吃透中考数学29个几何模型模型04:等腰直角三角形构造三垂直模型
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1、专题专题 04 04 等腰直角三角形构造三垂直模型等腰直角三角形构造三垂直模型 一、解答题一、解答题 1如图,在平面直角坐标系 xOy中,一次函数 yk1xb的图象与 x 轴交于点 A(3,0) ,与 y轴交于点 B,且与正比例函数 ykx的图象交点为 C(3,4) (1)求 k值与一次函数 yk1xb 的解析式; (2)在 x轴上有一动点 P,求当 PB+PC最小时 P 点坐标 (3)若点 D在第二象限, DAB 是以 AB为直角边的等腰直角三角形,请求出点 D的坐标; 【答案】 (1)k= 4 3 ,y= 2 3 x+2; (2)P(1,0); (3) (5,3)或(2,5) 【分析】 (
2、1)根据待定系数法求解即可; (2)作点 B关于 x 轴对称的点 B ,连接 BC,交 x 轴于点 P,此时 PB+PC最小,求出直线 BC的解析 式,求出直线 BC与 x轴的交点坐标即可; (3)分两种情况讨论:当DAB=90 时;当DBA=90 时,添加辅助线构造全等三角形进行求解即 可 【详解】 解: (1)由题意,将点 C(3,4)代入 y=kx 中,得:4=3k, 解得:k= 4 3 , 再将点 C(3,4)、点 A(3,0)代入 yk1xb 中,得: 1 1 30 34 kb kb , 解得: 1 2 3 2 k b , 函数 yk1xb 的解析式为:y= 2 3 x+2; (2)
3、如图,作点 B 关于 x轴对称的点 B ,连接 BC,交 x轴于点 P,此时 PB+PC最小, 在 y= 2 3 x+2中,令 x=0,则 y=2, B(0,2),则 B (0,2) , 设直线 BC 的解析式为 yk2x2, 将 C(3,4)代入得:4=3k22,解得:k2=2, 直线 BC 的解析式为 y2x2, 令 y=0,由 0=2x2得:x=1, 点 P 坐标为(1,0) ; (3)根据题意,OA=3,OB=2,分两种情况: 当DAB=90 时,DA=AB, 过点 D作 DMx轴于 E, DAM+BAO=90 ,BAO+ABO=90 , DAM=ABO, DMA=AOB=90 ,DA
4、=AB, DAMABO(AAS), DM=OA=3,MA=OB=2, D(5,3); 当DBA=90 时,DB=AB, 过 D作 DNy轴于 N, 同理可证 DBNBAO(AAS), BN=OA=3,DN=OB=2, D (2,5) , 故点 D的坐标为(5,3)或(2,5) 【点睛】 本题是一次函数的综合题,主要考查待定系数法求一次函数的解析式、同角的余角相等、全等三角形的判 定与性质、一次函数与几何图形及最短路径相关问题、解二元一次方程组等知识,熟练掌握一次函数的相 关知识,添加辅助线构造全等三角形和利用分类讨论的数学思想是解答的关键 2在ABC中,ACB90 ,ACBC,直线,MN 经过
5、点 C,且 ADMN 于点 D,BEMN于点 E (1)当直线 MN绕点 C旋转到如图 1 的位置时,求证:DEAD+BE; (2)当直线 MN绕点 C旋转到如图 2 的位置时,求证:DEADBE; (3)当直线 MN绕点 C旋转到如图 3 的位置时,线段 DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?请你直 接写出这个数量关系,不要证明 【答案】 (1)见解析; (2)见解析; (3)DEBEAD 【分析】 (1)由题意易得DAC+ACD90 ,则DACBCE,进而可证 ADCCEB,然后根据全等三角 形的性质可求解; (2)由题意易得CEB=ADC=90 ,则可求CAD=BCE,进而可证 CA
6、DBCE,然后根据全等三 角形的性质可求解; (3)根据题意可证 CADBCE,然后根据全等三角形的性质可求解 【详解】 (1)证明:ADMN,BEMN, ADCCEB90 , DAC+ACD90 , ACB90 , BCE+ACD90 , DACBCE, 在 ADC 和 CEB, ADCCEB DACECB ACCB , ADCCEB(AAS) , CDBE,ADCE, DECE+CDAD+BE; (2)证明:ADMN,BEMN, ADCCEB90 , DAC+ACD90 , ACB90 , BCE+ACD90 , DACBCE, AC=BC, ADCCEB, CDBE,ADCE, DECE
