2021年广东省深圳市中考数学考点题型专项复习训练:第13讲 几何压轴题
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1、 深圳中考专项复习第 13 讲之几何填空压轴题 【考点介绍】 在深圳中考卷中第 15 或 16 题位置,每年都会出现一道纯几何填空题,难度中等或偏上,对初中几何性质、定理、 数学典型模型的综合(特别是相似综合)考查. 【最近五年中考实题详解】 1.(2020 深圳)如图, 已知四边形 ABCD, AC 与 BD 相交于点 O, ABC=DAC=90, tanACB=1 2, BO OD = 4 3,则 SABD SCBD = _ 【解析】由已知条件的线段比联想到相似,故过 B 点作 BE/AD 交 AC 于点 E,构造相似典型图形“8 字模型” ,可得 OE OA = BO OD = 4 3,
2、而相似中的面积问题,一般有两条解题思路线:若两三角形相似,则面积比等于相似比的平方; 若两三角形不相似,则必出现等底(或等高) ,则面积之比会等于高(或底)之比。此题是属于第种情况, SOAD SOCD = SOAB SOCB = OA OC,则由比例的等比性质可得 SABD SCBD = OA OC,故只需要求出 OA OC的值即可。在 RtABC 中出现一个数学典 型模型 “双垂模型” , 则ACB=ABE, 则 tanACB=tanABE=1 2, 即 BE CE = AE BE = 1 2, 由 OE OA = 4 3可设 OE=4a,则 OA=3a,AE=7a, BE=14a,EC=
3、28a,OC=OE+EC=32a,则 SABD SCBD = OA OC = 3a 32a = 3 32. 2.(2019 深圳)如图,在正方形 ABCD 中,BE=1,将 BC 沿 CE 翻折,使 B 点对应点刚好落在对角线 AC 上,将 AD 沿 AF 翻折,使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上,求 EF=_ 【解析】 :中等难度题,折叠问题,考查正方形性质及勾股定理。 E C o D B A F E D CB A G M F E D CB A 作 FMAB 于点 M, 设 B 的对应点为 G, 由折叠问题易得: BCEDAF (ASA) , BE=DF=1, BE=EG=1, BAC
4、=45, EGA 是等腰直角三角形,AE=2,AB=AD=MF=2 + 1,ME=AE-AM=2 1,在直角三角形 MFE 中,由勾股定 理可得 EF=6. 3.(2018 深圳)在 RtABC 中,C=90,AD 平分CAB,AD、BE 交于点 F,且 AF=4,EF=2,则 AC=_. 【解析】 :填空压轴题,高难度题型。考查几何综合证明与计算。 由多条角平分线,联想到“两角平分线与角度关系”的典型模型-“两内角角平分线:AFB = 90 + 1 2C” , 便可得出AFB=135,进而得出AFE=45, (这个结论的得出,是解决此题的“突破口”和思路的关键点) ,则 AFE=45联想到一
5、条解题经验: “出现 45往往构造等腰直角三角形” ,所以作 EMAD 于点 M,则EFM 是等腰直 角三角形,由 EF=2,便可算出 MF=EM=1,则 AM=3,由勾股定理得出 AE=10,连接 CF,由“三角形三条角平分线 会交于一点”可知 CF 是ACB 的角平分线,则ACF=45,由相似典型图形的“共角”模型,易证AEF AFC,得AE AF = AF AC,即 10 4 = 4 AC,则AC = 8 510 4.(2017 深圳)如图,在 RtABC 中,ABC=90,AB=3,BC=4,RtMPN,MPN=90,点 P 在 AC 上,PM 交 AB 于点 E,PN 交 BC 于点
6、 F,当 PE=2PF 时,AP= 【解析】旋转典型模型“尺子模型” ,常见解题方法:把尺子摆正,按这添辅助线。如图作 PQAB 于 Q,PRBC 于 R 由QPERPF, 推出PQ PR = PE PF=2, 可得 PQ=2PR=2BQ, 由 PQBC, 可得 AQ: QP: AP=AB: BC: AC=3: 4: 5, 设 PQ=4x, 则 AQ=3x,AP=5x,BQ=2x,可得 2x+3x=3,可得 x=3 5,AP=5x=3 【针对练习巩固】 1如图,将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知ABC 的面积为 16,阴影部分三角形的面 积 9若 AA1,则 AD 等
