2021版中考压轴题专题突破7:一次函数与重叠部分(含解析)
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1、一次函数压轴题之重叠部分一次函数压轴题之重叠部分 1如图 1,在直角坐标系中,过 A(2,0) ,B(0,4)两点的直线与直线 yx+5 交于点 E,直线 y x+5 分别交 x 轴、y 轴于 C,D 两点, (1)求直线 AB 的解析式和点 E 的坐标; (2)在射线 EB 上有一点 M,使得点 M 到直线 DC 的距离为 3,求点 M 的坐标; (3)在(1)的基础上,过点 O,A,P,Q(0,2)作正方形 OAPQ 如图 2,将正方形 OAPQ 沿 x 轴正方向平 移, 得到正方形 OAPQ, 当点 A 与点 C 重合时停止移动 设点 A的坐标为 (t, 0) , 正方形 OAP Q与A
2、CE 重叠部分的面积为 S,直接写出 S 与 t 之间的函数关系式和相应 t 的取值范围 2将一个直角三角形纸片 ABO,放置在平面直角坐标系中,点 A(,0) ,点 B(0,1) ,点 0(0,0) 过 边 OA 上的动点 M(点 M 不与点 O,A 重合)作 MNAB 于点 N,沿着 MN 折叠该纸片,得顶点 A 的对应点 A, 设 OMm,折叠后的AMN 与四边形 OMNB 重叠部分的面积为 S ()如图,当点 A与顶点 B 重合时,求点 M 的坐标; ()如图,当点 A,落在第二象限时,AM 与 OB 相交于点 C,试用含 m 的式子表示 S; ()当 S时,求点 M 的坐标(直接写出
3、结果即可) 3如图,矩形 ABCD 被对角线 AC 分为两个直角三角形,AB3,BC6现将 RtADC 绕点 C 顺时针旋转 90,点 A 旋转后的位置为点 E,点 D 旋转后的位置为点 F以 C 为原点,以 BC 所在直线为 x 轴,以过点 C 垂直于 BC 的直线为 y 轴,建立如图的平面直角坐标系 (1)求直线 AE 的解析式; (2)将 RtEFC 沿 x 轴的负半轴平行移动,如图设 OCx(0 x9) ,RtEFC 与 RtABO 的重叠部 分面积为 s;求当 x1 与 x8 时,s 的值; (3)在(2)的条件下 s 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时 x 的值;若不存在
4、,请说明理 由 4如图(1) (2) ,直线 yx+4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点,点 M 是线段 AB 上任意一点(A、B 两点 除外) ,过 M 分别作 MCOA 于点 C,MDOB 于 D (1)若点 M 的横坐标是 a,则点 M 的纵坐标是 (用含 a 的代数式表示) (2)当点 M 在 AB 上运动时,你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由; (3)当点 M 运动到什么位置时,四边形 OCMD 的面积有最大值?最大值是多少? (4)当四边形 OCMD 为正方形时,将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动,设平移的距离为 b(0b4) , 正方形 OCMD 与
5、AOB 重叠部分的面积为 S试求 S 与 b 的函数关系式并画出该函数的图象 5如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l1:yx 与直线 l2:yx+6 相交于点 M,直线 l2与 x 轴相交于点 N (1)求 M,N 的坐标 (2)矩形 ABCD 中,已知 AB1,BC2,边 AB 在 x 轴上,矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒 1 个单位长度 的速度移动, 设矩形 ABCD 与OMN 的重叠部分的面积为 S, 移动的时间为 t (从点 B 与点 O 重合时开始计时, 到点 A 与点 N 重合时计时开始结束) 直接写出 S 与自变量 t 之间的函数关系式(不需要给出解答过程)
6、 (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,S 的值最大?并求出最大值 6已知在平面直角坐标系中,直线与 x 轴,y 轴相交于 A,B 两点,直线与 AB 相交 于 C 点,点 D 从点 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向右运动到点 A,过点 D 作 x 轴的垂线,分别交直 线和直线于 P,Q 两点(P 点不与 C 点重合) ,以 PQ 为边向左作正PQR,设正PQR 与OBC 重叠部分的面积为 S(平方单位) ,点 D 的运动时间为 t(秒) (1)求点 A,B,C 的坐标; (2)若点 M(2,3)正好在PQR 的某边上,求 t 的值; (3)求 S 关于 t 的函数关系式,并
