吃透中考数学29个几何模型模型10:手拉手模型
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1、专题专题 10 10 手拉手模型手拉手模型 一、单选题一、单选题 1如图,在 OAB 和 OCD 中,OAOB,OCOD,OAOC,AOBCOD40 ,连接 AC,BD 交于点 M,连接 OM下列结论:ACBD;AMB40 ;OM 平分BOC;MO 平分BMC其 中正确的个数为( ) A B C D 【答案】D 【分析】 由SAS证明AOCBOD得出OCAODB,ACBD,正确; 由全等三角形的性质得出OACOBD, 由三角形的外角性质得:AMBOACAOBOBD, 得出40AMBAOB,正确; 作OGMC于G,OHMB于H,如图所示:则90OGCOHD,由AAS证明 ()OCGODH AAS
2、DD ,得出OGOH,由角平分线的判定方法得出MO平分BMC,正确; 由AOBCOD,得出当DOMAOM时,OM才平分BOC,假设DOMAOM,由 AOCBOD得出COMBOM?,由MO平分BMC得出CMOBMO,推出 COMBOMDD, 得O B O C, 而O A O B, 所以OAOC, 而O A O C, 故错误; 即可得出结论 【详解】 解:40AOBCOD, AOBAODCODAOD, 即AOCBOD, 在AOC和BOD中, OAOB AOCBOD OCOD = ? = , ()AOCBOD SAS , OCAODB,ACBD,正确; OACOBD, 由三角形的外角性质得:AMBO
3、ACAOBOBD, 40AMBAOB,正确; 作OGMC于G,OHMB于H,如图 2所示: 则90OGCOHD, 在OCG和ODH中, OCAODB OGCOHD OCOD ? ? ? = , ()OCGODH AAS , OGOH, MO平分BMC,正确; AOBCOD, 当 DOMAOM时,OM才平分BOC, 假设DOMAOM AOCBOD, COMBOM ?, MO平分BMC, CMOBMO ?, 在COM和BOM中, COMBOM OMOM CMOBMO ? ? = ? , ()COMBOM ASA DD , OBOC, OAOB OAOC 与OAOC矛盾, 错误; 综上所述,正确的是
4、; 故选:D 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的外角性质,角平分线的判定等知识,熟悉相关性质是解题 的关键 2如图,AB=AD,AC=AE,DAB=CAE=50 ,以下四个结论:ADCABE;CD=BE; DOB=50 ;点 A在DOE的平分线上,其中结论正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断 【详解】 DAB=CAE DAB+BAC=CAE+BAC DAC=EAB AB=AD,AC=AE ADCABE CD=BE,故正确; ADCABE ADC =ABE 设 AB与 CD交于 G点, AGD =BG
5、C DOB=DAB=50 ,故正确; 过点 A作 AFCD 于 F点,过点 A 作 AHBE于 H点, 则 AF、AH分别是 ADC与 ABE边上的高 ADCABE AF=AH 点 A在DOE的平分线上,正确 故选 D 【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟知角平分线的性质与判定 3如图,ACD和AEB都是等腰直角三角形, 90CADEAB ,四边形ABCD是平行四边形, 下列结论中错误的是( ) AACE以点A为旋转中心,逆时针方向旋转90 后与ADB重合 BACB以点A为旋转中心,顺时针方向旋转270 o后与 DAC重合 C沿AE所在直线折叠后,ACE 与ADE重合
6、D沿AD所在直线折叠后, ADB与ADE重合 【答案】3B 【分析】 本题通过观察全等三角形,找旋转中心,旋转角,逐一判断 【详解】 解:A根据题意可知 AE=AB,AC=AD,EAC=BAD=135 , EACBAD,旋转角EAB=90 ,正确; B因为平行四边形是中心对称图形,要想使 ACB和 DAC 重合, ACB 应该以对角线的交点为旋转中 心,顺时针旋转 180 ,即可与 DAC 重合,错误; C根据题意可EAC=135 ,EAD=360 EACCAD=135 ,AE=AE,AC=AD, EACEAD,正 确; D根据题意可知BAD=135 ,EAD=360 BADBAE=135 ,
