2021版中考压轴题专题突破2：一次函数与等腰三角形（含解析）

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1、一次函数压轴题之等腰三角形一次函数压轴题之等腰三角形 1如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C（2，m）为直线 yx+2 上一点，直线 yx+b 过点 C （1）求 m 和 b 的值； （2）直线 yx+b 与 x 轴交于点 D，动点 P 从点 D 开始以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向运动设点 P 的运动时间为 t 秒 若点 P 在线段 DA 上，且ACP 的面积为 10，求 t 的值； 是否存在 t 的值，使ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 2如图，直线 ykx3 与 x 轴、y 轴分别交于 B

2、、C 两点，且 （1）求 B 点坐标和 k 值； （2）若点 A（x，y）是直线 ykx3 上在第一象限内的一个动点，当点 A 在运动过程中，试写出AOB 的 面积 S 与 x 的函数关系式； （不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，探究： 当 A 点运动到什么位置时，AOB 的面积为，并说明理由； 在成立的情况下，x 轴上是否存在一点 P，使AOP 是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所 有 P 点坐标；若不存在，请说明理由 3如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知 OA 6，OB10点 D 为

3、y 轴上一点，其坐标为（0，2） ，点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 AC CB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为 t 秒 （1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式； （2）求OPD 的面积 S 关于 t 的函数解析式； 如图 2，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标 （3）点 P 在运动过程中是否存在使BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由 4已知直线 y4x4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，直线 yxb 过点 C，与 x 轴交于点

4、 B （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）动点 D 从点 A 出发，沿线段 AB 向终点 B 运动，同时，动点 E 从点 B 出发，沿线段 BC 向终点 C 运动， 速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动 连接 ED，设BDE 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式 在运动过程中，当BDE 为等腰三角形时，直接写出 t 的值 5如图，点 A 在 y 轴上，点 B 在 x 轴上，且 OAOB1，经过原点 O 的直线 l 交线段 AB 于点 C，过 C 作 OC 的垂线，与直线 x1 相交于点 P，现将直线 L 绕 O 点旋转，使交点 C

5、 从 A 向 B 运动，但 C 点必须在第一象 限内，并记 AC 的长为 t，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当AOC 和BCP 全等时，求出 t 的值； （2）通过动手测量线段 OC 和 CP 的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论； （3）设点 P 的坐标为（1，b） ， 试写出 b 关于 t 的函数关系式和变量 t 的取值范围 求出当PBC 为等腰三角形时点 P 的坐标 6如图，直线 y2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，将OAB 绕点 O 逆时针方向旋转 90后得到 OCD （1）填空：点 C 的坐标是（ ， ） ，点 D 的坐标是（ ， ） ； （2）

6、设直线 CD 与 AB 交于点 M，求线段 BM 的长； （3）在 y 轴上是否存在点 P，使得BMP 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由 7 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 ykx+b 的图象与 y 轴的正半轴交于点 A， 与 x 轴交于点 B （2， 0） ，ABO 的面积为 2动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在射线 BO 上运动，动点 Q 从 O 出 发，沿 x 轴的正半轴与点 P 同时以相同的速度运动，过 P 作 PMX 轴交直线 AB 于 M （1）求直线 AB 的解析式 （2） 当点 P 在线段 OB 上运

7、动时， 设MPQ 的面积为 S， 点 P 运动的时间为 t 秒， 求 S 与 t 的函数关系式 （直 接写出自变量的取值范围） （3）过点 Q 作 QNx 轴交直线 AB 于 N，在运动过程中（P 不与 B 重合） ，是否存在某一时刻 t（秒） ，使 MNQ 是等腰三角形？若存在，求出时间 t 值 8如图 1，在平面直角坐标系中 RtAOBRtDCA，其中 B（0，4） ，C（2，0） 连接 BD （1）求直线 BD 的解析式； （2）点 E 是直线 AD 上一点，连接 BE，以 BE，ED 为一组邻边作 BEDF，当 BEDF 的面积为 3 时，求点 E 的坐标； （3） 如图 2， 将DA