7、于_ 2.如图, 在RtABC中, ACB=90, CDAB于点D, AF平分CAB, 交CB于点F, 交CD于点E, 若AC=6, sinB=3 5,则DE的长 为_. 3.如图, ABC 中, 4AB=5AC, AD 为ABC 的角平分线, 点 E 在 BC 的延长线上, EFAD 于点 F, 点 G 在 AF 上, FG=FD, 连接 EG 交 AC 于点 H,若点 H 是 AC 的中点,则AG FD的值为_ 4如图,在ABC 中,ABAC5,BC45,D 为边 AB 上一 动点(B 点除外) ,以 CD 为一边作正方形 CDEF, 连接 BE,则 BDE 面积的最大值为_ 5.如图,四
8、边形 ABCD 是菱形,AB=4,且ABC=60,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意 一点,则 AM+1 2BM 的 最小值_ F E D C B A 6如图,正方形 ABCO 的边长为2.,OA 与 x 轴正半轴的夹角为 15 o,点 B 在第一象限,点 D 在 x 轴的负半轴上, 且满足BDO15,直线 ykx+b 经过 B、D 两点,则 bk 7如图,RtABC 中,C90,AB43,F 是线段 AC 上一点,过点 A 的F 交 AB 于点 D,E 是线段 BC 上 一点,且 EDEB,则 EF 的最小值为_ 8如图,RtABC,AB3,AC4,点 D 在以 C 为圆心 3 为半径
9、的圆上,F 是 BD 的中点,则线段 AF 的最大值 是 9.如图,在O 的内接四边形 ABCD 中,AB=3,AD=5,BAD=60,点 C 为弧 BD 的中点,则 AC 的长是_ 10 如图, 在ABCD 中, B=60 , AB=10, BC=8, 点 E 为边 AB 上的一个动点, 连接 ED 并延长至点 F , 使得 DF=1 4DE, D M C B A D F E C B A 以 EC、EF 为邻边构造EFGC,连接 EG,则 EG 的最小值为 . 11.如图,四边形 ABCD 中,ABCD,ABC60,ADBCCD4,点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点,满足 AMD90,
10、则点 M 到直线 BC 的距离的最小值为 12如图,点 A,B 的坐标分别为 A(2,0) ,B(0,2) ,点 C 为坐标平面内一点,BC1,点 M 为线段 AC 的中点, 连接 OM,则 OM 的最大值为_ 13.如图,矩形 ABCD 中,AB3,BC12,E 为 AD 中点,F 为 AB 上一点,将AEF 沿 EF 折叠后,点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处,则折痕 EF 的长是 14.如图,在 RtABC 中,ACB90,AB10,BC6,CDAB,ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E,DE G F E D C B A M D C BA A B C O M x y 15如图,
11、矩形 ABCD 的四个顶点分别在直线 l3,l4,l2,l1上若直线 l1l2l3l4且间距相等,AB4,BC3, 则 tan 的值为_ 16.如图,矩形 OABC 的边 OC 的 y 轴上,OA 在 x 轴上,C(0,3) ,点 D 是线段 OA 的一个动点,连接 CD,以 CD 为边 作矩形 CDEF,使 EF 过点 B,连接 OF,当点 D 与点 A 重合时,所作矩形 CDEF 的面积为 12,在点 D 的运动过程中, 当线段 OF 有最大值时,则点 F 的坐标为_ 17.如图,矩形 ABCD 中,BC=4,且 AB=23,连接对角线 AC,点 E 为 AC 中点,点 F 为线段 AB
12、上的动点,连接 EF, 作点C关于EF的对称点C, 连接CE, CF, 若EFC与ACF的重叠部分 (EFG) 面积等于ACF的1 4, 则BF= . 18.如图,正方形 ABCD 中,点 E,F,G 分别为 AB,BC,CD 边上的点,EB=3,GC=4,连接 EF,FG,EG,恰好构成一个等边三 三角形,则这个正方形的边长是_ 19. 如图,矩形 OABC 的边 OA 与 x 轴重合,B(-1,2) ,将矩形 OABC 绕平面内一点 P 顺时针旋转 90,使 A、C 两 点落在反比例函数 y= 4 x的图像上,则旋转中心 P 点的坐标为_ F E D C B A O y x G F D E
13、 C B A C 20.如图,分别以ABC 中 BC 和 AC 为腰向外作等腰直角EBC 和等腰直角DAC,连结 DE,且 DEBC, EB=BC=6,四边形 EBCD 的面积为 24,则 AB 的长为_ 21.如图, 等腰ABC 中, BC=85,tanABC=1 2,D 为边 AC 上一动点 (不与 C 点重合) , 作 DEBD 于点 D, 使得 DE BD = 2 3,连接 CE,则CDE 面积的最大值为_ 22. 已知矩形 ABCD,AB=8,AD=6,E 是 BC 边上一点且 CE=2BE,F 是 CD 边的中点,连接 AF、BF、DE 相交于 M、N 两点, 则FMN 的面积是_
