2021版中考压轴题专题突破12：一次函数与梯形（含解析）

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1、一次函数压轴题之梯形一次函数压轴题之梯形 1已知：如图，直线 ykx+b 与 x 轴交于点 A（8，0） ，与 y 轴交于点 B（0，16） ，与直线 yx 相交于点 CP （0，t）是 y 轴上的一个动点，过点 P 作直线 l 垂直 y 轴，与直线 yx 相交于点 D，与直线 ykx+b 相交 于点 E，在直线 l 下方作一个等腰直角三角形 DEF，使 DFDE，EDF90 （1）求直线 AB 的解析式和 C 点的坐标； （2）当点 F 落在 x 轴上时，求 t 的值； （3）当 t 为何值时，以 A，E，P，F 为顶点的四边形是梯形？ 2已知，将边长为 5 的正方形 ABCO 放置在如图所

2、示的直角坐标系中，使点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上点 M（t，0）在 x 轴上运动，过 A 作直线 MC 的垂线交 y 轴于点 N （1）当 t1 时，求直线 MC 的解析式； （2）设AMN 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式并写出相应 t 的取值范围； （3）在该平面直角坐标系中，第一象限内取点 P（2，y） ，是否存在以 M、N、C、P 为顶点的四边形是直角 梯形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 3如图，直线 ykx+b（k0）与坐标轴分别交于 A、B 两点，OA8，OB6动点 P 从 O 点出发，沿路线 OBA 以每秒 1 个单位长度的速度运

3、动，到达 A 点时运动停止 （1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）求出直线 AB 的解析式； （3）设点 P 的运动时间为 t（秒） ，OPA 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式（不必写出自变量的取 值范围） ； （4）当 S12 时，直接写出点 P 的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点 M，使以 O、A、P、M 为顶点的四边 形是梯形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 4如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，点 M（m，n）是 线段 AB 上一动点，点 C 是线段 OA 的三等分点 （1）求点 C 的坐标；

4、（2）连接 CM，将ACM 绕点 M 旋转 180，得到ACM 当 BMAM 时， 连接 AC、 AC， 若过原点 O 的直线 l2将四边形 ACAC分成面积相等的两个四边形， 确定此直线的解析式； 过点 A作 AHx 轴于 H，当点 M 的坐标为何值时，由点 A、H、C、M 构成的四边形为梯形？ 5如图，在平面直角坐标系中，函数 y2x+12 的图象分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点过点 A 的直线交 y 轴 正半轴于点 M，且点 M 为线段 OB 的中点 （1）求直线 AM 的函数解析式 （2）试在直线 AM 上找一点 P，使得 SABPSAOB，请直接写出点 P 的坐标 （3）若点

5、H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 H，使以 A，B，M，H 为顶点的四边形 是等腰梯形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由 6如图，直线交 x 轴于点 A，交直线于点 B（2，m） 矩形 CDEF 的边 DC 在 x 轴上，D 在 C 的左侧，EF 在 x 轴的上方，DC2，DE4当点 C 的坐标为（2，0）时，矩形 CDEF 开始以每秒 2 个单位 的速度沿 x 轴向右运动，运动时间为 t 秒 （1）求 b、m 的值； （2）矩形 CDEF 运动 t 秒时，直接写出 C、D 两点的坐标； （用含 t 的代数式表示） （3）当点 B 在矩形 CDEF

6、的一边上时，求 t 的值； （4）设 CF、DE 分别交折线 OBA 于 M、N 两点，当四边形 MCDN 为直角梯形时，求 t 的取值范围 1 【解答】解： （1）直线 ykx+b 与 x 轴交于点 A（8，0） ，与 y 轴交于点 B（0，16） ， ， 解得， 所以，直线 AB 的解析式为 y2x+16， 联立， 解得， 所以，C 点坐标为（，） ； （2）根据题意，点 D、E 的纵坐标都是 t， 所以，2x+16t， 解得 x， 所以，点 D（t，t） ，E（，t） ， DE|t|， 点 F 在 x 轴上， |t|t， 即tt 或tt， 解得 t或 t16， 所以，t 的值为，16；

7、（3）PEAF 时，点 F 在 x 轴上，根据（2）的结论， t或 16， 当 t16 时，P、B、E 三点重合，以 A，E，P，F 为顶点的是三角形，不符合题意舍去， 所以，t； PFAE 时，点 D 在点 E 的左边， D（t，t） ，E（，t） ， DEt， 点 F 的纵坐标为：t， 点 F（t，） ， 设直线 PF 的解析式为 yex+f， 则， 解得， 所以，直线 PF 的解析式为 yx+t， PFAE， 2， 解得 t； APEF 时， （i）若点 P 在 y 轴正半轴，则 DEt， 点 F 的纵坐标为 t， 点 F 的坐标为（t，） ， 设直线 EF 的解析式为 ycx+d，则，

8、 解得， 直线 EF 的解析式为 yx+， 又A（8，0） ，P（0，t） ， 直线 AP 的解析式为 y+t， APEF， 1， 解得 t8， （ii）若点 P 在 y 轴负半轴，则 DEt， 点 F 的纵坐标为 t， 点 F 的坐标为（t，） ， 设直线 EF 的解析式为 ymx+n，则， 解得， 直线 EF 的解析式为 yx+， 又A（8，0） ，P（0，t） ， 直线 AP 的解析式为 y+t， APEF， 1， 解得 t8， 综上所述，t 的值为，8，8 2 【解答】解： （1）正方形 ABCO 的边长为 5， 点 C 的坐标为： （0，5） ， t1， 点 M 的坐标为： （1，0

