2021版中考压轴题专题突破13：一次函数与新定义（含解析）

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1、一次函数压轴题之新定义一次函数压轴题之新定义 1在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y）和 Q（x，y） ，给出如下定义：如果 y，那么 称点 Q 为点 P 的“伴随点” 例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6） ；点（5，6）的“伴随点”为点（5，6） （1）点 A（2，1）的“伴随点”A的坐标为 （2）点 B（m，m+1）在函数 ykx+3 的图象上，若其“伴随点”B的纵坐标为 2，求 函数 ykx+3 的解析式 （3）在（2）的条件下，点 C 在函数 ykx+3 的图象上，点 D 是点 C 关于原点的对称点，点 D 的“伴随点 为 D若点 C 在第一象限，且 CDDD，直接写出此时“

2、伴随点”D的坐标， 2定义：对于给定的一次函数 yax+b（a0） ，把形如 y的函数称为一次函数 yax+b （a0）的衍生函数已知矩形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，0） ，B（1，2） ，C（3，2） ，D（3，0） （1）已知函数 y2x+1 若点 P（1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则 m 这个一次函数的衍生函数图象与矩形 ABCD 的边的交点坐标分别为 （2）当函数 ykx3（k0）的衍生函数的图象与矩形 ABCD 有 2 个交点时，k 的取值范围是 3在平面直角坐标系 xOy 中，对于半径为 r（r0）的O 和点 P，给出如下定义： 若 rPOr，则称 P 为O 的

3、“近外点” （1） 当O 的半径为 2 时， 点 A （4， 0） ， B （， 0） ， C （0， 3） ， D （1， 1） 中， O 的 “近外点” 是 ； （2）若点 E（3，4）是O 的“近外点” ，求O 的半径 r 的取值范围； （3）当O 的半径为 2 时，直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在O 的“近外点” ，直接写出 b 的取值范围 4在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的“非常距离” ，给出如下定义： 若|x1x2|y1y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1x2|

4、； 若|x1x2|y1y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|y1y2| 例如：点 P1（1，2） ，点 P2（3，5） ，因为|13|25|，所以点 P1与点 P2的“非常距离”为|25|3， 也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交 点） （1）已知点 A（，0） ，B 为 y 轴上的一个动点， 若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标； 直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值； （2）已知 C 是直线 yx+3 上的一个动点， 如图 2，点 D

5、的坐标是（0，1） ，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标； 5对于平面直角坐标系 xOy 中的点 A 和点 P，若将点 P 绕点 A 逆时针旋转 90后得到点 Q，则称点 Q 为点 P 关于点 A 的“垂链点” ，图 1 为点 P 关于点 A 的“垂链点”Q 的示意图 （1）如图 2，已知点 A 的坐标为（0，0） ，点 P 关于点 A 的“垂链点”为点 Q； 若点 P 的坐标为（3，0） ，则点 Q 的坐标为 ； 若点 Q 的坐标为（2，1） ，则点 P 的坐标为 ； （2）如图 3，已知点 C 的坐标为（1，0） ，点 D 在直线 y2x2 上，若点 D 关于

6、点 C 的“垂链点”E 在 坐标轴上，试求出点 D 的坐标； （3）如图 4，在平面直角坐标系 xOy，已知点 A（2，0） ，点 C 是 y 轴上的动点，点 A 关于点 C 的“垂链点” 是点 B，连接 BO、BA，则 BO+BA 的最小值是 6在平面直角坐标系 xOy 中，如果 P，Q 为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与 x 轴， y 轴平行，那么称该菱形为点 P，Q 的“相关菱形” 图 1 为点 P，Q 的“相关菱形”的一个示意图已知点 A 的坐标为（1，4） ，点 B 的坐标为（b，0） ， （1） 如果 b3， 那么 R （1， 0） ， S （5， 4） ， T

7、（6， 4） 中能够成为点 A， B 的 “相关菱形” 顶点的是 ； （2）如果点 A，B 的“相关菱形”为正方形，求直线 AB 的表达式； （3）如图 2，在矩形 OEFG 中，F（3，2） 点 M 的坐标为（m，3） ，如果在矩形 OEFG 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关菱形”为正方形，直接写出 m 的取值范围 1 【解答】解： （1）x20，则 y1，故点 A为（2，1） ； （2）当 m0 时，点 B（m，m+1） ，即 m+12，解得：m1， 故点 B（1，2） ，将点 B 的坐标代入函数 ykx+3 并解得：k1， 故函数的表达式为：yx+3； 当 m0 时，则点 B（3

8、，2） ， 同理可得：函数的表达式为：yx+3； （3）当点 C 在直线 yx+3 上时， 设点 C（a，b） ， （a0，b0） ，则点 D（a，b） ， 则点 D（a，b） ，CDDD， 则 CDDD，即 CD 是一、三象限角平分线， 则直线 CD 的表达式为：yx， 联立并解得：xy， 故点 D（，） ； 当点 C 在直线 yx+3 上时， 同理可得：a（不符合题意，点 C 在第二象限，舍去） 综上，点 D（，） 2 【解答】解： （1）x10，则 m2（1）+13， 故答案为 3； 一次函数的衍生函数图象与矩形 ABCD 的边的交点位置在 BC 上， 当 y2 时，2x+12，解得：x

