2021年广东省深圳市中考数学考点题型专项复习训练:第20讲 二次函数几何压轴题
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1、 深圳中考专项复习第 20 讲之二次函数几何综合压轴题 【考点介绍】 每年深圳中考两题解答压轴题之一,考查二次函数与几何知识的综合运用,难度极大,其中第(2)小题中等难 度,第(3)小题高难度。 【最近五年深圳中考实题详解】 1.(2020 深圳)如图 1,抛物线y = ax2+ bx + 3(a0)与 x 轴交于 A(-3,0)和 B(1,0) ,与 y 轴交于点 C,顶 点为 D (1)求解抛物线解析式 (2)连接 AD,CD,BC,将OBC 沿着 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移,得到,点 O、B、C 的对应 点分别为点,设平移时间为 t 秒,当点与点 A 重合时停止移动。记与
2、四边形 AOCD 的重叠 部分的面积为 S,请直接写出 S 与时间 t 的函数解析式; (3)如图 2,过抛物线上任意 一点 M(m,n)向直线 l:作垂线,垂足为 E,试问在该抛物线的对称轴上是否 存在一点 F,使得 ME-MF=?若存在,请求 F 点的坐标;若不存在,请说明理由。 解析: (1)代入法可得抛物线的解析式为y = x2 2x + 3 (2)思路分析:先分段:当 B 点到达 O 点之前,重叠图形为梯形,此时 0t1;当点 C 平移到线段 AD 上之前,重叠 图形就是OBC; C点的纵坐标为3, D(-1,4)直线AD解析式为y=-2x+6,把y=3代入可得C移到AD上时的坐标为
3、 (3 2, 3) , x y M D C BA OBO C x y K G H M D C BA O B O C x y D C BAO 故;最后一段即为 由抛物线解析式得顶点 D 坐标为(-1,4),则直线 AD 的解析式为 y=2x+6,当在 AD 上时,坐标为 如图所示,当 0t1 时, 当时,完全在四边形 AOCD 内, 当时,如图所示,过 G 点作 GH,设 HG=x, , 而, 综上: (3)代数论证方法解题,用未知数表示出 ME、MF 的长,利用条件“ME-MF=1 4”建立方程,此题的难点就在如何解 可能四次项的方程,注意不要展开,利用配方法,通过开平方的技巧来降次。 假设存
4、在,设 F 点坐标为(-1,t),点 M(m,n)在抛物线上 , ,而 由题可知,点 F 只有一个, (附:特殊值中的特殊位置法,点 M 是任意一点均能使结论成立,则 M 在顶点时也能满足要求,则 M(-1,4), E(-1,9 2),ME= 1 2,则 MF= 1 4,则 F 点的坐标为(-1, 15 4 ) ,当然此种解法只限于填选题,解答题需要提供验证) 2.(2019 深圳) 如图,抛物线y = ax2+ bx + c经过 A(-1,0) 、C(0,3) ,B 点在 x 轴上,且 OB=OC; (1)求抛物线的解析式及其对称轴; (2)点 D、E 在直线 x=1 上的两个动点,且 DE
5、=1,点 D 在点 E 的上方,求四边形 ACDE 的周长的最小值; (3)点 P 为抛物线上一点,连接 CP,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分,求点 P 的坐标. 【思路分析】 (1)由 OB=OC 可得 B 点坐标,把 A、B、C 三点坐标代入,即可得抛物线解析式,由 x=-b/2a 可得对称轴; 【解题过程】 (1)C(0,3) ,OC=3,OB=OC=3,B 点坐标为(3,0) ,把 A、B、C 三点坐标代入y = ax2+ bx + c,可得 C E D B A O y x P x y OAB C 图1 C C E D B A O y x M F P 图2
6、x y OA B C P Q C B A O y x x y O F K G H E y= 9 2 M D C BA a b + c = 0 9a + 3b + c = 0 c = 3 ,解得a = 1,b = 2,c = 3,抛物线的解析式为y = x2+ 2x + 3,对称轴x = b 2a = 1. 【思路分析】 (2)四边形 ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE,由题可知 AC、DE 的长度是已知固定的,要想周长最小,只需 CD+AE 最小, 属“将军饮马问题”第四种情形“二定二动”情形,解题方法是“平移+对称” ,将点 C 往下平移 1 个单位得 C,由 于 A、B 关于直线 x
7、=1 对称,故连接 CB 交直线 x=1 于点 E,在 E 的上方取一点 D,使 CD=1,此时 CD+AE 有最小值, 最小值为 CB 的长度,进而可得出四边形 ACDE 周长的最小值; 【解题过程】 (2)将点 C 往下平移 1 个单位得 C,由于 A、B 关于直线 x=1 对称,故连接 CB 交直线 x=1 于点 E,在 E 的上方取 一点 D, 使 CD=1, 此时 CD+AE 有最小值, CC/DE, 且 CC=DE=1, 四边形 CCED 是平行四边形, CD=CE, A、 B 关于直线 x=1 对称,AE=BE,则 CD+AE=CE+BE=CB,即 CD+AE 最小值为 CB 的
