吃透中考数学29个几何模型模型23:一字并肩型解直角三角形
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1、专题专题 23 23 一字并肩型解直角三角形一字并肩型解直角三角形 一、单选题一、单选题 1如图,港口A在观测站O的正东方向,2OAkm,某船西东从港口A出发,沿北偏东15方向航行一 段距离后到达B处, 此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向, 则该船航行的距离 (即AB的长) 为( ) A2km B3km C 2km D3 1 km 【答案】C 【分析】 过点A作ADOB于D 先解Rt AOD, 得出AD= 1 2 OA=1, 再由 ABD是等腰直角三角形, 得出BD=AD=1, 则 AB= 2AD=22 【详解】 如图,过点 A 作 ADOB于 D 在 Rt AOD中,ADO=90
2、,AOD=30 ,OA=2, AD= 1 2 OA=1 在 Rt ABD中,ADB=90 ,B=CAB-AOB=75 -30 =45 , BD=AD=1, AB= 2AD=2 即该船航行的距离(即 AB的长)为 2km 故选:C 【点睛】 此题考查解直角三角形的应用-方向角问题,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键 2如图,一艘轮船从位于灯塔 C的北偏东方向,距离灯塔 60 海里的小岛 A出发,沿正南方向航行一段时 间后,到达位于灯塔 C 的南偏东方向上的 B 处,这时轮船 B 与小岛 A的距离是( ) A30 3 海里 B(3030 3) 海里 C120海里 D60海里 【答案】B 【分析】
3、 过点 C作 CDAB 于点 D,先解 Rt ACD,求出 AD,CD,再根据 BD=CD,即可解出 AB 【详解】 如图,过点 C 作 CDAB于点 D, 则ACD=30 ,BCD=45 , 在 Rt ACD中,AD= 1 2 CA= 1 2 60=30(海里) , CD=CA cosACD=60 3 2 =30 3(海里) , BCD=45 ,BDC=90 , 在 Rt BCD中,BD=CD, AB=AD+BD=AD+CD=(30+30 3)海里, 故选:B 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题,解一般三角形的问题,一般可以转化为解直角三角 形的问题,解题的关键是作高线 二
4、、解答题二、解答题 3 为进一步加强疫情防控工作, 避免在测温过程中出现人员聚集现象, 某学校决定安装红外线体温监测仪, 该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温,无需人员停留和接触,安装说明 书的部分内容如表 名称 红外线体温检测仪 安装示意图 技术参数 探测最大角:OBC=73.14 探测最小角:OAC=30.97 安装要求 本设备需安装在垂直于水平地面 AC的支架 CP上 根据以上内容,解决问题: 学校要求测温区域的宽度 AB 为 4m,请你帮助学校确定该设备的安装高度 OC (结果精确到 0.1m,参考数据:sin73.140.957,cos73.140.290,
5、tan73.143.300,sin30.970.515, cos30.970.857,tan30.970.600) 【答案】该设备的安装高度 OC约为 2.9m 【分析】 根据题意可得 OCAC,OBC=73.14 ,OAC=30.97 ,AB=4m,所以得 AC=AB+BC=4+BC,根据直角 三角形锐角三角函数列式计算即可 【详解】 根据题意可知: OCAC,OBC=73.14 ,OAC=30.97 ,AB=4m, AC=AB+BC=4+BC, 在 Rt OBC中,BC= tanOBC3.3 OCOC , 在 Rt OAC中,OC=ACtanOAC(4+BC)0.6, OC=0.6(4+
6、3.3 OC ), 解得 OC2.9(m) 答:该设备的安装高度 OC约为 2.9m 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用,根据三角函数得到关于 OC的方程是解题的关键 4热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部的俯角为60,热气球 与高楼的水平距离为 66m,这栋高楼有多高?(结果精确到 0.1m,参考数据:31.73) 【答案】152.2 【分析】 过点 A作ADBC于点 D, 根据仰角和俯角的定义得到BAD和CAD的度数, 利用特殊角的正切值求出 BD 和 CD的长,加起来得到 BC的长 【详解】 解:如图,过点 A 作ADBC于点 D, 根据题意,30B