9、， 当 y2 时，2x+12，解得：x， 故答案为（，2）或（，2） ； （2）函数可以表示为：y|k|x3， 如图所示当直线在位置时，函数和矩形有 1 个交点， 当 x3 时，y|k|x33|k|30，k1， k0，取 k1 当直线在位置时，函数和图象有 3 个交点， 同理 k3， 故在图之间的位置，直线与矩形有 2 个交点， 即：1k3 3 【解答】解： （1）O 的半径为 2， r3， A（4，0） ， OA43， 点 A 不是O 的“近外点” ， B （，0） ， OB，而 23， B 是O 的“近外点” ， C（0，3） ， OC3， 点 C 是O 的“近外点” ， D （1，1）

10、， OD2， 点 D 不是O 的“近外点” ， 故答案为：B，C； （2）E（3，4） ， OE5， 点 E 是O 的“近外点” ， ， r5； （3）如图， 直线 MN 的解析式为 yx+b， OMON， 点 N 在 y 轴坐标轴时， 当点 M 是O 的“近外点” ，此时，点 M（2，0） ， 将 M（2，0）代入直线 MN 的解析式 yx+b 中，解得，b2， 即：b 的最小值为 2， 过点 O 作 OGMN于 G， 当点 G 是O 的“近外点”时，此时 OG3， 在 RtONG 中，ONG45， ON3， b 的最大值为 3， 2b3， 当点 N 在 y 轴负半轴时，同的方法得出3b2

11、综上所述，b 的取值范围是：2b3或3b2 4 【解答】解： （1）B 为 y 轴上的一个动点， 设点 B 的坐标为（0，y） |0|2， |0y|2， 解得，y2 或 y2； 点 B 的坐标是（0，2）或（0，2） ； 点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 （2）如图 2，取点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1x2|y1y2|，则 点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1x2|”解答，此时|x1x2|y1y2|即 ACAD， C 是直线 yx+3 上的一个动点，点 D 的坐标是（0，1） ， 设点 C 的坐标为（x0，x0+3） ， x0 x0+2，

12、此时，x0， 点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为：|x0|， 此时 C（，） ； 5 【解答】解： （1）若点 P 的坐标为（3，0） ，则点 Q 的坐标为 （0，3） ， 故答案为： （0，3） ； 若点 Q 的坐标为（2，1） ， 同理可得：点 P 的坐标为（1，2） ， 故答案为： （1，2） ； （2）当点 E（E）落在 x 轴上时，如图 1 则点 D（D）关于点 C 的“垂链点”在 x 轴上，点 CDx 轴， x1 时，y224， 故点 D（1，4） ； 当点 E 落在 y 轴时，如图 1： 设点 D（m，2m2） ， 点 D 的“垂链点 E 在 y 轴上， 过点 D 作 D

13、Hx 轴于点 H， 则CHDEOC（AAS） ， 则 DHOC1，即：2m21，解得：m， 故点 D（，1） ， 综上，点 D（1，4）或（，1） ； （3）如图作 BHOH 于 H 设点 C 的坐标为（0，m） ， 由（1）知：OCHBm，OAHC2， 则点 B（m，2+m） ， 则：BO+BA+， BO+BA 的值，相当于求点 P（m，m）到点 M（1，1）和点 N（0，1）的最小值， 相当于在直线 yx 上寻找一点 P（m，m） ，使得点 P 到 M（0，1） ，到 N（1，1）的距离和最小， 作 M 关于直线 yx 的对称点 M（1，0） ， 易知 PM+PNPM+PNNM， MN2，

14、 答案为：2 6 【解答】解： （1）如图 1 中，观察图象可知：R、S 能够成为点 A，B 的“相关菱形”顶点 故答案为 R，S （2）如图 2 中，过点 A 作 AH 垂直 x 轴于 H 点 点 A，B 的“相关菱形”为正方形， ABH 为等腰直角三角形 A（1，4） ， BHAH4 b3 或 5 B 点的坐标为（3，0）或（5，0） 设直线 AB 的表达式为 ykx+b 由题意得或 解得或 直线 AB 的表达式为 yx+3 或 yx+5 （3）如下图所示：当点 N 与点 E 重合时，过点 M 作 MGx 轴，垂足为 G 点 M，N 的“相关菱形”为正方形， NMG 为等腰直角三角形， EGGM3， M（6，3） 如下图所示：当点 N 与点 O 重合时，过点 M 作 MGx 轴，垂足为 G 点 M，N 的“相关菱形”为正方形， NMG 为等腰直角三角形， OGGM3， M（3，3） m 的取值范围是：3m6