7、AE=AB,AD=AD, EADBAD, 正确 故选 B 【点睛】 本题主要考查平行四边形的对称性:平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点 二、填空题二、填空题 4如图,点 B、C、E在同一条直线上,ABC与CDE都是等边三角形,下列结论:AE=BD; DGCEFC;线段 AE和 BD所夹锐角为 80 ;FGBE其中正确的是_ (填序号) 【答案】 【分析】 利用等边三角形的性质证明BCDACE可判断,利用BCDACE,可得,BDCAEC 利用 三角形的外角的性质可得60 ,AHB 从而可判断, 再结合等边三角形的性质证明DGCEFC可 判断, 由DGCEFC可得:CGCF,结合6
8、0 ,ACD可得60CFG,从而可判断 【详解】 解:如图,记AE与BD的交点为H, ABC与CDE都是等边三角形, AC=BC,CD=CE,BCA=DCE=60 点 B、C、E在同一条直线上, ACD=60 , BCD=ACE=120 在BCD和ACE中, BCAC BCDACE CDCE BCDACE, ,BDAE 所以结论正确; BCDACE, BDC=CEA, AHB=DBE+BEA=DBE+BDC=180BCD=60 , 所以错误; 在GCD和FCE中, GCDDCE CECD CDBCEA , GCDFCE, 所以正确; GCDFCE, CG=CF,ACD=60 , GFC=60,
9、 又DCE=60 , GFC=DCE, GFBC,所以正确 故答案为: 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定,平行线的判定,解决本题的关键是找到 判定三角形全等的条件 5 如图, C 为线段 AE 上一动点 (不与点 A, E 重合) , 在 AE 同侧分别作等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE, AD 与 BE 交于点 O,AD 与 BC 交于点 P,BE 与 CD 交于点 Q,连结 PQ以下结论:PQ/AE;AOE 120 ;CO 平分BCD;CPQ 是等边三角形,OC+BOAO 恒成立的是_ 【答案】 【分析】 由“SAS ”可证ACD BCE ,可得C
10、BEDAC,由“ASA”可得CPCQ,利用全等三角形的性质 依次判断可求解 【详解】 解:等边ABC和等边CDE, ACBC,CDCE,60ACBDCE, ACBBCDDCEBCD,即 ACDBCE, 在ACD与BCE中, ACBC ACDBCE CDCE , ()ACDBCE SAS , CBEDAC , 又60ACBDCE, 60BCD,即ACPBCQ , 又ACBC, ()CQBCPA ASA , CPCQ, 又 60PCQ, PCQ 为等边三角形,故正确; 60PQCDCE, / /PQAE,故正确; 60DACAEBDACADCDCE, 120AOE,故正确; 如图,在AP上截取NO
11、Q,连接CN, CQBCPA , CPCQ , CPNCQO , BQAN , ()CPNCQO SAS , CNCO,BCNOCQ, ACNBCO ,60NCO, 又ACBC, ()ACNBCO SAS , BOAN, 60NCO,COCN, NCO是等边三角形, NOCO, AOANNOBOCO,故正确; OC不一定垂直AE, ACO不一定等于ECO, BCO不一定等于DCO, CO不一定平分BCD,故错误; 故答案为: 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,平行 线的判定与性质,能熟练应用相关性质是解题的关键 三、解答题三、解答
12、题 6如图,点 C是线段 AB上任意一点(点 C 与点 A,B 不重合) ,分别以 AC,BC为边在直线 AB 的同侧作 等边三角形 ACD和等边三角形 BCE,AE与 CD相交于点 M,BD与 CE 相交于点 N连接 MN 证明: (1) ACEDCB; (2) ACMDCN; (3)MNAB 【答案】 (1)见解析(2)见解析(3)见解析 【分析】 (1)由等边三角形的性质得出 ACCD,BCCE,ACDBCE60 ,得出DCBACE,由 SAS 即可得出 ACEDCB; (2)由全等三角形的性质得出EACBDC,再证出ACDDCE,由 ASA 证明 ACMDCN即 可; (3)由全等三角