9、） ， 设直线 MC 的解析式为：ykx+b， ， 解得： 直线 MC 的解析式为：y5x+5； （2）四边形 OABC 是正方形， OAOC，AONCOM90， ANMC， NAO+CMO90， NAO+ANO90， ANOCMO， 在AON 和COM 中， ， AONCMO（AAS） ， ONOM|t|， 当 t0 时，AMOA+OM5+t，ONt， St（t+5）t 2+ t（t0） ， 当5t0 时，AM5+t，ONt， St 2 t（5t0） ， 当 t5 时，AM5t，ONt， St 2+ t （t5） ； （3）如图，当 CNPM 时， CNM90， PCN90， P1（2，5）

10、 ； 如图，当 MNCP 时， ONOM， 直线 MN 的比例系数为1， 设直线 PC 的解析式为：yx+b， 点 C（0，5） ， 直线 PC 的解析式为：yx+5， 当 x2 时，y3， P2（2，3） 如图，若 CMPN，PCMCPN90， 直线 CM 解析式为 y3x+5， 点 M（，0） ， 直线 PN 解析式为：y3x， 当 x2 时，y， 点 P3（2，） 故 P1（2，5） ，P2（2，3） ，点 P3（2，） 3 【解答】解： （1）A（8，0） ，B（0，6） （2 分） （2）直线 ykx+b 过点 A（8，0） ，B（0，6） ， ，y（4 分） （3）在 RtAOB

11、中，OA8，OB6， AB10 当点 P 在 OB 上运动时，OPt S4t（5 分） 当点 P 在 BA 上运动时，AP6+10t16t 作 PDOA 于点 D， PDABOA90，AA APDABO，得， 即解得 PD AP6+10t16t， PD SOAPD+（8 分） （4）当 4t12 时，t3，P（0，3） 此时，过AOP 各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点 M 不存在； （10 分） 当+12 时，t11，P（4，3） ，在坐标轴上存在点 M（两个） ，使梯形存在， 此时 M 的坐标为： （0，3） ； （0，6） 4 【解答】 （1）根据题意：A（6，0） ，B

12、（0，） C 是线段 OA 的三等分点 C（2，0）或 C（4，0） （2）如图，过点 M 作 MNy 轴于点 N， 则BMNBAO BMAM BMBA BNBO N（0，） 点 M 在直线上 M（2，） ACM 是由ACM 绕点 M 旋转 180得到的 ACAC 无论是 C1、C2点，四边形 ACAC是平行四边形且 M 为对称中心 所求的直线 l2必过点 M（2，） 直线 l2的解析式为： 当 C1（2，0）时， 第一种情况：H 在 C 点左侧 若四边形 AHC1M 是梯形 AM 与 HC1不平行 AHMC1此时 M（2，） 第二种情况：H 在 C 点右侧 若四边形 AC1HM 是梯形 AM

13、 与 C1H 不平行 AC1HM M 是线段 AA的中点 H 是线段 AC1的中点 H（4，0） 由 OA6，OB OAB60 点 M 的横坐标为 5 M（5，） 当 C2（4，0）时，同理可得 第一种情况：H 在 C2点左侧时，M（4，） 第二种情况：H 在 C2点右侧时，M（，） 综上所述，所求 M 点的坐标为：M（2，） ，M（5，） ，M（4，）或 M（，） 5 【解答】解： （1）直线 AB 的函数解析式 y2x+12， A（6，0） ，B（0，12） 又M 为线段 OB 的中点， M（0，6） 直线 AM 的解析式 yx+6； （2）设 P 点坐标（x，x+6） ，则|AP|x+6

14、|，B 到直线 AM 的距离 d， ， 解得：x6 或18 P（6，12）或 P（18，12） ； （3）存在这样的点 H，使以 A，B，M，H 为顶点的四边形是等腰梯形 若以 AM 为底，BM 为腰，过点 B 作 AM 的平行线，当点 H 的坐标为（12，0）时，以 A，B，M，H 为顶点的 四边形是等腰梯形； 若以 BM 为底，AM 为腰，过点 A 作 BM 的平行线，当点 H 的坐标为（6，18）时，以 A，B，M，H 为顶点的 四边形是等腰梯形； 若以 AB 为底，BM 为腰，过点 M 作 AB 的平行线，当点 H 的坐标为（，）时，以 A，B，M，H 为顶点 的四边形是等腰梯形 故所

15、求点 H 的坐标为（12，0）或（6，18）或（，） 6 【解答】解： （1）把 B（2，m）代入 y，得 m3再把 B（2，3）代入 y，得 b4 （2）因为点 C 向右移了 2t 个单位，则点 C 的横坐标加 2t，纵坐标还是 0， D 点的横坐标比点 C 要小 2，所以点 C（2t2，0） 、D（2t4，0） ； （4 分） （3）34，点 B 在 EF 的下方，不能在 EF 上 点 B 在 CF 边上时 2t22，解得 t2 点 B 在 DE 边上时，2t42，解得 t3 所以当点 B 在矩形的一边上时，t 的值为 2 秒或 3 秒； （6 分） （4）点 D 与 O 重合时，2t40，解得 t2 点 C 与点 A 重合时，2t28，解得 t5（8 分） CF 交 AB 于 M，DE 交 BO 于 N 时，M（2t2，5t） ，N（2t4，3t6） ， 当 CMDN 时，即 5t3t6 解得，所以当时四边形 MCDN 为矩形 所以当四边形 MCDN 为直角梯形时，t 的取值范围为 2t5 且 （11 分）