吃透中考数学29个几何模型模型09:有60和90角的旋转
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1、专题专题 09 09 有有 6060和和 9090角的旋转角的旋转 一、单选题一、单选题 1如图,在ABC中,ACB90 ,A30 ,AB8,点 P 是 AC上的动点,连接 BP,以 BP 为边作 等边BPQ,连接 CQ,则点 P 在运动过程中,线段 CQ 长度的最小值是( ) A2 B4 C 12 D32 【答案】A 【分析】 如图,取 AB的中点 E,连接 CE,PE由 QBCPBE(SAS) ,推出 QCPE,推出当 EPAC时,QC 的值最小; 【详解】 如图,取 AB 的中点 E,连接 CE,PE,则 AEBE4 ACB90 ,A30 , CBE60 , BEAE, CEBEAE,
2、BCE是等边三角形, BCBE, PBQCBE60 , QBCPBE, QBPB,CBEB, QBCPBE(SAS) , QCPE, 当 EPAC时,QC的值最小, 在 Rt AEP 中,AE4,A30 , PE 1 2 AE2, CQ的最小值为 2, 故选:A 【点睛】 本题旋转的性质,考查全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形 30度角的性质等 知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题 2如图,在四边形 ABCD 中,AD=5,CD=3,ABC=ACB=ADC=45 ,则 BD 的长为( ) A34 B 41 C43 D59
3、 【答案】D 【详解】 作 ADAD,AD=AD,连接 CD,DD,如图: BAC+CAD=DAD+CAD, 即BAD=CAD, 在 BAD与 CAD中, BACA BADCAD ADAD , BADCAD(SAS) , BD=CD DAD=90 由勾股定理得 DD= 22 5 2ADAD , DDA+ADC=90 由勾股定理得 CD= 222 35059DCDD , 故选 D 3 如图,ABCADEDFG、均为等边三角形,C EF、 、三点共线, 且E是CF的中点, 下列结论: ADGEDF; AEC为等腰三角形; DFAD GE; BAGBCE 60GEB , 其中正确的个数为( ) A2
4、 B3 C4 D5 【答案】B 【分析】 根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明 ADGEDF, ABGBCE,然后 一一判断即可. 【详解】 解:ADE、 DFG, ABC为等边三角形, DA=DE,DF=DG,ADE=FDG=AED=ACB=DAE=BAC=60 , ADG=EDF,DAB=CAE, ADGEDF,故正确, AG=EF, AG= EC, 如下图,当 D、G、E共线时,显然 AGAE,AGAB, ECAE,ECAC, AEC不是等腰三角形, 故错误, AD+EG=DE+GEDG,DG=DF AD+EGDF,故错误 ADGEDF, DEF=DAG, DEF+A
5、ED=EAC+ACE=EAC+ACB-BCE, EAC-DEF=BCE, BAG=DAB-DAG=EAC-DEF, BAG=BCE,故正确, ADGEDF, AG=EF=EC, BAG=BCE,AB=BC ABGBCE, ABG=EBC,BG=BE, EBG=ABC=60, BEG为等边三角形, BEG =60,故正确, 故选:B 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形 解决问题,属于中考常考题型 4 如图, 在四边形 ABCD中, AB=AD, BAD=60 , BCD=120 , AC=2, 则四边形 ABCD 的面积为 (
6、) A1 B 2 C3 D4 【答案】C 【分析】 将 ABC绕点 A 逆时针旋转 60 到 ADE, 有 ABC与 ADE 全等, 证明 C、 D、 E 三点共线, 再根据 ACE 为等边三角形即可求解; 【详解】 解:如图,将 ABC 绕点 A逆时针旋转 60 到 ADE, 则有 ABC与 ADE 全等 AC=AE,ABC=ADE BAD=60 ,BCD=120 ADC+ADE=ADC+ABC=180 C、D、E 三点共线 BC+CD=DE+DC=CE 又CAE 等于旋转角,即CAE=60 , ACE为等边三角形 ACE的面积为 22 33 23 44 AC 由旋转可知四边形 ABCD的面
