2021年广东省深圳市中考数学考点题型专项复习训练:第17讲 几何证明题
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1、 深圳中考专项复习第 17 讲之几何证明计算题 【考点介绍】 在深圳中考卷第 20 题或 21 题位置, 有一道 8 分左右的计算题, 轮流出现的是三种计算解答题: 几何证明计算题、 三角函数应用题、反比例函数与一次函数交点问题,中等难度。 【最近五年深圳中考实题解题思路分析】 1.(2020 深圳)如图,AB 为O 的直径,点 C 在O 上,AD 与过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D.连接 BC 并延长, 交 AD 的延长线于点 E (1)求证:AE=AB (2)若 AB=10,BC=6,求 CD 的长 【解析】 (1)有切线必接 OC,则 OCCD,由 CDAE,可得 OC/AE,则OC
2、B=E,由 OC=OB 得ABE=OCB,E= OBC,AE=AB. (2) 圆常用添辅助线方法: 连接AC, 由AB是直径可得ACB=90,由AB=10、 BC=6及勾股定理可得AC=8, 由AB=AE=10, ACBE 可得 EC=BC=6,在 RtACE 中,利用数学典型模型“双垂模型”的等面积法可得 AC=24 5 . 2.(2018 深圳)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上, 这个菱形称 为这个三角形的亲密菱形, 如图 1, 菱形 ADFE 为ABC 的亲密菱形。 如图书 2, 在CFE 中, CF=6, CE=12,FCE=45, 以点C为圆
3、心, 以任意长为半径作 AD, 再分别以点 A 和点 D 为圆心, 大于1 2AD长为半径做弧, 交 EF 于点 B, AB/CD. (1)求证:四边形 ACDB 为CFE 的亲密菱形; (2)求四边形 ACDB 的面积. 解析:中等难度题型,以阅读理解题型考查菱形的证明与计算、尺规作图。 (1)证明:由尺规作图痕迹可得:AC=CD,AB=DB,BC 是FCE 的角平分线,则:ACB=DCB, 又AB/CD,ABC=DCB,ACB=ABC,AC=AB, 又AC=CD,AB=DB,AC=CD=DB=BA, 四边形 ACDB 是菱形.ACD 与FCE 重合,它的对角ABD 的顶点在 EF 上,四边
4、形 ACDB 为CFE 的亲密菱形. (2)解:设菱形 ACDB 的边长为x,AB/CE,FA FC = AB CE ,即6x 6 = x 12 ,解得: 4x, 过 A 点作 AHCD 于点 H,在直角CAH 中,FCE=45,AH=AC sin45 = 4 2 2 = 22, 菱形 ACDB 的面积为:4 22 = 82. 【针对练习巩固】 1.如图,在 RtABC 中,BAC90,D 是 BC 的中点,E 是 AD 的中点,过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F (1)求证:四边形 ADCF 是菱形; (2)若 AC12,AB16,求菱形 ADCF 的面积 2如图,E,F 分
5、别是正方形 ABCD 的边 CB,DC 延长线上的点,且 BECF,过点 E 作 EGBF,交正方形外角的平分 线 CG 于点 G,连接 GF (1)求AEG 的度数; (2)求证:四边形 BEGF 是平行四边形 3如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中,点 M 是 AB 上的一点,连接 DM 交 AC 于点 N,连接 BN (1)求证:ABNADN; (2)若ABC60,AM4,ABNa,求点 M 到 AD 的距离及 tana 的值 4如图,在ABCD 中,O 是对角线 AC、BD 的交点,BEAC,DFAC,垂足分别为点 E、F (1)求证:OEOF (2)若 BE5,OF2,求 tan
6、OBE 的值 5如图,四边形 ABCD 是菱形,点 H 为对角线 AC 的中点,点 E 在 AB 的延长线上,CEAB,垂足为 E,点 F 在 AD 的延长线上,CFAD,垂足为 F, (1)若BAD60,求证:四边形 CEHF 是菱形; (2)若 CE4,ACE 的面积为 16,求菱形 ABCD 的面积 6如图,在四边形 ABCD 中,ABDC,ABAD,对角线 ACBD 交于点 O,AC 平分BAD,过点 C 作 CEAB 交 AB 的 延长线于点 E连接 OE (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若 AB5OE2,求线段 CE 的长 7等腰ABC 中,ABBC8,ABC120,
7、BE 是ABC 的平分线,交 AC 于 E,点 D 是 AB 的中点,连接 DE,作 EFAB 于点 F (1)求证四边形 BDEF 是菱形; (2)如图以 DF 为一边作矩形 DFHG,且点 E 是此矩形的对称中心,求矩形另一边的长 8如图,在平行四边形 ABCD 中,以点 A 为圆心,AB 长为半径两弧交 AD 于点 F,再分别以点 B,F 为圆心,大于1 2BF 为半径画弧,两弧交于一点 P,连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 EF (1)AB AF(选填“” , “” , “” , “” ) :AE BAD 的平分线 (选填“是”或“不是” ) (2)在(1)的条件下,求证:四