8、C 沿 x 轴向左平移， 平移距离大于 0， 记平移后的DAC 为DAC， 连接 DA， D B，当DAB 为等腰三角形时，直接写出点 D的坐标 9如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于 x 轴，y 轴于 B、A 两点，D、E 分别是 OA、OB 的 中点，点 P 从点 D 出沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQAB 于 Q，过点 Q 作 QROA 交 OB 于 R，当点 Q 与 B 点重 合时，点 P 停止运动 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求 PQ 的长度； （3）是否存在点 P，使PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的点 R 的坐标；若不存在，请 说明理由 10如图

9、甲，直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x，y 轴的正半轴上，且 OA8，OC4一次函 数的图象（直线 l）与矩形的边 BC（或 OC） ，AB（或 OA）交于 E，F （1）求证：直线 lAC； （2）当直线 l 与矩形边 BC，AB 相交时，请用含 b 的代数式表示 BE 的长； （3）如图乙，G 为 OA 的中点，连结 GE，GF，问是否存在 b 的值，使EFG 是等腰三角形？若存在，请求出 所有 b 的值；若不存在，请说明理由 11如图，已知直线 yx+7 与直线 yx 交于点 A，且与 x 轴交于点 B，过点 A 作 ACy 轴与点 C点 P 从 O 点以每秒 1

10、 个单位的速度沿折现 OCA 运动到 A；点 R 从 B 点以相同的速度向 O 点运动，一个点到 终点时，另一个点也随之停止运动 （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 R 作直线 ly 轴，直线 l 交线段 BA 或线段 AO 于点 Q在运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时，以 A，P，R 为顶点的三角形的面积为 8？ 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 12已知直线 l 经过 A（6，0）和 B（0，12）两点，且与直线 yx 交于点 C （1）求直线 l 的解析式； （2）若点 P（x，0

11、）在线段 OA 上运动，过点 P 作 l 的平行线交直线 yx 于 D，求PCD 的面积 S 与 x 的函 数关系式；S 有最大值吗？若有，求出当 S 最大时 x 的值； （3）若点 P（x，0）在 x 轴上运动，是否存在点 P，使得PCA 成为等腰三角形？若存在，请写出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由 13如图，已知一次函数 yx+7 与正比例函数 yx 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度，沿 OCA 的路线向点 A 运动；同

12、时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴 于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动在运动过程中，设动 点 P 运动的时间为 t 秒 当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ 是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由 14如图，过 A（8，0） 、B（0，）两点的直线与直线交于点 C、平行于 y 轴的直线 l 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向右平移，到 C 点时停止；l 分别交线段 BC、OC

13、 于点 D、E，以 DE 为边向左侧作等边DEF， 设DEF 与BCO 重叠部分的面积为 S （平方单位） ， 直线 l 的运动时间为 t （秒） （1）直接写出 C 点坐标和 t 的取值范围； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （3）设直线 l 与 x 轴交于点 P，是否存在这样的点 P，使得以 P、O、F 为顶点的三角形为等腰三角形？若 存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 15如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：yx+与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，直线 l2与直线 y x 平行，且与直线 l1相交于点 B，与 x 轴交于点 C （1）求点 C 坐标； （2

14、）若点 P 是 y 轴右侧直线 l1上一动点，点 Q 是直线 l2上一动点，点 D（2，6） ，求当 SPBCS四 边形 AOBD时，点 P 的坐标，并求出此时，PQ+DQ 的最小值； （3）将AOB 沿着直线 l2平移，平移后记为A1O1B1，直线 O1B1交 11于点 M，直线 A1B1交 x 轴于点 N，当 B1MN 是等腰三角形时，求点 A1的横坐标 16 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 A （0， 2） ， 动点 P 在 yx 的图象上运动 （不与 O 重合） ， 连接 AP 过 点 P 作 PQAP，交 x 轴于点 Q，连接 AQ （1）求线段 AP 长度的取值范围； （2）