7、积等于 ACE的面积 故选:C 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质,关键是将 ABC绕点 A逆时针旋转 60 到 ADE 5如图,在等边 ABC中,D 是边 AC 上一点,连接 BD,将 BCD 绕点 B逆时针旋转 60 ,得到 BAE, 连接 ED,下列结论正确的有( )个 BED 是等边三角形;AEBC; ADE 的周长等于 BD+BC;ADEDBC A1 B2 C3 D4 【答案】D 【分析】 根据旋转的性质得 BE=BD,AE=CD,DBE=60 ,于是可判断 BDE为等边三角形,则有 DE=BD,所以 AED的周长=BD+AC,且C=BAE=ABC =60 得正确
8、;根据三角形内角和定理得 ADE=ABE,结合ABE+ABD=DBC+ABD=60 ,可得正确. 【详解】 在等边 ABC 中, BCD绕点 B逆时针旋转 60 得到 BAE, BE=BD,AE=CD,DBE=60,C=BAE=60 BDE为等边三角形,ABC=BAE=60 DE=BD,AEBC; AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC 故正确 ABC, BDE为等边三角形, BED=BAC=60 又对顶角相等 ADE=ABE ABE+ABD=DBC+ABD=60 ADEDBC 故正确 故选:D 【点睛】 题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应
9、点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋 转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定与性质 二、解答题二、解答题 6 (探索发现) 如图,已知在 ABC中,BAC= 45 ,ADBC,垂足为 D,BEAC,垂足为 E,AD与 BE相交于 F (1)线段 AF与 BC的数量关系是:AF BC, (用,=填空) ; (2)若ABC=67.5 ,试猜想线段 AF与 BD有何数量关系,并说明理由 (拓展应用) (3)如图,在 ABC中,ADBC,垂足为 D,已知BAC=45 ,C=22.5 ,AD=2 2 ,求 ABC 的面积 【答案】 (1)=; (2)AF=2BD,见解析; (3)8 【分析】 (
10、1)证出 ABE是等腰直角三角形,得出 BE=AE,证明 CBEFAE(ASA) ,即可得出结论; (2)结论:AF=2BD只要证明 ABC是等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一的性质以及(1)得到 的结论即可解决问题; (3)如图中,作 CHAB交 AB的延长线于 H,延长 CH 交 AD的延长线于 G只要证明 BC=2AD,利用 三角形面积公式 1 2 BCAD,即可解决问题 【详解】 (1)BAC=45 ,BEAC, ABE是等腰直角三角形, BE=AE, ADBC, C+CBE=C+FAE=90 , CBE =FAE, 在 CBE和 FAE 中, 90 CEBFEA BEAE CBEF
11、AE , CBEFAE(ASA) , AF=BC; (2)结论 AF=2BD 理由:BAC=45 ,ABC=67.5 , C=180-BAC-ABC=67.5 , C=ABC, ABC是等腰三角形,且 AB=AC, ADBC, BD=CD= 1 2 BC, 由(1)得:AF=BC=2BD; (3)如图,作 CHAB交 AB的延长线于 H,延长 CH交 AD的延长线于 G AHC=90 , HAC=HCA=45 , AH=HC, ADCD, ADB=BHC=90 , ABD=CBH, GAH=BCH, AHG=CHB=90 , AHGCHB, BC=AG, ACB=22.5 ,HCA=45 ,
