吃透中考数学29个几何模型模型25:步步高型解直角三角形
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1、专题专题 2525 步步高型解直角三角形步步高型解直角三角形 一、单选题一、单选题 1如图,竖直放置的杆AB,在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的 D处,而此时 1米的杆影长恰好 为 1米,现量得BC为 10米,CD为 8米,斜CD与地面成 30 角,则杆的高度AB为( )米 A64 3 B10 34 C8 D6 【答案】A 【分析】 如图: 延长 AB 交水平线于点 E,过 C作 DE的垂线,垂足为 F,则 CF=BE,BC=EF,根据题意可知CDE=30 结合 CD=8运用三角函数可得CF=4, DF=4 3,即BE=CF=4,DE=EF+DF=10+4 3;又由1米的杆影长恰好为1米,
2、 则 AE:DE=1:1,解得 AE=10+4 3;最后由 AB=AE-BE 即可解答 【详解】 解:如图:延长 AB交水平线于点 E,过 C作 DE 的垂线,垂足为 F,则 CF=BE,BC=EF CDE=30 ,CD=8 CF=CD sin30 =8 1 2 =4,DF=CD cos30 =8 3 2 =4 3 DE= EF+DF=10+4 3 又1 米的杆影长恰好为 1米 AE:DE=1:1,即 AE=DE=10+4 3 AB=AE-BE=10+4 3-4=6+4 3 故答案为 A 【点睛】 本题考查了锐角三角函数解直角三角形,根据题意正确构造直角三角形并灵活运用三角函数解三角形是解 答
3、本题的关键 2如图,在平面直角坐标系中,点 A1,A2,A3,A4,在 x 轴正半轴上,点 B1,B2,B3,在直线 y 3 3 x(x0)上,若 A1(1,0) ,且 A1B1A2, A2B2A3, A3B3A4,均为等边三角形,则线段 B2019B2020的长 度为( ) A22021 3 B22020 3 C22019 3 D22018 3 【答案】D 【分析】 设 BnAnAn+1的边长为 an,根据直线的解析式能够得出AnOBn=30 ,再结合等边三角形的性质及外角的性 质即可得出OBnAn=30 ,OBnAn+1=90 ,从而得出 BnBn+1= 3an,由点 A1的坐标为(1,0
4、) ,得到 a1=1, a2=1+1=2, a3=1+a1+a2=4, a4=1+a1+a2+a3=8, , an=2n1 即可求得 B2019B2020= 3a2019=3 2 2018=22018 3 【详解】 设等边 BnAnAn+1的边长为 an, 点 B1,B2,B3,是直线 y= 3 3 x上的第一象限内的点, AnOBn=30 , 又BnAnAn+1为等边三角形, BnAnAn+1=60 , OBnAn=30 ,OBnAn+1=90 , BnBn+1=OBn= tan30 n a = 3an, 点 A1的坐标为(1,0) , a1=1,a2=1+1=2,a3=1+a1+a2=4,
5、a4=1+a1+a2+a3=8, an=2n1 B2019B2020= 3a2019=3 2 2018=22018 3, 故选:D 【点睛】 本题考查了一次函数的规律探究问题,等边三角形的性质以及三角形外角的性质,解直角三角形等,解题 的关键是找出规律 BnBn+1=OBn= 3an,解决该题型题目时,根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是 关键 二、解答题二、解答题 3如图,小明的家在某住宅楼AB的最顶层,他家对面有一建筑物CD,他很想知道建筑物的高度,他首 先量出A到地面的距离 AB为16m,又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30,看建筑物顶部D的 仰角为53且AB,CD都与地面垂直,点
6、A,B,C,D在同一平面内 (1)求AB与CD之间的距离(结果保留根号) ; (2)求建筑物CD的高度(结果精确到1m) 参考数据:sin530.8,cos530.6,tan531.3,31.7 【答案】 (1)AB与CD之间的距离16 3m; (2)建筑物CD的高度约为51m 【分析】 (1)作 AMCD于 M,根据矩形的性质得到 CM=AB=16,AM=BC,根据正切的定义求出 AM; (2)根据正切的定义求出 DM,结合图形计算,得到答案 【详解】 解: (1)作AMCD于M, 则四边形ABCM为矩形,53DAM,30CAM 16CMAB,AMBC, 在Rt ACM中,tan CM CA