15、试问：点 P 运动的过程中，QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由 （3）当OPQ 为等腰三角形时，求点 Q 的坐标 17如图，直线 ykx+b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A（4，0） 、B（0，4） ，点 P 在 x 轴上运动，连接 PB，将 OBP 沿直线 BP 折叠，点 O 的对应点记为 O （1）求 k、b 的值； （2）若点 O恰好落在直线 AB 上，求OBP 的面积； （3） 将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转 45得到线段 PC， 直线 PC 与直线 AB 的交点为 Q， 在点 P 的运动过程中， 是否存在某一位置，使得PBQ 为等腰三角形？若存在，求出点

16、 P 的坐标；若不存在，请说明理由 18如图 1，已知在ABC 中，ABC90，ABBC8，且点 C 与点 A 在 x 轴，点 B 在 y 轴 上 （1）直接写出直线 AB 和直线 BC 的解析式； （2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，作 PEx 轴交 BC 于点 E，交 y 轴于点 G当 PD+PE 13 时，在线段 AB 轴上有一动点 Q，在线段 OB 轴上有一动点 R，连接 DR，RQ，求 DR+RQ 的最小值和此时 点 Q 的坐标； （3）如图 2，在（2）的结论下，将PBG 绕点 B 逆时针旋转 45至PBG将PBG沿射线 BC 方向 平移，设平移后

17、的PBG为PBG，连接 PC，当CBP是等腰三角形时，求PBG的平移距 离 d 19如图 1，在平面直角坐标系中，已知直线 l：yx+3 交 y 轴于点 A，x 轴于点 B，BAO 的角平分 线 AC 交 x 轴于点 C，过点 C 作直线 AB 的垂线，交 y 轴于点 D （1）求直线 CD 的解析式； （2）如图 2，若点 M 为直线 CD 上的一个动点，过点 M 作 MNy 轴，交直线 AB 与点 N，当四边形 AMND 为菱 形时，求ACM 的面积； （3）如图 3，点 P 为 x 轴上的一个动点连接 PA、PD，将ADP 沿 DP 翻折得到A1DP，当以点 A、A1、B 为顶 点的三角

18、形是等腰三角形时，求点 P 的坐标 1 【解答】解： （1）把点 C（2，m）代入直线 yx+2 中得：m2+24， 点 C（2，4） ， 直线 yx+b 过点 C， 4+b，b5； （2）由题意得：PDt， yx+2 中，当 y0 时，x+20， x2， A（2，0） ， yx+5 中，当 y0 时，x+50， x10， D（10，0） ， AD10+212，即 0t12， ACP 的面积为 10， 410， t7， 则 t 的值 7 秒； 存在，分三种情况： i）当 ACCP 时，如图 1，过 C 作 CEAD 于 E， PEAE4， PD1284， 即 t4； ii）当 ACAP 时，如

19、图 2， ACAP1AP24， DP1t124， DP2t12+4； iii）当 APPC 时，如图 3， OAOB2 BAO45 CAPACP45 APC90 APPC4 PD1248，即 t8； 综上，当 t4 秒或（124）秒或（12+4）秒或 8 秒时，ACP 为等腰三角形 2 【解答】解： （1）在 ykx3 中，令 x0，则 y3，故 C 的坐标是（0，3） ，OC3， ， OB，则 B 的坐标是： （，0） ， 把 B 的坐标代入 ykx3，得：k30，解得：k2； （2）OB， 则 S（2x3）x； （3）根据题意得：x，解得：x3，则 A 的坐标是（3，3） ； OA3， 当

20、 O 是AOP 的顶角顶点时，P 的坐标是（3，0）或（3，0） ； 当 A 是AOP 的顶角顶点时，P 与过 A 的与 x 轴垂直的直线对称，则 P 的坐标是（6，0） ； 当 P 是AOP 的顶角顶点时，P 在 OA 的中垂线上，OA 的中点是（，） ， 与 OA 垂直的直线的斜率是：1，设直线的解析式是：yx+b，把（，）代入得：+b， 解得：b3， 则直线的解析式是：yx+3，令 y0，解得：x3，则 P 的坐标是（3，0） 故 P 的坐标是： （3，0）或（3，0）或（6，0）或（3，0） 3 【解答】解： （1）OA6，OB10，四边形 OACB 为长方形， C（6，10） 设此时