7、CDADBE; (3)解:DEBEAD,理由如下: ADMN,BEMN, ADCCEB90 , DAC+ACD90 , ACB90 , BCE+ACD90 , DACBCE, AC=BC, ADCCEB, CDBE,ADCE, DEBEAD 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余,熟练掌握全等三角形的性质与判定 及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键 3课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉在两墙之间,如图所示: (1)求证: ADCCEB; (2)已知 DE=35cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度 a 的大小(每块砖的厚度相同) 【答案】 (1)见详解;
8、(2)砌墙砖块的厚度 a 为 5cm 【分析】 (1)根据题意可得 ACBC,ACB90 ,ADDE,BEDE,进而得到ADCCEB90 ,再根据 等角的余角相等可得BCEDAC,再证明 ADCCEB 即可 (2)利用(1)中全等三角形的性质进行解答 【详解】 (1)证明:由题意得:ACBC,ACB90 ,ADDE,BEDE, ADCCEB90 , ACDBCE90 ,ACDDAC90 , BCEDAC, 在 ADC 和 CEB 中 ADCCEB DACBCE ACBC , ADCCEB(AAS) ; (2)解:由题意得:一块墙砖的厚度为 a, AD4a,BE3a, 由(1)得: ADCCEB
9、, DCBE3a,ADCE4a, DCCEBEAD7a35, a5, 答:砌墙砖块的厚度 a为 5cm 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的应用,关键是正确找出证明三角形全等的条件 4已知,A(-1,0) (1)如图 1,B(0,2) ,以 B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角 ABC 求 C点的坐标; 在坐标平面内是否存在一点 P (不与点 C 重合) , 使 PAB与 ABC 全等? 若存在, 直接写出 P 点坐标; 若不存在,请说明理由; (2) 如图 2, 点 E为 y轴正半轴上一动点, 以 E为直角顶点作等腰直角 AEM, 设 M (a, b) , 求 a-b 的值 【答案】 (1)
10、2,3C ;存在,2,1P或1, 1 或3,1; (2)1 【分析】 (1)作 CDy轴于 D,证 CEBBOA,推出 CE=OB=2,BE=AO=1,即可得出答案; (2)分为三种情况,画出符合条件的图形,构造直角三角形,证三角形全等,即可得出答案; (3)作 MFy轴于 F,证 EFMAOE,求出 EF,即可得出答案 【详解】 (1)作 CEy轴于 E,如图 1, A(-1,0) ,B(0,2) , OA=1,OB=2, CBA=90 , CEB=AOB=CBA=90 , ECB+EBC=90 ,CBE+ABO=90 , ECB=ABO, 在 CBE和 BAO 中 ECBABO CEBAO
11、B BCAB CBEBAO, CE=BO=2,BE=AO=1, 即 OE=1+2=3, C(-2,3) 存在一点 P,使 PAB 与ABC全等, 分为三种情况:如图 2,过 P作PEx轴于 E, 则90PABAOBPEA , 90EPAPAE,90PAEBAO, EPABAO, 在PEA和AOB中 EPABAO PEAAOB PAAB , PEAAOB, 1PEAO,2EABO, 1 23OE , 即 P 的坐标是3,1; 如图 3,过 C作CMx轴于 M,过 P作PEx轴于 E, 则90CMAPEA , CBAPBA, 45PABCAB ,ACAP, 90CAP, 90MCACAM,90CA
12、MPAE, MCAPAE, 在CMA和AEP中, MCAPAE CMAPEA ACAP , CMAAEP, PEAM,CMAE, 2,3C ,1,0A , 2 11PE ,03 12OEAEA , 即 P 的坐标是2,1; 如图 4,过 P 作PEx轴于 E, CBAPAB, ABAP,90CBABAP , 则90AEPAOB , 90BAOPAE,90PAEAPE, BAOAPE, 在AOB和PEA中, BAOAPE AOBPEA ABAP , AOBPEA, 1PEAO,2AEOB, 02 1 1EAEAO , 即 P 的坐标是1, 1, 综合上述:符合条件的 P的坐标是3,1或1, 1或