13、形的性质得出 CMCN,证出 MCN是等边三角形,得出MNCNCB60 ,即可得 出结论 【详解】 (1)ACD 和 BCE是等边三角形, ACCD,BCCE,ACDBCE60 , ACDDCEBCEDCE,DCBACE, 在 ACE与 DCB 中, ACCD DCBACE BCCE , ACEDCB(SAS) ; (2)由(1)得: ACEDCB, EACBDC, ACDBCE60 , DCE60 , ACDDCE, 在 ACM与 DCN 中, EACBDC ACDC ACDBCE , ACMDCN(ASA) (3)由(2)得: ACMDCN, CMCN, 又MCN180606060 , M
14、CN是等边三角形, MNC60 NCB, MNAB 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定;熟练掌握等边三角形的性质, 证明三角形全等是解决问题的关键 7如图,两个正方形 ABCD与 DEFG,连结 AG,CE,二者相交于点 H (1)证明: ADGCDE; (2)请说明 AG和 CE的位置和数量关系,并给予证明; (3)连结 AE和 CG,请问 ADE 的面积和 CDG的面积有怎样的数量关系?并说明理由 【答案】(1)答案见解析;(2) AG=CE,AGCE;(3) ADE的面积= CDG的面积 【分析】 (1)利用 SAS证明 ADGCDE; (2) 利
15、用 ADGCDE得到 AG=CE, DAG=DCE, 利用DAG+AMD=90 得到DCE+CMG=90 , 即可推出 AGCE; (3) ADE的面积= CDG的面积, 作GPCD于P, ENAD交AD的延长线于N, 证明 DPGDNE, 得到 PG=EN,再利用三角形的面积公式分别表示出 ADE的面积, CDG的面积,即可得到结论 ADE 的面积= CDG的面积. 【详解】 (1)四边形 ABCD与 DEFG 都是正方形, AD=CD,DG=DE,ADC=EDG=90 , ADC+CDG=EDG+CDG, ADG=CDE, ADGCDE(SAS) , (2)AG=CE,AGCE, ADGC
16、DE, AG=CE,DAG=DCE, DAG+AMD=90 ,AMD=CMG, DCE+CMG=90 , CHA=90 , AGCE; (3) ADE的面积= CDG的面积, 作 GPCD于 P,ENAD交 AD 的延长线于 N,则DPG=DNE=90 , GDE=90 , EDN+GDN=90 , PDG+GDN=90 , EDN=PDG, DE=DG, DPGDNE, PG=EN, ADE 的面积= 1 2 AD EN, CDG的面积= 1 2 CD GP, ADE 的面积= CDG的面积. 【点睛】 此题考查正方形的性质,三角形全等的判定及性质,利用三角形面积公式求解,根据图形得到三角形
17、全等 的条件是解题的关键. 8在 ABC中,BAC=90 ,AC=AB,点 D 为直线 BC上的一动点,以 AD为边作 ADE(顶点 ADE 按逆时针方向排列) ,且DAE=90 ,AD=AE,连接 CE (1)如图 1,若点 D在 BC边上(点 D与 BC不重合) , 求证: ABDACE; 求证: 222 DEBDCD (2)如图 2,若点 D在 CB的延长线上,若 DB=5,BC=7,则 ADE的面积为_ (3)如图 3,若点 D在 BC的延长线上,以 AD 为边作等腰 Rt ADE,DAE=90 ,连结 BE,若 BE=10, BC=6,则 AE的长为_ 【答案】 (1)见解析;见解析
18、; (2)169 4 ; (3)34 【分析】 (1)根据BAC=DAE,推出BAD=CAE,再结合 AB=AC,AD=AE,即可证明 ABDACE, 根据ABD=ACE,可得ABD+ACB=ACE+ACB=BCE,根据 BD=CE,即可证明结论; (2)过点 A作 AFDE 于点 F,利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质,易得 AF 1 2 DE,利用全等 三角形的判定定理可得 ABDACE, 由全等三角形的性质可得ADBAEC, DBEC, 易得 EC5, DC12,利用勾股定理可得 DE的长,利用三角形的面积公式可得结论; (3)根据 Rt BCE中,BE10,BC6,求得 CE 22