12、ACD=GCD=22.5 , 又CDAG, AGC 是等腰三角形,且 GC=AC, AD=GD=2 2, BC=AG=2AD=4 2, ABC的面积为: 11 4 22 28 22 BCAD 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的 关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题 7在 ABC中90AOB,AO=BO,直线 MN经过点 O,且 ACMN于 C,BDMN于 D (1) 当直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时,求证:CD=AC+BD; (2) 当直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时,求证:CD=AC-BD; (3) 当
13、直线 MN 绕点 O旋转到图的位置时,试问:CD、AC、BD有怎样的等量关系?请写出这个等量关 系,并加以证明 【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3)CD=BD-AC,证明见解析. 【分析】 (1)通过证明 ACOODB 得到 OC=BD,AC=OD,则 CD=AC+BD; (2)通过证明 ACOODB 得到 OC=BD,AC=OD,则 CD=AC-BD; (3)通过证明 ACOODB 得到 OC=BD,AC=OD,则 CD=BD-AC 【详解】 解: (1)如图 1, AOB 中,AOB=90 , AOC+BOD=90 , 直线 MN经过点 O,且 ACMN 于 C,BDM
14、N于 D, ACO=BDO=90 AOC+OAC=90 , OAC=BOD, 在 ACO和 ODB中, 90ACOODB OACBOD AOOB ACOODB(AAS) , OC=BD,AC=OD, CD=AC+BD; (2)如图 2, AOB 中,AOB=90 , AOC+BOD=90 , 直线 MN经过点 O,且 ACMN 于 C,BDMN于 D, ACO=BDO=90 AOC+OAC=90 , OAC=BOD, 在 ACO和 ODB中, 90ACOODB OACBOD AOOB , ACOODB(AAS) , OC=BD,AC=OD, CD=ODOC=ACBD,即 CD=ACBD (3)
15、如图 3, AOB 中,AOB=90 , AOC+BOD=90 , 直线 MN经过点 O,且 ACMN 于 C,BDMN于 D, ACO=BDO=90 AOC+OAC=90 , OAC=BOD, 在 ACO和 ODB中, 90ACOODB OACBOD AOOB , ACOODB(AAS) , OC=BD,AC=OD, CD=OCOD=BDAC, 即 CD=BDAC 【点睛】 此题是一道几何变换综合题,需要掌握全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,是一个探究题目, 对于学生的能力要求比较高. 8 (1) (方法探索)如图1,在等边ABC中,点P在ABC内,且6PA,8PC ,120APB
16、, 求PB的长 小敏在解决这个问题时,想到了以下思路:如图1,把APC绕着点A顺时针旋转60得到APB,连 接 PP ,分别证明 APP 和 BPP 是特殊三角形,从而得解请在此思路提示下,求出 PB的长 解:把APC绕着点A顺时针旋转60得到APB,连接 PP,请接着写下去: (2) (方法应用)请借鉴上述利用旋转构图的方法,解决下面问题 如图2,点P在等边ABC外,且 4PA,3PB,120APB,若2 10AB ,求APB度数; 如图3,在ABC中,90BAC , 10ABAC ,P是ABC外一点,连接PA、PB、PC已 知45APB,2PB 请直接写出PC的长 【答案】 (1)10,过
17、程见解析; (2)30 ;2 10 【分析】 (1)如图 1中,把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B,连接PP,证明PP B是直角三角形 即可解解决问题 (2)如图 2 中,把APB绕着点B顺时针旋转60得到BCD,连接PD,证明PD,C共线,利 用勾股定理的逆定理证明90PBC即可解决问题 如图 3中,过点A作ADAP,使得ADAP,连接PD,BD证明 ()DABPAC SAS ,推出 DBPC,求出BD即可解决问题 【详解】 解: (1)如图 1 中,把APC绕着点A顺时针旋转60得到AP B,连接PP, 由旋转不变性可知,6APAP ,8BPPC ,150APCAP B ,P AB
