吃透中考数学29个几何模型模型29:平行线中和角平分线有关的图形
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1、专题专题 29 29 平行线中和角平分线有关的图形平行线中和角平分线有关的图形 一、单选题一、单选题 1在钝角 ABC中,延长 BA 到 D,AE是DAC的平分线,AE/BC,则与B 相等的角有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】 依据角平分线的性质和平行线的性质即可求解 【详解】 解析:依据角平分线的性质和平行线的性质, 可知B =DAE=CAE=C 故选 C 【点睛】 此题主要考查角平分线的性质与平行线的性质,解题的关键是熟知角平分线的性质 2如图,点 A、C 为FBE 边上的两点,ADBE,AC 平分BAD,若FAD45 ,则ACE( ) A45 B67.
2、5 C112.5 D135 【答案】C 【分析】 先根据平角的定义求出BAD,根据角平分线的性质求出DAC,再利用平行线的性质,得到ACB的度 数最后通过平角求出ACE 【详解】 解:FAD45 , BAD180 -45 135 AC平分BAD, DAC 1 2 BAD67.5 ADBE, ACBDAC67.5 ACE180 -67.5 112.5 故选:C 【点睛】 本题考查平行的性质和角平分线的性质,解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数,能够从角平分线 和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形 3如图,已知 BM平分ABC,且 BM/AD,若ABC70 ,则A的度数是( ) A30 B3
3、5 C40 D70 【答案】B 【分析】 先根据角平分线的性质,求出ABC 的度数,再由平行线的性质得到A的度数 【详解】 解:BM 平分ABC, MBA 1 2 ABC35 BMAD, AMBA35 故选:B 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质,平行线的性质,掌握以上知识是解题的关键 二、解答题二、解答题 4如图所示,直线 ABCD,直线 EF分别交 AB、CD于 E、F两点,BEF、DFE 的平分线相交于点 K (1)求EKF的度数; (2)如图(2)所示,作BEK、DFK 的平分线相交于点 K1,问K1与K的度数是否存在某种特定的 等量关系?写出结论并证明 (3)在图(2)中作BEK1
4、、DFK1的平分线相交于点 K2,作BEK2、DFK2的平分线相交于点 K3,依 此类推,请直接写出K4的度数 【答案】 (1)EKF90 ; (2)K2K1,证明见解析; (3)K45.625 【分析】 (1) 过 K 作 KGAB, 交 EF于 G, 根据平行于同一条直线的两直线平行可得 ABKGCD, 从而得出BEK EKG,GKFKFD,BEK+FEK+EFK+DFK180 ,然后根据角平分线的定义即可求出 BEK+DFK90 ,从而得出结论; (2)根据角平分线的定义可得BEK1KEK1,KFK1DFK1,结合(1)的结论可得BEK1+DFK1 45 ,从而求出K1,即可得出结论;
5、(3)根据(2)中的规律即可得出结论 【详解】 (1)如图(1) ,过 K作 KGAB,交 EF于 G, ABCD, ABKGCD, BEKEKG,GKFKFD,BEK+FEK+EFK+DFK180 , EK、FK 分别为BEF与EFD 的平分线, BEKFEK,EFKDFK, 2(BEK+DFK)180 , BEK+DFK90 , 则EKFEKG+GKF90 ; (2)K2K1,理由为: BEK、DFK的平分线相交于点 K1, BEK1KEK1,KFK1DFK1, BEK+FEK+EFK+DFK180 ,即 2(BEK+KFD)180 , BEK+KFD90 ,即BEK1+DFK145 ,