7、写出相应 t 的取值范围,求出 D 在整个运动过程中 s 的最大值 7如图所示,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为(3,0) , (0,1) ,点 D 是线段 BC 上的动点(与 端点 B、C 不重合) ,过点 D 作直线 y+b 交折线 OAB 于点 E记ODE 的面积为 S (1)当点 E 在线段 OA 上时,求 S 与 b 的函数关系式;并求出 b 的范围; (2)当点 E 在线段 AB 上时,求 S 与 b 的函数关系式;并求出 b 的范围; (3)当点 E 在线段 OA 上时,若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1,试探究 OA1B1C1
8、与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由 8如图,直线 l1与坐标轴分别交于点 A、B,经过原点的直线 l2与 AB 交于点 C,与过点 A 且平行于 y 轴的 直线交于点 D,已知点 C(3,) ,且 OA8在直线 AB 上取点 P,过点 P 作 y 轴的平行线,与 CD 交于点 Q,以 PQ 为边向右作正方形 PQEF设点 P 的横坐标为 t (1)点求直线 l1的解析式; (2)当点 P 在线段 AC 上时,试求正方形 PQEF 与ACD 重叠部分(阴影部分)的面积的最大值; (3)设点 M 坐标为,在点 P 的运动过程中,点 M
9、能否在正方形 PQEF 内部?若能,求出 t 的取值 范围;若不能,试说明理由 9如图 1,在 RtAOB中,BA090,A,B两点的坐标分别为(2,1)和(0,5) , 将 A0B绕点 O 逆时针方向旋转 90,使 OB落在 x 轴正半轴上,得AOB,点 A的对应点是 A,点 B 的对应点是 B (1)写出 A,B 两点的坐标,并求直线 AB 的解析式; (2) 如图 2, 将AOB 沿垂直于 x 轴的线段 CD 折叠,(点 C 在 x 轴上, 且不与点 B 重合, 点 D 在线段 AB 上) , 使点 B 落在 x 轴上,对应点为点 E,设点 C 的坐标为(x,0) 当 x 为何值时,线段
10、 DE 平分AOB 的面积; 是否存在这样的点使得AED 为直角三角形?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由 设CDE 与AOB 重叠部分的面积为 S,直接写出 S 与点 C 的横坐标 x 之间的函数关系式(包括自变量 x 的取值范围) 10如图,已知直线 l1:yx+与直线 l2:y2x+16 相交于点 C,l1、l2分别交 x 轴于 A、B 两点矩 形 DEFG 的顶点 D、E 分别在直线 l1、l2上,顶点 F、G 都在 x 轴上,且点 G 与点 B 重合 (1)求ABC 的面积; (2)求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长; (3)若矩形 DEFG 从原地出发,沿
11、x 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移,设移动时间为 t(0t 12)秒,矩形 DEFG 与ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 关于 t 的函数关系式,并写出相应的 t 的取值范 围 11如图,在平面直角坐标系中,两个函数的图象交于点 A动点 P 从点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动,运动时间是 t作 PQX 轴交直线 BC 于点 Q,以 PQ 为一边向下作正方形 PQMN,设它与OAB 重叠部分的面积为 S,如图 1 (1)求点 A 的坐标 (2)当 t 为何值时,正方形 PQMN 的边 MN 恰好落在 x 轴上?如图 2 (3)当点 P 在线段 OA 上运动时
12、, 求出 S 与运动时间 t(秒)的关系式 S 是否有最大值?若有,求出 t 为何值时,S 有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由 12在平面直角坐标系中,直线 ykx+b 经过两点 D(0,4) ,E(4,0) ,边长为 2 个单位长度的等边ABC, 顶点 A 在该直线上滑动,在滑动过程中始终保持边 BCx 轴,且顶点 A 在 BC 的上方 (1)求直线 DE 的函数解析式; (2)在滑动过程中,当点 C 恰好落在坐标轴上时,求此时点 B 的坐标; (3)在滑动过程中,当ABC 与DOE 重叠部分的面积为ABC 面积的时,求此时点 A 到坐标轴的最大距 离 13如图 1,在等腰梯形 AB
