吃透中考数学29个几何模型模型12:与正方形有关的三垂线
《吃透中考数学29个几何模型模型12:与正方形有关的三垂线》由会员分享,可在线阅读,更多相关《吃透中考数学29个几何模型模型12:与正方形有关的三垂线(45页珍藏版)》请在七七文库上搜索。
1、专题专题 12 12 与正方形有关的三垂线与正方形有关的三垂线 一、单选题一、单选题 1如图,点4,2M,点P在射线OM上匀速运动,运动的过程中以P为对称中心,O为一个顶点作正 方形OABC,当正方形OABC的面积为 40 时,点A的坐标是( ) A( 39, 1) B( 38,2) C( 37,3) D(6, 2) 【答案】D 【分析】 作ADx轴于D,CEx轴于 E,根据M的坐标求得直线OM的斜率 1 2 ,进一步得出直线AC的斜率 为2,通过证得COEOAD,得出CEOD,OEAD,可设( ,)A ab,则( , )C b a,然后根据 待定系数法求得直线AC的斜率为2 ab ba ,
2、整理得 1 3 ba, 然后根据勾股定理得出 222 ADODOA+= , 代值求解即可 【详解】 解:作ADx轴于D,CEx轴于 E, 设直线OM的解析式为y kx , 点 (4,2)M 1 2 k 四边形ABCO是正方形, ACOM 直线AC的斜率为2 又OA OC,90AOC 90AODCOE,90AODOAD COEOAD 又 90CEOADO ()COEOAD AAS CEOD,OEAD 设( ,)A ab,则( , )C b a 设直线AC的解析式为y mxn , amnb bmna 解得: ab m ba 2 ab ba 整理得: 1 3 ba 正方形面积为 40 2 40OA
3、在RtAOD中, 222 ADODOA+= ,即: 22 1 ()40 3 aa 解得:6a 1 2 3 ba (6, 2)A 故答案选 B 【点睛】 本题是一次函数综合题,考查了待定系数法求一次函数的解析式,正方形的性质,全等三角形的判定和性 质,勾股定理的应用等,根据直线AC的斜率列出方程是解题的关键 二、解答题二、解答题 2探究证明: (1)如图 1,正方形 ABCD中,点 M、N 分别在边 BC、CD上,AMBN求证:BN=AM; (2) 如图 2, 矩形 ABCD中, 点 M 在 BC上, EFAM, EF分别交 AB、 CD于点 E、 F 求证: EFBC AMAB ; (3)如图
4、 3,四边形 ABCD中,ABC=90 ,AB=AD=10,BC=CD=5,AMDN,点 M、N分别在边 BC、 AB 上,求 DN AM 的值 【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 4 5 【分析】 (1)由矩形的性质结合等角的余角相等,可证明NBC=MAB,进而证明 BCNABM,最后根据相 似三角形对应边成比例解题即可; (2)过点 B作 BGEF交 CD 于 G,由两组对边分别平行判定四边形 BEFG是平行四边形,再根据平行四 边形的性质,可证明 GBCMAB,最后根据相似三角形对应边成比例解题即可; (3)过点 D作平行于 AB的直线交过点 A平行于 BC的直线于
5、 R,交 BC的延长线于 S,连接 AC,可得四 边形 ABSR 是平行四边形,再由含有一个 90 角的平行四边形是矩形,证明四边形 ABSR 是矩形,进而得到 R=S=90 ,RS=AB=10,AR=BS ,结合(2)中结论可证明 ACDACB,由全等三角形对应角相等 得到ADC=ABC, 再由等角的余角相等, 证明 RADSDC, 根据相似三角形对应边成比例, 设 SC=x, 解得 DR、DS 的长,再结合勾股定理解题即可 【详解】 (1)证明四边形 ABCD是矩形, ABC=C=90 NBA+NBC=90 AMBN, MAB+NBA=90 , NBC=MAB, BCNABM, BN AM
6、 = BC AB (2)结论: EF AM = BC AB 理由:如图 2中,过点 B作 BG/EF交 CD于 G, 四边形 ABCD是矩形, ABCD, 四边形 BEFG 是平行四边形, BG=EF EFAM, BGAM, GBA+MAB=90 ABC=C=90 , GBC+GBA=90 , MAB=GBC, GBCMAB, BG AM = BC AB , EF AM = BC AB (3)过点 D作平行于 AB的直线交过点 A平行于 BC的直线于 R,交 BC的延长线于 S,连接 AC,则四边 形 ABSR是平行四边形 ABC=90 , 四边形 ABSR 是矩形, R=S=90 ,RS=A