6、同(1)得K1BEK1+DFK145 , 则K2K1; (3)如图(3) , 根据 (2) 中的规律和推导方法可得: K2 1 2 K122.5 , K3 1 2 K211.25 , K4 1 2 K35.625 【点睛】 此题考查的是平行线的性质及判定,掌握平行线的各个性质定理是解题关键 5如图,已知 AMBN,A64 点 P 是射线 AM 上一动点(与点 A 不重合) ,BC、BD 分别平分ABP 和PBN,分别交射线 AM 于点 C,D (1)ABN的度数是 ;AMBN,ACB ; (2)求CBD 的度数; (3)当点 P运动时,APB 与ADB之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化,
7、请写出它们之间的关 系,并说明理由:若变化,请写出变化规律; (4)当点 P运动到使ACBABD时,ABC的度数是 【答案】 (1)116 , CBN; (2)58; (3)不变,: 2:1APBADB,理由见解析; (4)29 . 【分析】 (1)由平行线的性质,两直线平行,同旁内角互补可直接求出;由平行线的性质,两直线平行,内错 角相等可直接写出; (2)由角平分线的定义可以证明CBD 1 2 ABN,即可求出结果; (3)不变,APB:ADB2:1,证APBPBN,PBN2DBN,即可推出结论; (4)可先证明ABCDBN,由(1)ABN116 ,可推出CBD58 ,所以ABC+DBN5
8、8 , 则可求出ABC 的度数 【详解】 解: (1)AM/BN,A64 , ABN180 A116 , 故答案为:116 ; AM/BN, ACBCBN, 故答案为:CBN; (2)AM/BN, ABN+A180 , ABN180 64 116 , ABP+PBN116 , BC平分ABP,BD 平分PBN, ABP2CBP,PBN2DBP, 2CBP+2DBP116 , CBDCBP+DBP58 ; (3)不变, APB:ADB2:1, AM/BN, APBPBN,ADBDBN, BD 平分PBN, PBN2DBN, APB:ADB2:1; (4)AM/BN, ACBCBN, 当ACBAB
9、D时, 则有CBNABD, ABC+CBDCBD+DBN ABCDBN, 由(1)ABN116 , CBD58 , ABC+DBN58 , ABC29 , 故答案为:29 【点睛】 本题考查了角平分线的定义,平行线的性质等,解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分 线的定义等 6如图 1,在平面直角坐标系中,( ,0), ( ,2)A aC b ,且满足 2 (2)20ab,过C作CBx轴于B (1)求ABC的面积 (2)若过B作/BDAC交y轴于D,且,AE DE分别平分,CABODB,如图 2,求AED的度数 (3)在y轴上存在点P使得ABC和ACP的面积相等,请直接写出P点坐标
10、 【答案】 (1)4; (2)45; (2)(0,3)P或(0, 1) 【分析】 (1)根据非负数的性质易得2a ,2b,然后根据三角形面积公式计算; (2) 过E作/EFAC, 根据平行线性质得/BDACEF, 且 1 31 2 CAB , 1 42 2 ODB , 所以 1 12() 2 AEDCABODB ;然后把90CABODB 代入计算即可; (3)分类讨论:设(0, )Pt,当P在y轴正半轴上时,过P作/MNx轴,/ /ANy轴,/ /BMy轴,利用 4 APCANPCMPMNAC SSSS 梯形 可得到关于t的方程,再解方程求出t; 当P在y轴负半轴上时,运用同样方法可计算出t
11、【详解】 解: (1) 2 (2)20ab, 20a ,20b, 2a ,2b, CBAB ( 2,0)A ,(2,0)B, (2,2)C , ABC的面积 1 2 44 2 ; (2)解: / /CBy轴, /BDAC, 5CAB , 又590ODB , 90CABODB, 过E作/EFAC,如图, /BDAC, / / /BDACEF, 31 ,42 AE,DE分别平分CAB,ODB,即: 1 3 2 CAB , 1 4 2 ODB , 1 12()45 2 AEDCABODB ; (3) (0, 1)P 或(0,3) 解:当P在y轴正半轴上时,如图, 设(0, )Pt, 过P作/MNx轴
