个交点， D（ck）2+4x12+4（c+k）x10， 整理，得 k2（2c+4x1）k+（c+2x1）20， 即（kc2x1）20， kc+2x1， 过 M 的切线为 y（c+2x1） （xx1）+y1， 同理可得过 N 的切线为 y（c+2x2） （xx2）+y2， M，N 的坐标满足 yM（c+2x） （xMx）+ycxM+（2xMc）x2x2+y， 将 x2ycxd 代入整理，得 y（c+2xM）x+cxMyM+2d， 将（1，1）代入， 得1（c+2xM）+cxMyM+2d， 在（2）的条件下，抛物线解析式为 yx2x1，即 c，d1， 1（+2xM）xMyM2， 整理，得 yMxM， G 点坐标满足 yx， 即点 G 为直线 yx上的一点， 当 OG 垂直于直线 yx时，OG 最小，如图 2 所示， 直线 yx与 x 轴交点 H（5，0） ，与 y 轴交点 F（0，） ， OH5，OF，FH， OFOHFHOG， OG， OG 的最小值为