7、AD,60CAD,66ADm, 3 tan306622 3 3 BDADm , tan6066366 3CDADm , 22 366 388 3152.2BCm 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法 5如图,C地在 A地的正东方向,因有大山阻隔,由 A 地到 C 地需要绕行 B地,已知 B位于 A地北偏东 67 方向,距离 A地 520 km,C 地位于 B地南偏东 30 方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求 A 地 到 C 地之间高铁线路的长 (结果保留整数)参考数据: (sin67 12 13 ;cos67 5 13 ;ta
8、n67 12 5 ;31.73) 【答案】A地到C地之间高铁线路的长约为596 km 【分析】 过点 B作 BDAC 于点 D,利用锐角三角函数的定义求出 AD及 CD的长,进而可得出结论 【详解】 解:如解图,过点B作BDAC于点D, B地位于A地北偏东67方向,距离A地520km, 67ABD , 12 sin67520480() 13 ADABkm , 5 cos67520200() 13 BDABkm C地位于B地南偏东30方向, 30CBD , 3200 3 tan30200() 33 CDBDkm , 200 3 480596() 3 ACADCDkm 答:A地到C地之间高铁线路的
9、长约为596 km 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题,解题关键是添加常用辅助线,构造直角三角形 6为加强我市创建文明卫生城市宣传力度,需要在甲楼 A 处到 E处悬挂一幅宣传条幅,在乙楼顶部 D点测 得条幅顶端 A 点的仰角ADF=45 ,条幅底端 E 点的俯角为FDE=30 ,DFAB,若甲、乙两楼的水平距 离 BC为 21 米,求条幅的长 AE约是多少米?(31.73,结果精确到 0.1 米) 【答案】33.1米 【分析】 根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可 【详解】 解: 过点 D 作 DFAB,如图所示: 在 Rt ADF中,DF=BC=21 米,ADF=4
10、5 AF=DF=21米 在 Rt EDF中,DF=21米,EDF=30 EF=DF tan30 =7 3米 AE=AF+BF=7 3+2133.1米 答:条幅的长 AE 约是 33.1 米 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的应用,关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长 7为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办,某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情,以每秒 10 米的速度沿平行于岸边的赛道 AB由西向东行驶在 A 处测得岸边一建筑物 P 在北偏东 30 方向上,继续行 驶 40 秒到达 B处时,测得建筑物 P 在北偏西 60 方向上,如图所示,求建筑物 P 到赛道 AB的距离(结果 保留
11、根号) 【答案】100 3米. 【解析】 【分析】如图,作 PCAB于 C,构造出 Rt PAC与 Rt PBC,求出 AB的长度,利用特殊角的三角函数 值进行求解即可得. 【详解】如图,过 P 点作 PCAB于 C, 由题意可知:PAC=60 ,PBC=30 , 在 Rt PAC中,tanPAC= PC AC ,AC= 3 3 PC, 在 Rt PBC中,tanPBC= PC BC ,BC= 3PC, AB=AC+BC= 3 3 PC+ 3PC=10 40=400, PC=100 3, 答:建筑物 P 到赛道 AB的距离为 100 3米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确添加辅助线构
12、造直角三角形,利用特殊角的三角 函数值进行解答是关键. 8某次台风来袭时,一棵笔直且垂直于地面的大树 AB 被刮倾斜后在 C处折断倒在地上,树的顶部恰好接 触到地面 D处,测得ACD60 ,ADC37 ,AD5 米,求这棵大树 AB的高 (结果精确到 0.1米) (参考数据:sin370.6,cos370.8,tan370.75, 31.73) 【答案】这棵大树 AB 原来的高度约是 9.2米 【分析】 过点 A作 AECD于点 E,解 Rt AED,求出 DE及 AE的长度,再解 Rt AEC,得出 CE及 AC的长,进 而可得出结论 【详解】 过点 A作 AECD于点 E,则AECAED9
13、0 在 Rt AED中,ADC37 ,AD=5, cos37 DE AD 5 DE 0.8, DE4, sin37 AE AD 5 AE 0.6, AE3, 在 Rt AEC 中, CAE90 ACE90 60 30 , CEAE tanCAE= 3 3 AE3 , AC2CE2 3, ABAC+CE+ED2 3+3+433+49.2(米) 答:这棵大树 AB 原来的高度约是 9.2米 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键 9汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去 A、B 两个村庄抢险,飞机在距地面 450 米上空的 P 点,测得 A 村的