12、,/ /ANy轴,/ /BMy轴, 4 APCANPCMPMNAC SSSS 梯形 , 4(2) (2)4 2 tt tt ,解得3t , 当P在y轴负半轴上时,如图 4 APCANPCMPMNAC SSSS 梯形 4(2) (2)4 2 tt tt ,解得1t , 综上所述:(0,3)P或(0, 1) 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质:两直线平行,内错角相等也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以 及三角形面积公式构造矩形求三角形面积是解题关键 7阅读下面材料: 彤彤遇到这样一个问题: 已知:如图甲,AB/CD,E为 AB,CD之间一点,连接 BE,DE,得到BED 求证:BEDB+D
13、彤彤是这样做的: 过点 E作 EF/AB, 则有BEFB AB/CD, EF/CD FEDD BEF+FEDB+D 即BEDB+D 请你参考彤彤思考问题的方法,解决问题:如图乙 已知: 直线 a/b, 点 A, B 在直线 a 上, 点 C, D在直线 b 上, 连接 AD, BC, BE平分ABC, DE平分ADC, 且 BE,DE 所在的直线交于点 E (1)如图 1,当点 B在点 A 的左侧时,若ABC60 ,ADC70 ,求BED的度数; (2)如图 2,当点 B在点 A 的右侧时,设ABC,ADC,直接写出BED的度数(用含有 , 的式子表示) 【答案】 (1)65 ; (2) 11
14、 180 22 【分析】 (1)如图 1,过点 E作 EFAB,当点 B 在点 A 的左侧时,根据ABC=60 ,ADC=70 ,参考彤彤思考 问题的方法即可求BED的度数; (2)如图 2,过点 E作 EFAB,当点 B 在点 A 的右侧时,ABC=,ADC=,参考彤彤思考问题的方 法即可求出BED的度数 【详解】 (1)如图 1,过点 E作 EFAB, 有BEF=EBA ABCD, EFCD FED=EDC BEF+FED=EBA+EDC 即BED=EBA+EDC, BE 平分ABC,DE平分ADC, EBA= 1 2 ABC=30 ,EDC= 1 2 ADC=35 , BED=EBA+E
15、DC=65 答:BED 的度数为 65 ; (2)如图 2,过点 E作 EFAB, 有BEF+EBA=180 BEF=180 EBA, ABCD, EFCD, FED=EDC BEF+FED=180 EBA+EDC 即BED=180 EBA+EDC, BE 平分ABC,DE平分ADC, EBA= 1 2 ABC= 1 2 ,EDC= 1 2 ADC= 1 2 , BED=180 EBA+EDC=180 1 2 + 1 2 答:BED 的度数为 180 1 2 + 1 2 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义,解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质 8 如图, 已知/AM
16、BN,60A , 点 P 是射线 AM上一动点 (与点 A不重合) , BC, BD 分别平分 ABP 和PBN,分别交射线 AM于点 C,D (1)求CBD的度数 (2)当点 P 运动时,:APBADB的比值是否随之变化?若不变,请求出这个比值;若变化,请找出变化 规律; (3)当点 P 运动到某处时,ACBABD,求此时ABC的度数 【答案】 (1)60 ; (2)不变,APB:ADB=2:1; (3)30 【分析】 (1)根据角平分线的定义只要证明CBD= 1 2 ABN即可; (2)不变可以证明APB=PBN,ADB=DBN= 1 2 PBN (3)想办法证明ABC=CBP=DBP=D
17、BN 即可解决问题; 【详解】 解: (1)AMBN, ABN=180 -A=120 , 又BC,BD分别平分ABP 和PBN, CBD=CBP+DBP= 1 2 (ABP+PBN)= 1 2 ABN=60 , (2)不变理由如下: AMBN, APB=PBN,ADB=DBN, 又BD 平分PBN, ADB=DBN= 1 2 PBN= 1 2 APB, APB:ADB=2:1 (3)AMBN, ACB=CBN, 又ACB=ABD, CBN=ABD, ABC=ABD-CBD=CBN-CBD=DBN, ABC=CBP=DBP=DBN, ABC= 1 4 ABN=30 , 【点睛】 本题考查平行线的