21、直线 DP 解析式为 ykx+b， 把（0，2） ，C（6，10）分别代入，得 ， 解得 则此时直线 DP 解析式为 yx+2； （2）当点 P 在线段 AC 上时，OD2，高为 6，S6； 当点 P 在线段 BC 上时，OD2，高为 6+102t162t，S2（162t）2t+16； 设 P（m，10） ，则 PBPBm，如图 2， OBOB10，OA6， AB8， BC1082， PC6m， m 222+（6m）2，解得 m 则此时点 P 的坐标是（，10） ； （3）存在，理由为： 若BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图 3， 当 BDBP1OBOD1028， 在 RtBCP1中，

22、BP18，BC6， 根据勾股定理得：CP12， AP1102，即 P1（6，102） ； 当 BP2DP2时，此时 P2（6，6） ； 当 DBDP38 时， 在 RtDEP3中，DE6， 根据勾股定理得：P3E2， AP3AE+EP32+2，即 P3（6，2+2） ， 综上，满足题意的 P 坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，102） 4 【解答】解： （1）在 y4x4 中，令 y0 得：4x40， 解得：x1，则 A 的坐标是（1，0） ， 令 x0，解得：y4，则 C 的坐标是（0，4） ， 代入 yxb 得：b4，解得：b4， 则直线的解析式是：yx4， 令 y0，解得：x4，则

23、 B 的坐标是（4，0） （2）作 EFx 轴于点 F A 的坐标是（1，0） ，B 的坐标是（4，0） ，C 的坐标是（0，4） ， AB5，OB4，OC4 则 BD5t，OBC 是等腰直角三角形 BEF 是等腰直角三角形， EFBEt， SBD EFt（5t） ， 即函数解析式是：Stt 2 当 BDBE 时，BD5t，则可以得到 5tt，解得：t； 当 BDDE 时，BEF 是等腰直角三角形，则 BE 是斜边，因而 BEBD，则 t（5t） 解得：t105； 当 DEBE 时，BEF 是等腰直角三角形，则 BD 是斜边，因而 BDBE，即 5tt，解得：t5（ 1） 则 t或 105或

24、5（1） 5 【解答】解： （1）AOC 和BCP 全等，则 AOBC1， 又 AB， 所以 tABBC1； （2）OCCP 证明：过点 C 作 x 轴的平行线，交 OA 与直线 BP 于点 T、H PCOC， OCP90， OAOB1， OBA45， THOB， BCH45，又CHB90， CHB 为等腰直角三角形， CHBH， AOBOBHBHT90， 四边形 OBHT 为矩形，OTBH， OTCH， TCO+PCH90， CPH+PCH90， TCOCPH， HBx 轴，THOB， CTOTHB90，TOHC，TCOCPH， OTCCHP， OCCP； （3）OTCCHP， CTPH，

25、PHCTATAC cos45t， BHOTOAAT1t， BPBHPH|1t|， b1t； （0t） t0 时，PBC 是等腰直角三角形，但点 C 与点 A 重合，不在第一象限，所以不符合， PBBC，则t|1t|， 解得 t1 或 t1（舍去） ， 当 t1 时，PBC 为等腰三角形， 即 P 点坐标为：P（1，1） 6 【解答】解： （1）y2x+2， 当 x0 时，y2， 当 y0 时，x1 ，A（1，0） ，B（0，2） ， 将OAB 绕点 O 逆时针方向旋转 90后得到OCD， OC0A1，ODOB2， 点 C 的坐标是（0，1） ，点 D 的坐标是（2，0） ， 故答案为：0，1，