14、俯角为 30 ,B 村的俯角为 60 (如图)则 A,B两个村庄间的距离是多少米(结果保留根号) 【答案】A,B两个村庄间的距离 300 3米 【分析】 根据两个俯角的度数可知ABP 是等腰三角形,ABBP,在直角 PBC中,根据三角函数就可求得 BP的 长 【详解】 解:过 P 作 AB 的垂线,垂足是 C, 由题意得:AAPQ30 ,PBCBPQ60 , APB60 30 , APBA, ABPB 在 RtBCP中,C90 ,PBC60 ,PC450 米, PB 450 sin60 450 3 2 300 3 ABPB300 3 答:A,B两个村庄间的距离 300 3米 【点睛】 此题考查
15、的是解直角三角形的应用,正确理解解直角三角形的条件,熟练运用三角函数是解题关键 10如图,在 A岛周围 50海里水域有暗礁,一轮船由西向东航行到 O 处时,发现 A 岛在北偏东 60 方向, 轮船继续正东方向航行 40海里到达 B处发现 A岛在北偏东 45 方向,该船若不改变航向继续前进,有无触 礁的危险?(参考数据:31.732) 【答案】无触礁的危险 【分析】 根据已知条件解直角三角形 OAC可得 A岛距离航线的最短距离 AC 的值,若 AC50,则无触礁危险,若 ACQ, 没有触礁的危险 【点睛】 本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30角直角三角形的性质、相
16、似三 角形的判定与性质等知识;熟练掌握直角三角形的性质,证明三角形相似是解题的关键 18如图,某野外生态考察小组早晨 7点整从 A 营地出发,准备前往正东方向的 B营地,由于一条南北向 河流的阻挡(图中阴影部分) ,他们需要从 C 处过桥经过测量得知,A、B 之间的距离为 13 km,A 和B 的度数分别是 37 和 53 ,桥 CD 的长度是 0.5 km,图中的区域 CDFE 近似看做一个矩形区域 (1)求 CE的长; (2)该考察小组希望到达 B 营地的时间不迟于中午 12 点,则他们的行进速度至少是多少?(结果保留 1 位小数) (参考数据:sin370.60,cos370.80,ta
17、n370.75) 【答案】 (1)CE 的长为6km; (2)他们的行进速度至少是3.6/km h 【分析】 (1) 设C E x k m, 先根据矩形的性质可得0.5EFCDkm,CEDFxkm,CEEF,DFEF, 再解直角三角形分别求出 4 3 AEx, 3 4 BFx,然后根据线段的和差列出等式,求解即可得; (2)先根据题(1)的结论求出 AE、BF、DF的长,再利用勾股定理分别求出 AC、BD的长,然后根据速 度的计算公式列出不等式,求解即可得 【详解】 (1)设CExkm 四边形 CDFE 是矩形 0.5EFCDkm,CEDFxkm,CEEF,DFEF 在RtACE中,tan C
18、E A AE ,即tan37 x AE 解得 4 () tan370.753 xx AEx km 在Rt BDFV中,9037BDFB ,tan BF BDF DF ,即tan37 BF x 解得 3 tan370.75() 4 BFxxx km 又AEEFBFAB 43 0.513 34 xx 解得6()xkm 故 CE的长为6km; (2)由(1)可知, 4 8 3 AExkm, 39 42 BFxkm,6DFxkm 则 2222 6810()ACCEAEkm 2222 915 6( )7.5() 22 BDCFBFkm 设他们的行进速度为/ykm h 由题意得: 127 ACCDBD y
19、 ,即 100.57.5 5 y 解得3.6(/ )ykm h 答:他们的行进速度至少是3.6/km h 【点睛】 本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用、勾股定理等知识点,掌握解直角三角形的方法是解题 关键 19一艘渔船从位于 A海岛北偏东 60 方向,距 A海岛 60 海里的 B处出发,以每小时 30 海里的速度沿正南 方向航行已知在 A海岛周围 50海里水域内有暗礁 (参考数据:31.73, 52.24, 72.65) (1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险?请说明理由 (2)渔船航行 3小时后到达 C 处,求 A,C之间的距离 【答案】 (1)没有危险,理由见解析; (2)7
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- 吃透 中考 数学 29 几何 模型 23 并肩 直角三角形
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