19、 10 -6 8,进而得出 CD862,在 Rt DCE 中,求得 DE 22 28 = 68,最后根据 ADE 是等腰直角三角形,即可得出 AE 的长 【详解】 (1)BAC=DAE, BAD=CAE, 又AB=AC,AD=AE, ABDACE, ABDACE, ABD=ACE,BD=CE, ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90 , 22222 DECDCECDBD; (2)过点 A作 AFDE于点 F ADAE, 点 F是 DE的中点, DAE90 , AF 1 2 DE, 同理可证 ABDACE, ADBAEC,DBEC, DB5,BC7, EC5,DC12, DAE90 , A
20、DEAED90 , ADCCDEAED90 , AECAEDCDE90 , 即CEDCDE90 , ECD90 , DE2CE2CD225144169, DE0, DE13, AF 13 2 , ADE 的面积为 1 2 DEAF 1 2 1313 2 169 4 ; (3)由(1)可知: ABDACE, BDCE,ABDACE, BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90 , Rt BCE 中,BE10,BC6, CE 22 10 -6 8, BDCE8, CD862, Rt DCE 中,DE 22 28 = 68, ADE 是等腰直角三角形, AE 2 DE 68 2 = 34 【点睛】
21、 本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理,还有等腰三角形的性质等,综合利用定理,作出恰当 的辅助线是解答此题的关键 9如图,在ABC中,以 AB,AC 为边向外作等边ABF和等边 ACE,连结 BE,CF交于点 O 求证: (1)AEBACF; (2)AO平分EOF 【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析 【分析】 (1)先根据等边三角形的性质可得,60ABAF AEACCAEBAF ,再根据角的和差可得 BAEFAC,然后根据三角形全等的判定定理即可得证; (2)如图(见解析) ,先根据三角形全等的性质可得, AEBACF SSBECF,再根据三角形的面积公式 可得ADAG,由
22、此即可得证 【详解】 (1)ABF和ACE都是等边三角形, ,60ABAF AEACCAEBAF , CAEBACBAFBAC,即BAEFAC, 在AEB和ACF中, ABAF BAEFAC AEAC , ()AEBACF SAS ; (2)如图,过点 A作ADBE于点 D,作AGCF于点 G,连接 AO, 由(1)已证:AEBACF, , AEBACF SSBECF, 11 22 BE ADCF AG, ADAG, 点 A 在 EOF的角平分线上, 即 AO平分EOF 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点,熟练掌握 三角形全等的判定定理
23、与性质是解题关键 10如图,ABC中,ACBC,DCE中,DCEC ,且DCEACB,当把两个三角形如图 放置时,有ADBE (不需证明) (1)当把DCE绕点C旋转到图的情况,其他条件不变,AD和BE还相等吗?请在图中选择 一种情况进行证明; (2)若图中AD和BE交于点P,连接PC,求证:PC平分BPD 【答案】 (1)相等,证明见解析; (2)证明见解析 【分析】 (1)利用 SAS证出 DCAECB,即可证出结论; (2)过点 C作 CMAD于 M,CNBE 于 N,利用 SAS 证出 DCAECB,从而得出 CM=CN,然后 利用角平分线的判定定理即可证出结论 【详解】 解: (1)
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