8、长度,A(-1,0) 、C(0,3) , AC=10, C (0, 2) , B (3, 0) , BC=13, 四边形 ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=AC+DE+CB=1+10+13. 【思路分析】 (3)直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分,存在两种情况:SACP:SCBP=3:5 时;SACP:S CBP=5:3 时;这里介绍两种方法求解: (1)常规方法:利用面积公式求解的方法:设 P 点坐标,用面积方法中的“水平宽铅垂高2”分别表示出ACP 与CBP 的面积,按上述比例列方程求解,即可得出 P 点坐标,注意:过点 P 作 PMx 轴交 CB
9、的延长线于点 F, 交 AC 的延长线于点 M,ACP 的“水平宽”是 OA 的长, “铅垂高”为 PM 的长;CBP 的“水平宽”是 OB 的长, “铅 垂高”为 PF 的长;CP 要分四边形 CBPA 的面积,P 点必须在 x 轴下方的抛物线位置. (2)巧妙方法:利用成“等比性质确定面积比关系”求解;CAQ 与CBQ、PAQ 与PBQ 均为高相等的三角形, 故面积之比均为 AQ:QB,利用比例线段的“等比性质” ,即可得出APC 与CBP 的面积之比仍为 AQ:QB, 【解题过程】 (3)常规方法: 过点 P 作 PMx 轴交 CB 的延长线于点 F,交 AC 的延长线于点 M,设 P
10、点坐标为(m,m2+ 2m + 3),A(-1,0) 、 C (0, 3) , 直线 AC 的表达式: y = 3x + 3, B (3, 0) 、 C (0, 3) , 直线 BC 的表达式: y = x + 3, M(m,3m + 3), F(m,m + 3),PM=3m + 3 (m2+ 2m + 3) = m2+ m,PF=m + 3 (m2+ 2m + 3) = m2 3m, 当SACP:SCBP= 3:5 时,即(1 2OA PM):( 1 2OB PF) = 3:5,* 1 2 1 (m2+ m)+:* 1 2 3 (m2 3m)+ = 3:5, 解得m = 8,P 点坐标为(8
11、,-45) ; 当SACP:SCBP= 5:3 时, 即* 1 2 1 (m2+ m)+:* 1 2 3 (m2 3m)+ = 5:3,解得m = 4, P 点坐标为 (4, -5) ; 综上所述,当,直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分,点 P 的坐标分别为(8,-45) 、 (4,-5) ; 利用“等比性质”求解面积比的方法 设CP、 AB交于点Q, 由 “高相等时面积之比等于底边之比” 可得: SACQ SBCQ = AQ QB, SPAQ SPQB = AQ QB ,SACQ SBCQ = SPAQ SPQB = AQ QB ,依成比 例线段的 “等比性质”可得:
12、 SACQ+SPAQ SBCQ:SPQB = AQ QB ,即SACP SBCP = AQ QB, AQ QB = 3 5或 AQ QB = 5 3, 即 AQ AB = 3 8或 AQ AB = 5 8, AB=4,AQ= 3 2 或5 2,Q 点坐标为( 1 2,0)或( 3 2,0) ,则直线 CQ 的表达式为:y=-6x+3 或 y=-2x+3,与抛物线解析式联立方程: y = 6x+ 3 y = x2+ 2x + 3或 y = 2x+ 3 y = x2+ 2x + 3,解得 P 点坐标为(8,-45)或(4,-5) 【点评】 (1)第(2)小题尽管是“将军饮马问题”五大情形中最难的一
13、类,但也属常见题型,很多重点中学初二上的期中 期末考试中的“将军饮马问题”也经考查到这个难度层次了,只要把握住作图方法,其解决难度只能算是中等;本 号中的文章“数学典型模型之八:将军饮马问题”之“平移+对称”模型有详细介绍及相似例题。 (2) 面积问题是二次函数几何综合题型中最常见的题型, 近五年深圳中考的二次函数压轴题, 都会考查面积问题, 所以今年再次考也是意味之中的事。此题的难度不在于分类讨论,而在于确定面积方法。运用方法一,思路上更直 接,更常规,容易入手,但它的难度在于如何确定这两个三角形的“水平宽”与“铅垂高” ,选的是三种确定方法 中不太常见的那一种,故难度卡在这。运用方法二,更
14、简单,但通过比的性质来寻找面积比的关系,这个思考角度 很灵活,不易联想到,难在思路的入口上。 3.(2018 深圳) 已知顶点为 A 抛物线y = a(x 1 2) 2 2经过点B( 3 2,2),点C( 5 2,2). (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,直线 AB 与x轴相交于点 M,y 轴相交于点 E,抛物线与y轴相交于点 F,在直线 AB 上有一点 P,若OPM= MAF,求POE 的面积; (3)如图 2,点 Q 是折线 AB-C 上一点,过点 Q 作 QN/y 轴,过点 E 作 EN/x 轴,直线 QN 与直线 EN 相交于点 N, 连接 QE,将QEN 沿 QE 翻折得到Q