7、M AM 则 16 16 3 tantan30 CM AM CAM 答:AB与CD之间的距离16 3m; (2)在Rt AMD中,tan DM DAM AM , 则tan16 1.7 1.335.36DMAMDAM 35.36 1651DCDMCMm 答:建筑物CD的高度约为 51m 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题 的关键 4如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,13CD米,斜坡CD的坡度为5:12,高为DE,在斜坡 下的点C处测得楼顶 B的仰角为64,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45,其中A CE、 、在同 一直
8、线上 (1)求DE的长度; (2)求大楼AB的高度 (参考数据:sin640.9,tan642) 【答案】 (1)DE =5 米; (2)AB =34 米 【分析】 (1)根据坡度的定义,设5DEx,12ECx,再利用勾股定理求出 x 的值,从而得到 DE 的长度; (2)过点 D 作DFAB于点 F,设BFx,根据锐角三角函数用 x表示出 DF和 CA,再利用DFEA 列式求出 x 的值,最后算出 AB的长 【详解】 解: (1)斜坡 DC的坡度是 5:12, 设5DEx,12ECx , 根据勾股定理, 222 DEECDC,即 22 2 51213xx,解得1x , 5DE (米) ; (
9、2)如图,过点 D作DFAB于点 F, 设BFx,5ABx , 在Rt BDFV中, tan1 BFx DFx BDF , 在Rt ABC中, 5 tan2 BAx CA BCA , DFEA, 5 12 2 x x ,解得29x, 29 534AB (米) 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用,解题的关键是掌握构造直角三角形并利用锐角三角函数去解直角三角 形的方法 5 如图, 在坡角为 28 的山坡上有一铁塔 AB, 其正前方矗立着一大型广告牌, 当阳光与水平线成 45 角时, 测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米, 落在广告牌上的影子CD的长为6米, 求铁塔AB的高(AB、 C
10、D 均与水平面垂直,结果保留一位小数,参考数据:sin280.47,cos280.88) 【答案】铁塔 AB 的高为 10.1m 【分析】 根据题意过点 C作 CEAB于 E,过点 B作 BFCD于 F,在 Rt BFD 中,分别求出 DF、BF的长度,在 Rt ACE中,求出 AE、CE的长度,继而分析即可求得 AB的长度 【详解】 解:过点 C作 CEAB于 E,过点 B作 BFCD于 F, 在 Rt BFD 中, DBF=28 ,BD=10, DF=BD sinDBF100.47=4.7, BF=BD cosDBF100.88=8.8, ABCD,CEAB,BFCD, 四边形 BFCE
11、为矩形, BF=CE=8.8,CF=BE=CDDF=1.3, 在 Rt ACE 中,ACE=45 , AE=CE=8.8, AB=8.8+1.3=10.1 答:铁塔 AB 的高为 10.1m 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形并利用三角函数的 知识求解 6西安市某中学在创建“特色校园”的活动中,将本校的办学理念做成宣传牌(AB) ,放置在教学楼的顶部 (如图所示) 小明在操场上的点 D 处, 用 1 米高的测角仪 CD, 从点 C测得宣传牌的底部 B 的仰角为 30 , 然后向教学楼正方向走了 5 米到达点 F处,又从点 E测得宣传牌的顶部