7、B=10,AR=BS AMDN, 由(2)中结论可得: DN AM = BS AB AB=AD,CB=CD,AC=AC, ACDACB, ADC=ABC=90 , SDC+RDA=90 RAD+RDA=90 , RAD=SDC, RADSDC, CD AD = SC RD ,设 SC=x, 5 10 = x RD RD=2x,DS=10-2x, 在 Rt CSD中, 222 CDDSSC , 52=(10-2x)2+x2, x=3或 5(舍弃) , BS=5+x=8, DN AM = BS AB = 8 10 = 4 5 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定
8、理、矩形的判定与性质、平行四边 形的判定与性质等知识,是重要考点,难度一般,正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键 3如图,已知 ABC是等腰直角三角形,BAC90 ,点 D是 BC 的中点作正方形 DEFG,使点 A、 C分别在 DG 和 DE上,连接 AE,BG (1)试猜想线段 BG和 AE的关系(直接写出答案,不用证明) ; (2)将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转 (0 60 ) ,判断(1)中的结论是否仍然成立?请利用 图证明你的结论; (3)若 BCDE4,当 等于多少度时,AE 最大?并求出此时 AF的值 【答案】 (1)BGAE,BGAE,见解析; (2)结论成立,
9、BGAE,BGAE,见解析; (3)当 为 270 时,AE 最大,AF2 13 【分析】 (1)由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出 ADEBDG 就可以得出结论 (2)如图 2,连接 AD,由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出 ADEBDG 就可以得出 结论 (3)由(2)可知 BG=AE,当 BG取得最大值时,AE取得最大值,由勾股定理就可以得出结论 【详解】 解: (1)结论:BGAE,BGAE 理由:如图 1,延长 EA交 BG 于 K ABC是等腰直角三角形,BAC90 ,点 D是 BC的中点, ADBC,BDCD, ADBADC90 四边形 DEFG是正方形,
10、 DEDG 在 BDG和 ADE中, BDAD BDGADE GDED , BDGADE(SAS) , BGAE,BGDAED, GAKDAE, AKGADE90 , EABG (2)结论成立,BGAE,BGAE 理由:如图 2,连接 AD,延长 EA交 BG于 K,交 DG于 O 在 Rt BAC中,D为斜边 BC中点, ADBD,ADBC, ADG+GDB90 四边形 EFGD为正方形, DEDG,且GDE90 , ADG+ADE90 , BDGADE 在 BDG和 ADE中, BDAD BDGADE GDED , BDGADE(SAS) , BGAE,BGDAED, GOKDOE, OK
11、GODE90 , EABG (3)BGAE, 当 BG取得最大值时,AE取得最大值 如图 3,当旋转角为 270 时,BGAE BCDE4, BG2+46 AE6 在 Rt AEF中,由勾股定理,得 AF 22 AEEF 22 642 13 , AF2 13 【点睛】 本题是四边形综合题,考查了旋转的性质的运用,等腰直角三角形的性质的运用,勾股定理的运用,全等 三角形的判定及性质的运用,正方形的性质的运用,解答时证明三角形全等是关键 4如图,四边形 ABCD是正方形,G是 BC上任意一点,DEAG 于点 E,BFDE,且交 AG 于点 F (1)求证:ADEBAF; (2)求证:DEBFEF;