26、2，0 （2）由（1）可知：CD，BC1， 又ABOADC，BCMDCO BMCDOC（有两角对应相等的两三角形相似） ， ， 即， BM， 答：线段 BM 的长是 （3）存在， 分两种情况讨论： 以 BM 为腰时， BM，又点 P 在 y 轴上，且 BPBM， 此时满足条件的点 P 有两个，它们是 P1（0，2+） 、P2（0，2） ， 过点 M 作 MEy 轴于点 E， BMC90，则BMEBCM， ， BE， 又BMPM， PEBE， BP， OP2， 此时满足条件的点 P 有一个，它是 P3（0，） ， 以 BM 为底时，作 BM 的垂直平分线，分别交 y 轴、BM 于点 P、F， 由

27、（2）得BMC90， PFCM， F 是 BM 的中点， BPBC， OPOBBP2， 此时满足条件的点 P 有一个，它是 P4（0，） ， 综上所述，符合条件的点 P 有四个， 它们是：P1（0，2+） 、P2（0，2） 、P3（0，） 、P4（0，） 答：存在，所有满足条件的点 P 的坐标是 P1（0，2+） 、P2（0，2） 、P3（0，） 、P4（0，） 7 【解答】解： （1）SABOOAOBAO22，则 OA2，即点 A（0，2） ， 将点 A、B 的坐标代入一次函数表达式：ykx+b 得：，解得：， 直线 AB 的表达式为：yx+2； （2）t 秒时，点 P 的坐标为（2+t，0

28、） ，则 MPBPt， SPQMP2tt（0t2） ； （3）存在，理由： t 秒时，点 M、N、Q 的坐标分别为（2+t，t） 、 （t，t+2） 、 （t，0） ， 则：MN 24+48，MQ24+t2，NQ2（t+2）2， 当 MNMQ 时，即：84+t 2，t2（负值已舍去） ， 当 MNNQ 时，同理可得：t22（负值已舍去） ， 当 MQNQ 时，同理可得：t0（舍去） ， 故：当MNQ 是等腰三角形时，t2 或 22 8 【解答】解： （1）RtAOBRtDCA， AOCD，OBAC4， AOACOCOBOC422CD，点 D（2，2） ， 将 B、D 坐标代入一次函数：ykx+

29、4 得：22k+4，解得：k1， 故直线 BD 的表达式为：yx+4， 同理直线 AD 的表达式为：yx+1； （2）当点 E 在线段 AD 上时， 设直线 AD 交 y 轴于点 H，则点 H（0，1） ， SBDHBHxDSBDE+SBEH+BHxE， 即：32+3xE， 解得：xE1，即点 E（1，） ， 当点 E 在线段 AD 外时， 同理可得：点 E（3，） ， 故点 E 的坐标为（1，）或（3，） ； （3）设图象向左平移 m 个单位，则点 D（2m，2） ， 则：DA 2（4m）2+4，DB2（m2）2+4，AB220， 当 DADB 时，即： （4m） 2+4（m2）2+4， 解

30、得：m3，D刚好是在线段 AB 上，所以形成不了三角形，故舍去； 当 DAAB 时，同理可得：m8， 当 ABDB 时，同理可得：m6， 故：点 D的坐标为（6，2）或（4，2） 9 【解答】解： （1）令 x0，则 y6， 令 y0，则x+60， 解得 x8， 所以，点 A（0，6） ，B（8，0） ； （2）过点 D 作 DFAB 于 F， A（0，6） ，B（8，0） ， OA6，OB8， AB10， D、E 分别是 OA、OB 的中点， ADOA63，DEAB， 在 RtADF 中，DFAD sinOAB3， PQAB， PQDF； （3）PQQR 时，BRQRtanABO， OROB