12、A的仰角为 45 ,已知教学楼高 BM 16米,且点 A,B,M在同一直线上,求宣传牌 AB 的高度 (结果保留根号) 【答案】宣传牌 AB的高度为(15 320)米 【分析】 根据题意构造直角三角形,利用三角函数求解 【详解】 解:如图: 过点 C作 CGAM于 G, 得矩形 CDMG和矩形 EFMG, MGCDEF1 (米) , BM16(米) , GB15 (米) , 设 AB为 x, AEG45 EGAG15+x,CG20+x, 在 Rt CBG中,BCG30 , tan30 3 3 BG CG , 即 315 320 x , 解得 x15 320(米) 答:宣传牌 AB的高度为(15
13、 320)米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,解决本题的关键是掌握仰角和俯角定义 7如图,某数学兴趣小组为测量一颗古树 BH和教学楼 CG 的高,先在 A 处用高 1.5米的测角仪 AF测得古 树顶端 H 的仰角HFE为45,此时教学楼顶端 G 恰好在视线 FH 上,再向前走 10 米到达 B 处,又测得 教学楼顶端 G 的仰角GED为60,点 A、B、C三点在同一水平线上 (1)求古树 BH的高; (2)求教学楼 CG的高 (参考数据:21.4, 31.7) 【答案】 (1)古树 BH 的高为 11.5 米; (2)教学楼 CG 的高约为 25 米 【分析】 (1)由45
14、HFE知10HEEF,据此得1.5 10 11.5BHBEHE; (2)设DE x米,则3DGx米,由45GFD知GD DFEFDE,据此得310 xx,解 之求得 x的值,代入31.5CGDGDCx计算可得 【详解】 解: (1)在Rt EFH中,9045HEFHFE, 10HEEF , 1.5 10 11.5BHBEHE, 古树的高为 11.5 米; (2)在Rt EDG中,60GED, 603DGDEtanDE , 设DEx米,则3DGx米, 在Rt GFD中,9045GDFGFD, GD DFEFDE, 310 xx , 解得:5 35x, 31.53 5 351.5 16.55 32
15、5CGDGDCx (), 答:教学楼 CG的高约为 25 米 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决 问题,属于中考常考题型 六、拓展探索题 8如图,已知楼AB高30m,从楼顶A处测得旗杆C的俯角为60,又从离地面5m的一窗口E测得旗杆 顶C的仰角为45,求旗杆CD的高.(结果精确到0.1m, 31.73 , 21.41 ) 【答案】14.1m 【分析】 过点 C作 CGAE,垂足为点 G,由题意得CEF=45 =CEG,ACG=60 ,设 CG=x,在 Rt ACG 中, AG=CGtanACG= 3x,在 Rt ECG中,EG=
16、 tan CG CEG =x,根据 AG+EG=AE,列方程3x+x=30-5, 得到 CF=EG= 25( 31) 2 ,于是得到结论 【详解】 解:过点 C作 CGAE,垂足为点 G, 由题意得CEF=45 =CEG,ACG=60 , 设 CG=x, 在 Rt ACG中,AG=CGtanACG= 3x, 在 Rt ECG 中,EG= tan CG CEG =x, AG+EG=AE, 3x+x=30-5, 解得:x= 25( 31) 2 , CF=EG= 25( 31) 2 , CD= 25( 31) 2 +514.1m 答:该旗杆 CD的高为 14.1m 【点睛】 此题主要考查了仰角与俯角
17、问题,正确应用锐角三角函数关系是解题关键 9 小华和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度 PA, 检验自己掌握知识和运用知 识的能力如图所示,旗杆直立于旗台上的点 P 处,他们的测量方法是:首先,在阳光下,小华站在旗杆 影子的顶端 F 处此时,量的小华的影长 FG2m小华身高 EF1.6m;然后,在旗杆影子上的点 D处,安 装测频器 CD测得旗杆顶端 A 的仰角为 49 ,量得 CD0.6m,DF5m,旗台高 BP1.2m已知在测量 过程中,点 B、D、F、G在同一水平直线上,点 A、P、B在同一条直线上,AB、CD、EF均垂直于 BG, 求旗杆的高度 PA(参考数据:si