13、CD 中,ABCO,E 是 AO 的中点,过点 E 作 EFOC 交 BC 于 F,AO4,OC6, AOC60现把梯形 ABCO 放置在平面直角坐标系中,使点 O 与原点重合,OC 在 x 轴正半轴上,点 A、B 在第一象限内 (1)求点 E 的坐标; (2)点 P 为线段 EF 上的一个动点,过点 P 作 PMEF 交 OC 于点 M,过 M 作 MNAO 交折线 ABC 于点 N,连 接 PN设 PExPMN 的面积为 S 求 S 关于 x 的函数关系式; PMN 的面积是否存在最大值,若不存在,请说明理由若存在,求出面积的最大值; (3)另有一直角梯形 EDGH(H 在 EF 上,DG
14、 落在 OC 上,EDG90,且 DG3,HGBC) 现在开始操作: 固定等腰梯形 ABCO,将直角梯形 EDGH 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 方向向右移动,直到点 D 与点 C 重合时 停止 (如图 2) 设运动时间为 t 秒, 运动后的直角梯形为 EDGH; 探究: 在运动过程中, 等腰梯 ABCO 与直角梯形 EDGH重合部分的面积 y 与时间 t 的函数关系式 14如图,直线 l 的解析式为 yx+4,它与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,平行于直线 l 的直线 m 从 原点 O 出发,沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,它与 x 轴、y 轴分别相交于 M
15、、N 两点,运 动时间为 t 秒(0t4) (1)求 A、B 两点的坐标; (2)用含 t 的代数式表示MON 的面积 S1; (3)以 MN 为对角线作矩形 OMPN,记MPN 和OAB 重合部分的面积为 S2; 当 2t4 时,试探究 S2与之间的函数关系; 在直线 m 的运动过程中,当 t 为何值时,S2为OAB 的面积的? 1 【解答】解: (1)将点 A、B 坐标代入一次函数表达式:ykx+b 得:,解得:, 故直线 AB 的表达式为:y2x4, 直线 CD 的表达式为:yx+5, 则点 C、D 的表达式分别为: (5,0) 、 (0,5) , 联立直线 AB 表达式与直线 CD 表
16、达式:yx+5 并解得:x3, 故点 E(3,2) ; (2)如图,设点 M(m,2m4) , 过点 M 作 MNCD 交于点 N, 则 MN3, MNCD,直线 MN 表达式中的 k 值为1, 设直线 MN 的表达式为:yx+b,将点 M 坐标代入上式并解得: 直线 MN 的表达式为:yx+(m4), 联立并解得:x,则点 N(,) , MN 2(m ) 2+( 2m+4) 2(3 ) 2, 解得:m1 或 5(舍去) , 故点 M(1,2) ; (3)如图 2(左侧图) , 当 2t3 时,图象到达 OQPA的位置, OA2,OB4,GAOB,则2,则 GA2AA 则 SAAAGAAAAt
17、an(t2) 2; 3t4 时,如图 3,设 AP交直线 CD 于点 H, SS梯形 AAPQSEHP(t+t+23)2(t+23)t+; 如图 4, 4t5 时,图象到达 OQPA的位置, 直线 BE 交 OQ于点 H,直线 CD 交 AP于点 G, 则 AAt,AOt2,AC3t, HO2AO2(t2) ,GAAC3t, SAOHAOOH(t2) 2, 同理:SACG(3t) 2, SSACESAOHSACG3(t2) 2 (3t) 2 t 2+7t , 故:S 2 【解答】解: ()在 RtABO 中,点 A(,0) ,点 B(0,1) ,点 O(0,0) , OA,OB1, 由 OMm
18、,可得:AMOAOMm, 根据题意,由折叠可知BMNAMN, BMAMm, 在 RtMOB 中,由勾股定理,BM 2OB2+OM2, 可得:,解得 m, 点 M 的坐标为(,0) ; ()在 RtABO 中,tanOAB, OAB30, 由 MNAB,可得:MNA90, 在 RtAMN 中,MNAM sinOAB, ANAN cosOAB, , 由折叠可知AMNAMN,则AOAB30, AMOA+OAB60, 在 RtCOM 中,可得 COOM tanAMOm, , , , 即; ()当点 A落在第二象限时,把 S 的值代入(2)中的函数关系式中,解方程求得 m,根据 m 的取值 范围判断取舍
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