31、BR8， 点 R 的坐标为（，0） ； PQPR 时，PQAB， PQR+BQR90， QROA， QROB， BQR+ABO90， PQRABO， QR2（PQ cosPQR）2（）， BRQRtanABO， OROBBR8， 点 R 的坐标为（，0） ； PRQR 时，点 R 为 PQ 的垂直平分线与 OB 的交点， BRBE（8）2， OROBBR826， 点 R 的坐标为（6，0） ； 综上所述，点 R 为（，0）或（，0）或（6，0）时，PQR 为等腰三角形 10 【解答】 （1）证明：设直线 AC 的解析式为 ymx+n， 把 A（8，0） 、C（0，4）代入得，解得， 所以直线

32、AC 的解析式为 yx+4， 而直线 l 的解析式为 yx+b， 所以直线 lAC； （2）解：四边形 OABC 为矩形，OA8，OC4， B 点坐标为（8，4） ， E 点的纵坐标为 4， 把 y4 代入 yx+b 得x+b4，解得 x2b8， E 点坐标为（2b8，4） ， BE8（2b8）2b+16（4b8） ； （3）解：存在 作 GHBC 于 H，如图， G 为 OA 的中点， OGAG4， 在 RtGEH 中，GH4，HE4（2b8）122b，或 HE2b12， GE 242+（122b）24b248b+160， 在 RtGAF 中，GA4，AFb4 GF 242+（b4）2b28

33、b+32， 在 RtBEF 中，BF8b，BE8（2b8）162b， EF 2（8b）2+（162b）25b280b+320， 当 GEGF 时，4b 248b+160b28b+32，整理得 3b240b+1280，解得 b 1，b28； 当 GEEF 时，4b 248b+1605b280b+320，整理得 b232b+1600，解得 b 116+4（舍去） ，b216 4； 当 GFEF 时，b 28b+325b280b+320，整理得 b218b+720，解得 b 112（舍去） ，b26； 所以 b 为或 6 或 8 或 164时EFG 是等腰三角形 11 【解答】解： （1）一次函数

34、yx+7 与正比例函数 y交于点 A，且与 x 轴交于点 B ， 解得， A 点坐标为： （3，4） ； yx+70， 解得：x7， B 点坐标为： （7，0） （2）当 P 在 OC 上运动时，0t4 时，POt，PC4t，BRt，OR7t， 当以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8， S梯形 ACOBSACPSPORSARB8， （AC+BO）COACCPPOROAMBR8， （AC+BO）COACCPPOROAMBR16， （3+7）43（4t）t（7t）4t16， t 28t+120， 解得：t12，t26（舍去） ， 当 4t7 时，SAPRAPOC2（7t）8，解得 t3，不符

35、合 4t7； 综上所述，当 t2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8； 存在延长 CA 交直线 l 于一点 D，当 l 与 AB 相交于 Q， 一次函数 yx+7 与 x 轴交于（7，0）点，与 y 轴交于（0，7）点， NOOB， OBNONB45， 直线 ly 轴， RQRB，CDL， 如图 1，当 0t4 时，RBOPQRt，DQAD（4t） ，AC3，PC4t， 以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则 APAQ， AC 2+PC2AP2AQ22AD2，9+（4t）22（4t）2，解得：t 11，t27（舍去） ， 当 APPQ 时 3 2+（4t）2（7t）2， 解

36、得 t4 （舍去） 当 PQAQ 时，2（4t） 2（7t）2， 解得 t11+3（舍去） ，t213（舍去） 如图 2，当 4t7 时，过 A 作 ADOB 于 D，则 ADBD4， 设直线 l 交 AC 于 E，则 QEAC，AERDt4，AP7t， 由 cosOAC， 得 AQ（t4） ， 若 AQAP，则（t4）7t，解得 t， 当 AQPQ 时，AEPE，即 AEAP， 得 t4（7t） ， 解得：t5， 当 APPQ 时，过 P 作 PFAQ，于 F， AFAQ（t4） ， 在 RtAPF 中，由 cosPAF， 得 AFAP，即（t4）（7t） ， 解得：t， 综上所述，当 t1