18、n490.8,cos490.7,tan491.2) 【答案】旗杆的高度 PA为 9m 【分析】 过 C 作 CHAB 于 H,则四边形 BDCH 是矩形,根据矩形的性质得到 CHBD,BHCD0.6m,设 BD CHx,则 BF(5+x)m,根据三角函数的定义得到 AHCHtan491.2x,求得 AB1.2x+0.6,根据相 似三角形的性质即可得到结论 【详解】 解:过 C 作 CHAB 于 H,则四边形 BDCH 是矩形, CHBD,BHCD0.6m, 设 BDCHx,则 BF(5+x)m, 在 Rt AHC 中,tanACH AH CH , AHCHtan491.2x, AB1.2x+0
19、.6, 连接 EG, ABFEFG90 ,AFBEGF, ABFEFG, ABBF EFFG , 1.20.65 1.62 xx , 解得:x8.5, AB10.8, AP10.81.29.6(m) , 答:旗杆的高度 PA为 9m 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,相似三角形的判定与性质等知识,解题的关键是学会添加常 用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型 10如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm,灯罩 BC长为 30cm,底座厚度为 2cm,灯臂与 底座构成的BAD=60 , 使用发现,光线最佳时灯罩 BC与水平线所成的角为 30 ,此时灯
20、罩顶端 C到桌面 的高度 CE是多少 cm? 【答案】 (20 3+17)cm 【分析】 过点B作BMCE于点M,BFDA于点F, 在Rt BCM和Rt ABF中, 通过解直角三角形可求出CM、BF 的长,再由 CE=CM+BF+ED 即可求出 CE 的长 【详解】 过点 B作 BMCE 于点 M,BFDA于点 F,如图所示 在 Rt BCM中,BC=30cm,CBM=30 , CM=BCsinCBM=15cm 在 Rt ABF中,AB=40cm,BAD=60 , BF=ABsinBAD=20 3cm ADC=BMD=BFD=90 , 四边形 BFDM 为矩形, MD=BF, CE=CM+MD
21、+DE=CM+BF+ED=15+20 3+2=203+17(cm) 答:此时灯罩顶端 C到桌面的高度 CE 是(20 3+17)cm 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质,通过解直角三角形求出 CM、BF的长是解题的关 键 11 如图, 在坡角为 20 的山坡上有一铁塔 AB、 其正前方矗立着一大型广告牌, 当阳光与水平线成 45 角时, 测得铁塔 AB 落在斜坡上的影子 BD10 米, 落在广告牌上的影子 CD5米, 已知 AB, CD均与水平面垂直, 请根据相关测量信息,求铁塔 AB 的高 (sin200.34,cos200.94,tan200.36) 【答案】铁塔
22、AB 的高约为 11 米 【分析】 过点 C作 CEAB于 E,过点 B作 BNCD于 N,在 Rt BND 中,分别求出 DN、BN 的长度,在 Rt ACE 中,求出 AE、CE的长度,继而可求得 AB 的长度 【详解】 过点 C作 CEAB于 E,过点 B作 BNCD于 N, 在 Rt BND 中, DBN=20 ,BD=10, DN=BDsinDBN10 0.34=3.4, BN=BDcosDBN10 0.94=9.4, ABCD,CEAB,BNCD, 四边形 BNCE 为矩形, BN=CE=9.4,CN=BE=CDDN=1.6, 在 Rt ACE 中,ACE=45 , AE=CE=9
23、.4, AB=9.4+1.6=11(米) 答:铁塔 AB 的高约为 11米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形,利用三角函数 的知识求解 12遥感兴趣小组在如图所示的情景下,测量无人机的飞行高度,如图,点, ,A B C在同一平面内,操控手 站在坡度是3:1,i 坡面长4m的斜坡BC的底部C处遥控无人机,坡顶B处的无人机以0.3/m s的速度, 沿仰角38a 的方向爬升,25s时到达空中的点A处,求此时无人机离点C所在地面的高度(结果精确到 0.1 ,m参考数据: 380.62sin,380.79cos, 380.78,21.4131.73
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