12、 (3)若 AB2,BG1,求线段 EF的长 【答案】 (1)见解析; (2)见解析; (3) 2 5 5 【分析】 (1)由正方形的性质可得 ABAD,ABCBAD90 ,根据 DEAG,利用直角三角形两锐角互余 的关系可得BAFADE,利用 AAS 即可证明 ADEBAF; (2)根据全等三角形的性质可得 DE=AF,BF=AE,根据线段的和差关系即可得结论; (3)利用勾股定理可求出 AG 的长,利用面积法可求出 BF的长,进而利用勾股定理可求出 AF的长,根据 BF=AE,EF=AF-AE 即可得答案 【详解】 (1)四边形 ABCD是正方形, ABAD,ABCBAD90 , DEAG
13、, AEDDEF90 , BFDE, AFBDEFAED90 , BAFDAEADEDAE90 BAFADE 在 ABF和 DAE 中, AFBDEA BAFADE ABAD , ADEBAF (2) DAEABF, AEBF,DEAF AFAEEF, DEBFEF (3)ABC90 , AG2AB2BG212225, 5AG S ABG 11 22 AB BGAG BF, 1 22 5 55 AB BG BF AG 在 Rt ABF中,AF2AB2BF222 2 2 5 () 5 16 5 , AF= 4 5 5 , AE=BF,EF=AF-AE, 2 5 5 EFAFBF 【点睛】 本题主
14、要考查了正方形的性质、 全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识, 解答本题的关键是根据 AAS 证明 ABF DAE,此题难度一般 5 如图所示, 四边形ABCD是正方形, G是BC上任意一点 (点G与,B C不重合) ,AEDG于E,/CFAE 交 DG于 F. 求证:AEFCEF. 【答案】见解析. 【分析】 首先证明 AEDDFC,则能得出 DE=FC,AE=DF,进而得出结论 【详解】 证明:四边形 ABCD 是正方形, AD=DC,ADC=90 又AEDG,CFAE, AED=DFC=90 , EAD+ADE=FDC+ADE=90 , EAD=FDC, 在 AED和 DFC 中,
15、AEDDFC EADFDC ADDC , AEDDFC(AAS) AE=DF,ED=FC DF=DE+EF, AE=FC+EF 【点睛】 本题考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质,熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定方法 是解题的关键 6四边形ABCD是边长为2的正方形,点M在边AD所在的直线上,连接CM,以M 为直角顶点在CM 右侧作等腰Rt CMN,连接.BN (1)如图 1,当点M在点A左侧,且A BN、 、三点共线时,BN _; (2)如图 2,当点M在点A右侧,且 5 2 AM 时,求BN的长: (3)若点M在边AD所在直线上,且26BN ,求AM的长 【答案】 (1)6;
16、 (2) 3 10 2 ; (3)1或 3 【分析】 (1)易证得四边形 CDMF和四边形 ANEM 都是矩形,证得 Rt EMNRt FCM,得到 MF= NE=BF=2, EM=FC=4,即可求得 BN的长; (2)易证得四边形 CDGH和四边形 ANHG都是矩形,证得 Rt CDMRt MGN,求得 NH= 3 2 , BH=AG=AM+MG 9 2 ,利用勾股定理即可求得 BN 的长; (3)分点 M在点 A左侧、点 M 在点 D右侧、点 M在线段 AD上三种情况讨论,分别利用勾股定理构造方 程即可求解 【详解】 (1)过 M 作 EFAB,过 N 作 NEEF于 E,延长 CB交 E
17、F于 F,如图所示: 又四边形ABCD是边长为2的正方形, 四边形 CDMF和四边形 ANEM 都是矩形, MF=CD=2,NE=BF,BN=EF, NMC=90,MN=MC, NMC=NEM=MFC=90, EMN+CMF=90,FCM +CMF=90, EMN=FCM, Rt EMNRt FCM, MF= NE=2,则 NE=BF=2, EM=FC=BF+BC=2+2=4, BN=EF=EM+MF=4+2=6; (2)过 N作 GHAB,延长 AD、BC交 GH于 G、H,如图所示: 又四边形ABCD是边长为2的正方形, 四边形 CDGH和四边形 ABHG 都是矩形, GH=CD=2,AG