14、 23如图,矩形 ABCD 中,AE1 3AD,将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE,延长 BG 交 CD 于 F 点,若 CFFD3,则 BC 的长为_ x y O A BC O AB C C BA O F P E C B A O y x E D CB A G F E D C B A 【答案详解】 1 【解析】 :设 AB交 BC 于 E,AC交 BC 于 FSABC16、SAEF9,且 AD 为 BC 边的中线, SADE1 2SAEF 9 2,SABD 1 2SABC8,将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移得到ABC, AEAB,DAEDAB,则(AD AD) 2SADE SABD
15、,即( AD AD:1) 2 9 2 8 = 9 16,解得 AD3 或 AD 3 7(舍) , 2.【解析】 :考查角平分线的性质、相似判定与性质应用。 由 AC 及 sinB 可得 AB=10,BC=8,在直角三角形 ABC 中,由数学典型模型“双垂型”的“射影定理”可得:AC=AD AB,AD=3.6,由角平分线的相似性质可得:AF 是BAC 的角平分线,AB:AC=BF:FC,FC=3,易证 ADEACF,AD:DE=AC:CF,DE=1.8. 3.【解析】由题易知DEG 为等腰三角形,证ABDAHG 即可,AG:DF=4:3. 【思路分析】 (1)先理清题目条件: 已知条件: 在AB
16、C 中,AB:AC=5:4,H 是 AC 的中点,则 AB:AH=5:2; 由题可证EDG 是等腰三角形,F 是 DG 中点; 所求结论: 求 AG:FD 的值,可拓展为求 AG:GF 或 AG:GD 或 AG:AD 的值均可; (2)梳理解题思路: 求线段比问题,首先考虑相似知识,即首先找到相关联的两个三角形。对刚才梳理的条件中“已知条件与未知条 件”进行比对,不难发现:已知条件中的“AB:AH”与未知条件中的“AG:AD”既包含有已知条件与未知条件,AB 与 AD、AG 与 AH 又分别处于ABD 与AGH 中,若能证明出这两个三角形相似,本题就问题就能迎刃而解。所以思 考的重点转移到了如
17、何证明ABDAHG 中,BAD=HAG 是已知条件,故只需再找一组对应等角即可,结合已知 条件,不难得出ABD=AGH。 【解答过程】 4AB=5AC,H 是 AC 的中点,AB:AH=5:4,又EFAD,FG=FD,EF 是 DG 的垂直平分线,EG=ED,EGD= EDG, ADB=AGH, 又BAD=HAG, ABDAHG, AB:AH=AD:AG=5:2,设 AD=5,则 AG=2, 则 DG=3, DF=1.5, AG:DF=2:1.5=4:3=4/3 4 【解析】求BDE 面积的底与高均是未知变化的,关于两个变量的最值问题,多采用代数方法:用二次三项式表 示出面积,再利用二次函数配
18、方法求最值。设 BD=x,作 EGBA 交 BA 的延长线于点 G,用办法用 x 表示出 EG 的长即 可。当 EGBA 时,出现一个数学典型模型“L 型一线三垂直模型”中的“二垂” ,故作 CHBA 于点 H,则 RtEDG RtDCH,则EG=DH, 想办法利用等腰三角形ABC性质及勾股定理表示出DH的长。 作AMBC于点M, 则BM=CM=25,由 相似典型图形“共角模型”易证BMABHC,得BM BH = AB BC,即 25 BH = 5 45,得 BH=8,则 DH=8-x=EG, 则SBDE= 1 2BD EG = 1 2x(8 x) = 1 2 (x 4)2+ 8,当 x=4
19、时,SBDE有最大值,最大值为 8. 5.【解析】数学典型题型: “胡不归问题” ,由ABD=30,故作 MEAB 于点 N,则1 2BM=EM,BD 是ABC 的角平分 线,作 MFBC 于点 F,则 MF=ME=1 2BM,当 A、M、F 在同一直线上时,即作 AFBC 交 BC 于点 F,交 BD 于点 M,此时 AM+MF 有最小值,即 AM+1 2BM 有最小值,最小值为 AF 的长度,在 RtABF 中,AF=ABsin60=23. 6 【解析】连接 OB,过点 B 作 BEx 轴于点 E,根据正方形的性质可得出AOB 的度数及 OB 的长,结合三角形外角 A B C D E F
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