37、、5、秒时，存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形 12 【解答】解： （1）设直线 L 解析式为 ykx+b， 将 A（6，0）和 B（0，12）代入，得： ， 解得：， 直线 L 解析式为 y2x+12； （2）解方程组：， 得：， 点 C 的坐标为（4，4） ， SCOPx42x； PDl， ， 而， ， 即， PCD 的面积 S 与 x 的函数关系式为： Sx 2+2x， S（x3） 2+3， 当 x3 时，S 有最大值，最大值是 3 （3）存在点 P，使得PCA 成为等腰三角形， 点 C 的坐标为（4，4） ，A（6，0） ， 根据 P1CCA，P3AAC，P2AAC，P4C

38、P4A 时分别求出即可， 当 P1CCA 时，P1（2，0） ， 当 P2AAC 时，P2（62，0） ， 当 P3AAC 时，P3（6+2，0） ， 当 P4CP4A 时，P4（1，0） ， 点 P 的坐标分别为： P1（2，0） ，P2（62，0） ，P3（6+2，0） ，P4（1，0） 13 【解答】解： （1）一次函数 yx+7 与正比例函数 yx 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B ， 解得：， A 点坐标为： （3，4） ； yx+70， 解得：x7， B 点坐标为： （7，0） （2）当 P 在 OC 上运动时，0t4 时，POt，PC4t，BRt，OR7t， 当以 A、P

39、、R 为顶点的三角形的面积为 8， S梯形 ACOBSACPSPORSARB8， （AC+BO）COACCPPOROAMBR8， （AC+BO）COACCPPOROAMBR16， （3+7）43（4t）t（7t）4t16， t 28t+120， 解得：t12，t26（舍去） ， 当 t4 时，当 t4 时，A，P，R 三点可以构成三角形，此时面积是 6，不合题意， 当 4t7 时，SAPRAPOC2（7t）8，解得 t3，不符合 4t7； 综上所述，当 t2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8； 存在延长 CA 到直线 l 交于一点 D，当 l 与 AB 相交于 Q， 一次函数 y

40、x+7 与 x 轴交于（7，0）点，与 y 轴交于（0，7）点， NOOB， OBNONB45， 直线 ly 轴， RQRB，CDL， 当 0t4 时，如图 1， RBOPQRt，DQAD（4t） ，AC3，PC4t， 以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则 APAQ， AC 2+PC2AP2AQ2（ AD） 2， 9+（4t） 22（4t）2，解得：t 11，t27（舍去） ， 当 APPQ 时 3 2+（4t）2（7t）2， 解得 t4 （舍去） 当 PQAQ 时，2（4t） 2（7t）2， 解得 t11+3（舍去） ，t213（舍去） ， 当 t4 时，无法构成三角形， 当 4t

41、7 时，如图（备用图） ，过 A 作 ADOB 于 D，则 ADBD4， 设直线 l 交 AC 于 E，则 QEAC，AERDt4，AP7t， 由 cosOAC， 得 AQ（t4） ， 若 AQAP，则（t4）7t，解得 t， 当 AQPQ 时，AEPE，即 AEAP， 得 t4（7t） ， 解得：t5， 当 APPQ 时，过 P 作 PFAQ 于 F， AFAQ（t4） ， 在 RtAPF 中，由 cosPAF， 得 AFAP， 即（t4）（7t） ， 解得：t， 综上所述，当 t1、5、秒时，存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形 14 【解答】解： （1）设 AB 的解析式为 y

42、kx+b， 把 A（8，0） 、B（0，）分别代入解析式得， ， 解得 k， 则函数解析式为 yx+8 将 yx+8和 yx 组成方程组得， ， 解得 故得 C（4，） ， t 的取值范围是：0t4 （2）作 EMy 轴于 M，DGy 轴于点 G， D 点的坐标是（t，） ，E 的坐标是（t，） DE； 等边DEF 的 DE 边上的高为：sin60 DEDE123t； 根据 E 点的坐标（t，） ，以及MNE60， 故 MEt，MNtan30MEt， 同理可得：GHt， 可求梯形上底为：， 当点 F 在 BO 边上时：123tt， t3； 当 0t3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形面积为：