8、边形 ABEF 是菱形 (3)AE,BF 相交于点 O,若四边形 ABEF 的周长为 40,BF10,则 AE 的长为 ,ABC 9.如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 边上的点,AE=BC,DFAE 于点 F,连接 DE. (1)求证:ABEDFA (2)如果 AD=10,AB=6,求 sinEDF 的值. E F C D A B 10如图,AB 是O 的直径,点 C 是 的中点,连接 AC 并延长至点 D,使 CDAC,点 E 是 OB 上一点,且 = 2 3, CE 的延长线交 DB 的延长线于点 F,AF 交O 于点 H,连接 BH (1)求证:BD 是O 的切线; (2)当 O
9、B2 时,求 BH 的长 11四边形 ABCD 内接于O,AB 是O 的直径,ADCD (1)如图 1,求证ABC2ACD; (2)过点 D 作O 的切线,交 BC 延长线于点 P(如图 2) 若 tanCAB 5 12,BC1,求 PD 的长 12.如图,AB 是O 的直径,AB6,OCAB,OC5,BC 与O 交于点 D,点 E 是 的中点,EFBC,交 OC 的延长 线于点 F (1)求证:EF 是O 的切线; (2)CGOD,交 AB 于点 G,求 CG 的长 13如图,ABCD 中,ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O,OD4,以点 O 为圆心,OD 长为半径作O,分别交边
10、DA、 DC 于点 M、N点 E 在边 BC 上,OE 交O 于点 G,G 为 的中点 (1)求证:四边形 ABEO 为菱形; (2)已知 cosABC1 3,连接 AE,当 AE 与O 相切时,求 AB 的长 14如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,ADCE,垂足为 D,AC 平分DAB (1)求证:CE 是O 的切线; (2)若 AD4,cosCAB4 5,求 AB 的长 15.如图,在ABCD 中,D60,对角线 ACBC,O 经过点 A,B,与 AC 交于点 M,连接 AO 并延长与O 交于 点 F,与 CB 的延长线交于点 E,ABEB (1)求证:EC 是O 的切线; (2
11、)若 AD23,求 的长(结果保留 ) 16.如图 1,在四边形 ABCD 中,ADBC,DAB90,AB 是O 的直径,CO 平分BCD (1)求证:直线 CD 与O 相切; (2)如图 2,记(1)中的切点为 E,P 为优弧 上一点,AD1,BC2求 tanAPE 的值 17如图,在O 中,弦 AB 与直径 CD 垂直,垂足为 M,CD 的延长线上有一点 P,满足PBDDAB过点 P 作 PN CD,交 OA 的延长线于点 N,连接 DN 交 AP 于点 H (1)求证:BP 是O 的切线; (2)如果 OA5,AM4,求 PN 的值; 【答案详解】 1.【解析】 (1)先证明AEFDEB
12、(AAS) ,得 AFDB,再依 AF/BC 可得四边形 ADCF 是平行四边形,BAC90,D 是 BC 的中点,依直角三角形斜边中线的性质得 ADCD1 2BC,四边形 ADCF 是菱形; (2)解:设 AF 到 CD 的距离为 h,AFBC,AFBDCD,BAC90, S 菱形 ADCFCDh 1 2BChSABC 1 2ABAC 1 2121696 2 【解析】 (1)由 SAS 证明ABEBCF 得出 AEBF,BAECBF,由平行线的性质得出CBFCEG,证出 AEEG,即 可得出结论; 证明: (1)四边形 ABCD 是正方形,ABBC,ABCBCD90,ABEBCF90, AB
13、EBCF(SAS) ,AEBF,BAECBF,EGBF,CBFCEG,BAE+BEA90, CEG+BEA90,AEEG,AEG 的度数为 90; (2)延长 AB 至点 P,使 BPBE,连接 EP,则 APCE,EBP90,证明APEECG 得出 AEEG,证出 EG BF,即可得出结论 证明:延长 AB 至点 P,使 BPBE,连接 EP,如图所示:则 APCE,EBP90,P45, CG 为正方形 ABCD 外角的平分线,ECG45,PECG,由(1)得BAECEG, APEECG(ASA) ,AEEG,AEBF,EGBF,EGBF, 四边形 BEGF 是平行四边形 3如图,在边长为
14、6 的菱形 ABCD 中,点 M 是 AB 上的一点,连接 DM 交 AC 于点 N,连接 BN (1)求证:ABNADN; (2)若ABC60,AM4,ABNa,求点 M 到 AD 的距离及 tana 的值 【解析】 (1)ABN 和ADN 中,不难得出 ABAD,DACCAB,AN 是公共边,根据 SAS 即可判定两三角形全 等 证明: (1)四边形 ABCD 是菱形,ABAD,12又ANAN,ABNADN(SAS) (2)通过构建直角三角形来求解作 MHDA 交 DA 的延长线于点 H由可得MDAABN,那么 M 到 AD 的距离 和 就转化到直角三角形 MDH 和 MAH 中,然后根据
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