13、2,1 (2)过M作MFy轴于F,得到下图 5 ,M a b ,MFa FOb, 由上图得:90AEMEFMAOE , 90AEOMEF,90MEFEMF, AEOEMF, 在AOE和EMF中 AOEEFM AEOEMF AEEM , AEOEMF AAS, 1EFAO,MFOE, MNx轴,MF y轴, 90MFOFONMNO , 四边形 FONM是矩形, MNOF, 1a bMFOFEO OFEFOA 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定,三角形内角和定理,等腰三角形性质的应用,主要考查学生综合运用 性质进行推理的能力,用了分类讨论思想 5公路上,A,B两站相距25千米,C、D为两所学
14、校,DAAB 于点A,CBAB于点B,如图, 已知15DA千米,现在要在公路AB上建一报亭H,使得C、D两所学校到H的距离相等,且 90DHC,问:H应建在距离A站多远处?学校C到公路的距离是多少千米? 【答案】H应建在距离A站 10千米处,学校C到公路的距离是 10千米 【分析】 先根据垂直的定义可得90AB ,再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得DBHC, 然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,15AHBC DAHB千米,最后根据线段的和差可得 【详解】 由题意得:DHHC,25AB千米, ,DAAB CBAB , 90AB , 90DAHD , 90DHC, 18090BHDHD
15、CCHA, DBHC, 在ADH和BHC中, AB DBHC DHHC , ()ADHBHC AAS , ,AHBC DAHB, 15DA千米,25AB千米, 15HB千米, 10BCAHABHB千米, 答:H应建在距离A站 10千米处,学校C到公路的距离是 10 千米 【点睛】 本题考查了垂直的定义、直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点,熟练掌握三 角形全等的判定方法是解题关键 6如图所示,在ABC和DBC中,ACB=DBC=90 ,点 E是 BC的中点,EFAB,垂足为 F,且 AB=DE (1)求证:BC=BD; (2)若 BD=10 厘米,求 AC 的长 【答案】
16、 (1)证明见解析; (2)5厘米 【分析】 (1)由 DEAB,可得BFE=90 ,由直角三角形两锐角互余,可得ABC+DEB=90 ,由ACB=90 , 由直角三角形两锐角互余,可得ABC+A=90 ,根据同角的余角相等,可得A=DEB,然后根据 AAS 判断 ABCEDB,根据全等三角形的对应边相等即可得到 BD=BC; (2)由(1)可知 ABCEDB,根据全等三角形的对应边相等,得到 AC=BE,由 E是 BC的中点,得 到 BE= 1 2 BC 1 2 BD5 厘米 【详解】 解: (1)DEAB,可得BFE=90 , ABC+DEB=90 , ACB=90 , ABC+A=90
17、, A=DEB, 在 ABC和 EDB 中, ACBDBC ADEB ABDE , ABCEDB(AAS) , BD=BC; (2)ABCEDB, AC=BE, E 是 BC 的中点,BD=10 厘米, BE= 1 2 BC 1 2 BD5 厘米 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质,普通两个三角形全等共有四个定理,即 AAS、ASA、SAS、SSS,直 角三角形可用 HL定理,但 AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的题目,找准全等的 三角形是解决本题的关键 7综合与实践 特例研究: 将矩形ABCD和Rt CEF按如图 1放置,已知90 ,FCEADCD CECF C