43、S ； 当 3t4 时，重叠部分为等边三角形 S （3）存在，P（，0） ； 说明：FO，FP，OP4，DEF 是等边三角形， 以 P，O，F 为顶点的等腰三角形，腰只有可能是 FO，FP， 若 FOFP 时，t2（123t） ， 解得：t， P（，0） 15 【解答】解： （1）直线 l1：yx+与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，则点 A、B 的坐标分别为： （ ，0） 、 （0，） ， 直线 l2与直线 yx 平行，且过点 B， 则直线 l2的表达式为：yx+，令 y0，则 x3， 故点 C（3，0） ； （2）过点 D 分别作 x、y 轴的垂线交于点 M、N，设点 P（m，m+）

44、， S四边形 AOBDS矩形 MDNO（SBNDSAMD）262（6）+6（2）8， SPBC22m8，解得：m2，故点 P（2，3） ， 作点 P 关于直线 l2的对称点 P，连接 DP交 l2于点 Q，则点 Q 为所求点，PQ+DQ 的最小值为 DP， 则点 P、P 关于点 B 对称，由中点公式得：点 P（2，） ，而 D（2，6） ， 故：DP7， 故 PQ+DQ 的最小值为 7； （3）设三角形 OAB 向左平移 3m 个单位，则向上平移了m 个单位， 则点 B1的坐标（3m，m+） ，点 M（3m，3m+） ，则 A1的横坐标为：3m， 设直线 A1B1的表达式为：yx+b，将点 B

45、1的坐标代入上式并解得： 直线 A1B1的表达式为：yx+4m+， 令 y0，则点 N（4m，0） ， 则 B1M（4m） 248m2，NB 1 2（m+ ） 2+（ m+） 2，MN2（m+ ） 2+（ 3m） 2， 当 B1MB1N 时，48m 2（m+ ） 2+（ m+） 2，解得：m ； 当 B1MMN 时，同理可得：m或； 当 B1NMN 时，解得：m0（舍去） ； 综上 A1的横坐标为：或或或 2 16 【解答】解： （1）如图 1，作 AHOP，则 APAH， 点 P 在 yx 的图象上 HOQ30，HOA60 A（0，2） AHAO sin60 AP （2） 当点 P 在第三象

46、限时，如图 2， 由QPAQOA90，可得 Q、P、O、A 四点共圆， PAQPOQ30 当点 P 在第一象限的线段 OH 上时，如图 3 由QPAQOA90可得 Q、P、O、A 四点共圆 PAQ+POQ180，又此时POQ150 PAQ180POQ30 当点 P 在第一象限的线段 OH 的延长线上时， 由QPAQOA90可得APQ+AOQ180 Q、P、O、A 四点共圆 PAQPOQ30 （3）设 P（m，m） ，则 lAP：yx+2， PQAP kPQ lPQ：y（xm）+m Q（，0） OP 2 m 2，OQ2 m 2 m+ PQ 2 m 2 m+ OPOQ 时，则m 2 m 2 m+

47、整理得：m 24 m+30 解得 m23 Q1（2+4，0） ，Q2（24，0） 当 POPQ 时，则m 2 m 2 m+ 整理得：2m 2+ 解得：m或 m 当 m时，Q 点与 O 重合，舍去， m Q3（2，0） 当 QOQP 时， 则 整理得：m 2 解得：m Q4（） 点 Q 的坐标为（2+4，0）或（24，0）或（2，0）或（） 17 【解答】解： （1）点 A（4，0） 、B（0，4）在直线 ykx+b 上， ， 解得：k1，b4； （2）存在两种情况： 如图 1，当 P 在 x 轴的正半轴上时，点 O恰好落在直线 AB 上，则 OPOP，BOPBOP90， OBOA4， AOB 是等腰直角三角形， AB4，OAB45， 由折叠得：OBPOBP，BPBP， OBPOBP（AAS） ， OBOB4， AO44， RtPOA 中，OPAO44OP， SBOPOB OP88； 如图所示：当 P 在 x