18、=BH,DG=CH, AM= 5 2 , DM= 51 2 22 , 同理可证得 Rt CDMRt MGN, GN=DM= 1 2 ,MG=CD=2, NH= GH-GN=2- 13 22 , BH=AG=AM+MG= 59 2 22 , BN= 22 22 393 10 222 NHBH ; (3)点 M 在点 A 左侧, 过 M作 EFAB,过 N 作 NEEF于 E,延长 CB交 EF于 F,延长 BA交 NE于 G,如图所示: 又四边形ABCD是边长为2的正方形, 四边形 CDMF、四边形 BFEG 和四边形 AMEG都是矩形, MF=CD=2,AG=ME,EG=FB=AM, 同理可证
19、得 Rt NEMRt MFC, MF= EN=2,EM=FC, 设AMx,则BFEGx, 2FCEMx, 2GNENEGx ,4BGEFEMFMx , 在Rt NGB中, 22 2426xx, 整理得:31 =0 xx, 12 13xx ,(舍去), 1AM ; 点 M在点 D右侧, 过 N 作 EFAB,延长 AD、BC交 EF于 F、E,如图所示: 同理可得:EF=CD=2,BE=AF, 同理可证得 Rt CDMRt MFN, FN=DM,MF=CD=2, 设AMx,则2FNDMx, 4NEEFFNx ,2BEAFAMMFx , 在Rt BEN中, 22 2426xx 整理得: 2 230
20、 xx 解得: 12 31xx ,(舍去), 3AM ; 点 M在线段 AD 上, 过 M作 EFAB,过 N 作 NEEF于 E,延长 BA交 NE延长线于 H,如图所示: 同理可得:MF=CD=2,HE=AM=BF,BH=EF, 同理可证得 Rt EMNRt FCM, EN=MF=2,FM=FC, 设AMx,则HEBFx,FC=BC-BF=2x, 2NHENEHx,4BHEFEMMFx , 在Rt BHN中, 22 2426xx, 解得: 1 3x (舍去), 2 1x (舍去), 综上所述 AM 的值为 1 或 3 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,矩形的判定和性
21、质,等腰直角三角形的性质,勾股 定理的应用,作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键 7在正方形ABCD中,点G是边DC上的一点,点F是直线BC上一动点,FE AG于H,交直线AD 于点E (1)当点F运动到与点B重合时(如图 1),线段EF与AG的数量关系是_ (2) 若点F运动到如图 2 所示的位置时, (1) 探究的结论还成立吗?如果成立, 请给出证明: 如果不成立, 请说明理由 (3)如图 3,将边长为6的正方形ABCD折叠,使得点A落在边CD的中点M处,折痕为PQ,点P、Q 分别在边AD、BC上,请直接写出折痕PQ的长 【答案】 (1)EF=AG; (2)成立,理由见解析; (3)
22、3 5 【分析】 (1)利用 ASA 证明 ABEDAG全等即可得到结论; (2)过点 F作 FMAE,垂足为 M,利用 ASA 证明 ADGFME,即可得到结论; (3)过点 Q作 QHAD于 H, ,根据翻折变换的性质可得 PQAM,然后求出APQ=AMD,再利用“角 角边”证明 ADMQHP,根据全等三角形对应边相等可得 QP=AM,再利用勾股定理列式求出 AM,从 而得解 【详解】 解: (1)四边形 ABCD是正方形, BAE=ADG=90 ,AB=AD, ABE+AEB=90 , EFAG, AEB+DAG=90 , ABE=DAG, ABEDAG(ASA) , EF=BE=AG;
23、 (2)成立,理由是: 过点 F作 FMAE,垂足为 M, 四边形 ABCD是正方形, BAE=ADG=90 ,AD=CD, MF=CD=AD,EMF=90 , E+EFM=90 , EFAH, HAE+E=90 , HAE=EFM, ADGFME(ASA) , EF=AG; (3)如图,过点 Q作 QHAD 于 H,则四边形 ABQH中,HQ=AB, 由翻折变换的性质得 PQAM, APQ+DAM=90 ,AMD+DAM=90 , APQ=AMD, 四边形 ABCD是正方形, AD=AB, HQ=AD, 在 ADM和 QHP 中, QHPD APQAMD QHAD , ADMQHP(AAS)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 吃透 中考 数学 29 几何 模型 12 正方形 有关 垂线
链接地址:https://www.77wenku.com/p-171129.html