18、FCD,连接 ,BF DE 1如图 1,当点D在CF上时,线段BF与DE之间的数量关系是_ ;直线BF与直线DE之 间的位置关系是_ ; 拓广探索: 2图 2是由图 1 中的矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到的,请探索线段BF与DE之间的数量 关系和直线BF与直线DE之间的位置关系,并说明理由 【答案】 (1),BFDE BFDE; (2),BFDE BFDE,理由见解析 【分析】 1,BFDE BFDE,延长ED交BF于点 G先证 FBCEDC(SAS) ,可知 ,BFDECEDCFB ,由DCE=90 ,可得DEC+CDE=90 ,可推出FDG+GFD=90 即可, 2先下结论,,B
19、FDE BFDE, 再证明, 证法与 (1) 类似, 延长ED交CF于点,M交FB于点N 由 四边形ABCD为矩形且 AD=CD可得CDCB,DCEBCF SAS可推出 ,BFDECEDCFB 由90 ,FCE知 90CMECED 由,C M EF M N可用等量代换得90 ,FMNCFB由三角形内角和得 90 ,FNE即可 【详解】 解: 1,BFDE BFDE, 延长ED交BF于点 G, 四边形ABCD为矩形,且 AD=DC, BC=CD, FDBCCE=90 , 由旋转的 FC=EC, FBCEDC(SAS) , ,BFDECEDCFB , DCE=90 , DEC+CDE=90 , F
20、DG+GFD=90 FGD=90 , 2,BFDE BFDE, 理由如下: 如答图,延长ED交CF于点,M交FB于点N , 90FCE, 四边形ABCD为矩形, BCDFCE, FCBFCDECDFCD, FCBECD, ADCD, 矩形ABCD为正方形 CDCB, 在DCE和BCF中, , , CDCB ECDFCB CECF , DCEBCF SAS ,BFDECEDCFB 90 ,FCE 90CMECED ,CMEFMN 90 ,FMNCFB 90 ,FNE BFDE 【点睛】 本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题,关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题,会 利用旋转找全等条
21、件,会计算角的和差,和证垂直的方法 8已知:在ABC中,BAC=90 ,ABCA,直线 m经过点 A,BD直线 m 于点 D,CE直线 m于点 E求证:BDAAEC; 【答案】证明见解析 【分析】 先根据垂直的定义可得90ADBCEA,再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得 BADACE,然后根据三角形全等的判定定理即可得证 【详解】 ,BDm CEm , 90ADBCEA, 90ACECAE, 90BAC, 18090BADCAEBAC, BADACE, 在BDAV和AEC中, ADBCEA BADACE ABCA , ()BDAAEC AAS 【点睛】 本题考查了垂直的定义、直角三角形
22、的性质、三角形全等的判定定理,熟练掌握三角形全等的判定方法是 解题关键 9 (提出问题)如图 1,在直角ABC中,BAC=90 ,点 A 正好落在直线 l上,则1、2 的关系为 (探究问题)如图 2,在直角ABC中,BAC=90 ,AB=AC,点 A正好落在直线 l上,分别作 BDl于 点 D,CEl于点 E,试探究线段 BD、CE、DE 之间的数量关系,并说明理由 (解决问题)如图 3,在ABC中,CAB、CBA均为锐角,点 A、B正好落在直线 l上,分别以 A、B 为直角顶点, 向ABC外作等腰直角三角形 ACE和等腰直角三角形 BCF, 分别过点 E、 F 作直线 l的垂线, 垂足为 M
23、、N 试探究线段 EM、AB、FN之间的数量关系,并说明理由; 若 AC=3,BC=4,五边形 EMNFC 面积的最大值为 【答案】 提出问题:1290 ; 探究问题:BDCEDE, 理由见解析; 解决问题: EMFNAB, 理由见解析; 49 2 【分析】 提出问题:根据平角的定义、角的和差即可得; 探究问题:先根据垂直的定义可得90ADBCEA,再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可 得2ABD ,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BDAE ADCE,最后根据线段的和差 即可得; 解决问题:如图(见解析) ,同探究问题的方法可得,EMAD FNBD,再根据线段的和差即可得; 如图(
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