18、性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常 考题型 9如图,已知 ABCD,BE 平分ABC,交 CD于点 D,CDE=160 ,求 C 的度数 【答案】140 【分析】 先根据邻补角的定义求出CDB的度数, 再根据平行线的性质及角平分线的定义得出ADB及ABC的度 数,由平行线的性质可得出C的度数 【详解】 解:CDE=160 , CDB=180 -CDE=180 -160 =20 , ABCD, ABD=CDB=20 , BE平分ABC, ABC=2ABD=2 20 =40 , C=180 -ABC=180 -40 =140 【点睛】 本题考查的是平行线的
19、性质、角平分线的定义及邻补角的性质,熟知平行线的性质是解答此题的关键 10如图,已知:ADBC于 D,EGBC于 G,AD平分BAC,求证:1=E下面是部分推理过程, 请你填空或填写理由 证明:ADBC,EGBC (已知), ADC=EGC=90 ( ) , ADEG( ) , 2=_,( ) 3=_(两直线平行,同位角相等) 又AD平分BAC( ) , 2=3( ) , 1=E( ) 【答案】垂直的定义;同位角相等,两直线平行;1;两直线平行,内错角相等;E;已知;角平分线 的定义;等量代换 【分析】 根据平行线的性质和判定以及角平分线的定义证明即可 【详解】 证明:ADBC,EGBC (已
20、知), ADC=EGC=90 (垂直的定义) , AD/EG(同位角相等,两直线平行) , 2=1,(两直线平行,内错角相等) 3=E(两直线平行,同位角相等) 又AD平分BAC(已知) , 2=3(角平分线的定义) , 1=E(等量代换) 【点睛】 本题主要考查平行线的性质及判定,角平分线的定义,掌握平行线的性质及判定是解题的关键 11已知直线/AB CD,直线 EF分别交 AB、CD于点 A、C,CM是ACD 的平分线,CM 交 AB于点 H, 过点 A作 AGAC交 CM于点 G (1)如图 1,点 G在 CH的延长线上时,若GAB =36 ,求MCD的度数; (2)如图 2,点 G在
21、CH上时,试说明:2MCD+GAB=90 【答案】 (1)63 ; (2)见解析 【分析】 (1)依据 AGAC,GAB=36 ,可得CAH的度数,依据角平分线的定义以及平行线的性质,即可得 到MCD的度数; (2)结合(1)得 ACD+CAH=180 ,再依据角平分线的定义,即可得 2MCD+GAB=90 【详解】 (1)AGAC,GAB=36 , CAH=90 -36 =54 , ABCD, ACD+CAH=180 , ACD=126 , CM 是ACD的平分线, ACH=DCM=63 ; (2)ACH=DCM, ACD=2MCD, 由(1)得 ACD+CAH=180 , AGAC, CA
22、G=90 , 2MCD+90 +GAB=180 , 2MCD+GAB=90 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质,垂直的定义,角平分线的定义,利用两直线平行,同旁内角互补是解决问 题的关键 12阅读理解:我们知道“三角形三个内角的和为 180”,在学习平行线的性质之后,可以对这一结论进行 推理论证 请阅读下面的推理过程: 如图,过点 A作 DE/BC B=EAB,C=DAC 又EAB+BAC+DAC=180 B+BAC+C=180 即:三角形三个内角的和为 180 阅读反思: 从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将BAC、B、C“凑”在一起,得出角 之间的关系 方法运用:
23、 如图,已知 AB/DE,求B+BCD+D的度数 (提示:过点 C作 CF/AB) 深化拓展: 如图, 已知 AB/CD, 点 C在点 D的右侧, ADC=70 , 点 B 在点 A 的左侧, ABC=60 , BE平分ABC, DE 平分ADC,BE、DE所在的直线交于点 E,且点 E 在 AB 与 CD两条平行线之间,求BED的度数 【答案】方法运用:360 ;深度拓展:65 【分析】 方法运用:过 C作 CFAB,根据平行线的性质得到DFCD,BBCF,然后根据已知条件即可 得到结论; 深化拓展:过点 E 作 EFAB,然后根据两直线平行内错角相等,再利用角平分线的定义和等量代换即可求
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