18、PAC , 60P APBAC , AP P 为等边三角形, 6P PPA ,60AP P, 1506090PP B 在BP P中, 6P P,8BP , 2222 6810PBPPP B (2)如图 2 中,把APB绕着点B顺时针旋转60得到BCD,连接PD, ABC是等边三角形, 2 10ABBC,60ABC, 由旋转不变性可知,4APCD,3BPBD,120APBBDC ,PBADBC, 60PBDABC , PBD为等边三角形, 60BDP, 180BDPBDC, P,D,C共线, 2 10ABBC,3PB, 347PC , 222 PBBCPC, 90PBC, 60ABC, 9060
19、30ABP 如图 3中,过点A作ADAP,使得ADAP,连接PD,BD PAD,ABC都是等腰直角三角形, ADAP,ABAC,PADBAC, ()DABPAC SAS , DBPC, 45APDAPB , 90DPB, 过点B作BHPA于H, 2PBQ,45BPH, 2BHPH, 在Rt ABH中,90AHB,10AB =, 2BH , 22 1022 2AHABBH , 3 2APAD, 26PDPA, 在Rt DPB中, 2222 622 10BDPDPB , 2 10PCBD 【点睛】 本题属于几何变换综合题,考查了旋转变换,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关 键是学
20、会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题 9在ABC中,ABAC ,点P在平面内,连接AP,并将线段AP绕A顺时针方向旋转与BAC相等 的角度,得到线段AQ,连接BQ (1)如图,如果点P是BC边上任意一点则线段BQ和线段PC的数量关系是_ (2) 如图, 如果点P为平面内任意一点 前面发现的结论是否仍然成立?若成立, 请给予证明; 若不成立, 请说明理由请仅以图所示的位置关系加以证明(或说明) ; (3) 如图, 在DEF中,8DE ,60EDF,75DEF,P是线段EF上的任意一点, 连接DP, 将线段DP绕点D顺时针方向旋转 60 ,得到线段DQ,连接EQ请直接写出线段EQ长
21、度的最小值 【答案】 (1)相等; (2)成立,证明见解析; (3)2 62 2 【分析】 (1)先判断出BAQ=CAP,进而用 SAS 判断出 BAQCAP,即可得出结论; (2)结论 BQ=PC仍然成立,理由同(1)的方法; (3)先构造出 DEQDHP,得出 EQ=HP,进而判断出要使 EQ最小,当 HPEF(点 P 和点 M 重合) 时,EQ 最小,最后用解直角三角形即可得出结论 【详解】 解: (1)由旋转知:AQ=AP, PAQBAC , PAQBAPBACBAP , BAQCAP , ABAC, BAQCAP SAS , BQCP 故答案为:相等 (2)BQPC仍成立,理由如下:
22、 证明:由旋转知:AQ=AP, PAQBAC , PAQBAPBACBAP , BAQCAP , ABAC, BAQCAP SAS , BQC (3)如图: 在 DF上取一点 H,使8DHDE,连接,过点作HMEF于,由旋转知,DQDP, 60PDQ, 60EDF, PDQEDF , EDQHDP , DEQDHP SAS , EQHP, 要使 EQ 最小,则有 HP 最小,而点 H是定点,点 P是 EF上的动点, 当HMEF(点 P 和点 M 重合)时,HP 最小, 即:点 P 与点 M重合,EQ最小,最小值为 HM, 过点 E作EGDF于 G,在Rt DEG中,8DE ,60EDF, 30
23、DEG, 1 4 2 DGDE, 34 3EGDG , 在Rt EGF中,753045FEGDEFDEG, 9045FFEGFEG, 4 3FGEG , 44 3DFDGFG , 44 384 34FHDFDH , 在Rt HMF中,45F, 22 4 342 62 2 22 HMFH, 即:EQ 的最小值为2 62 2 【点睛】 本题考查旋转的性质、最值问题,属于几何变换综合题,掌握全等三角形的证明方法,点到直线的距离等 知识为解题关键 10已知在Rt ABC中,90ACB,ACBC ,CDAB于D (1)如图 1,将线段CD绕点C顺时针旋转90得到CF,连接AF交CD于点G 求证:AGGF
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