15、EN1,若点N1落在x轴上,请直接写出 Q 点的坐标. 解析: (1)基础简单题,代入 B 或 C 点坐标,求得抛物线解析式为:y = (x 1 2) 2 2 (2)中等偏上难度题-面积问题,首先解决面积方法问题,由于 E 是已知点,则 OE 长是可求的,故首先考虑公 式法,且以 OE 为POE 面积中的的底,则 P 点的横坐标即是面积公式中的高,说明必须先确定点 P 的坐标;思路切 入口源自于题目条件“OPM=MAF” ,难点在于能否全面思考到点 P 的坐标有两种情况;解题的关键在于能否利用 角相等而形成的线平行或边相等来解题. 由y = (x 1 2) 2 2, 可得A(1 2,2), F
16、(0, 7 4), 由A( 1 2,2), B( 3 2,2)可得yAB = 2x 1,E( 0,1).由A(1 2,2), F(0, 7 4) 可得yAF = 1 2x 7 4, 当 P 点在 M 点上方时,OP1M=MAF,OP1/AF,yOP1= 1 2x,联立方程 y = 2x 1 y = 1 2x ,解得x = 2 3 , P1( 2 3, 1 3),SPOE = 1 2 OE |xP| = 1 2 1 2 3 = 1 3. 当 P 点在 M 点下方时,OP2M=MAF,OP1M=OP2M,OP1= OP2 ,由可知:OP1= (2 3) 2+ (1 3) 2 = 5 3 . OP2
17、= 5 3 ,设P2(m,2m 1), OP2= m2+ (2m 1)2= 5 3 ,解得m1= 2 3,m2 = 2 15 , N1 Q O x y F E A CB MM BC A E 图2图1 F N y x O P P2 P1 M BC A E 图3 F y x O N N1 Q O x y F E A CB M 图4 H N1 Q N O x y F E A CB 图5 P1( 2 15, 11 15),SPOE = 1 2 OE |xP| = 1 2 1 2 15 = 1 15. 综上所述,POE 的面积为1 3或 1 15. (3)高难度压轴小题-与几何变换问题结合。确定两种分类
18、讨论情形,画出图形,利用折叠对称性质:对应点的 连线被折痕垂直平分,通过“两直线垂直,k 值互为负倒数”的代数方法求解 Q 点坐标,是解题关键。 当 Q 点在 AB 上时,如图 2,连接 NN1,由折叠性质可得:QENN1,NE=EN1. QN/y 轴,EN/x 轴,E( 0,1),设Q(m,2m 1),N(m,1), NE=EN1= |m| Q、E 在 AB 上,yQE= 2x 1,QENN1,设yNN1= 1 2x + b,代入N(m,1),可得yNN1 = 1 2x 1 2m 1, N1(m + 2,0) ,在 RtON1E 中,ON12+ OE2= EN22,即(m + 2)2+ 12
19、= m2,解得m = 5 4 ,Q( 5 4, 3 2) 当 Q 点在 BH 上时,如图 4,连接 NN1,由折叠性质可得:QENN1,NE=EN1. QN/y 轴,EN/x 轴,E( 0,1), 点 Q 在 BC 上,设Q(m,2),N(m,1), NE=EN1= |m| Q(m,2), E( 0,1), yQE= 3 mx 1,QENN1,设yNN1 = m 3 x + b,代入N(m,1),可得yNN1= m 3 x + 1 3m 2 1,N1( 3 m + m,0) ,在 RtON1E 中,ON12+ OE2= EN22,即( 3 m + m)2+ 12= m2,化简为 9 m2 =
20、5,解得 m1= 35 5 ,m2= 35 5 ,如图 5.Q(35 5 ,2)或( 35 5 ,2), 综上所述,Q 的坐标为( 5 4, 3 2)、( 35 5 ,2)或( 35 5 ,2) 4.(2017 深圳) 如图,抛物线y = ax2+ bx + 2经过点 A(-1,0),B(4,0),交 y 轴于点 C. (1)求抛物线的解析式(用一般式表示) ; (2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点 D,使SABD= 3 2SABC,若存在请直接写出点 D 的坐标;若不存在 请说明理由; (3)将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45得到 BE,与抛物线交于另一点 E,求 BE
21、 的长. 【思路分析】 (1)直接代入或设交点式,均可求解二次函数解析式; (2)由题可知ABC 的面积,则ABD 的面积也是已知的,设点 D 的坐标,由面积的公式法列出方程解答,即可得 出点 D 的坐标; (3)已知等角,求点的坐标,典型的“函数中的点、角存在性题型” ,沿着固有的总体思路线分析即可; 【解答】 (1)抛物线 y=ax 2+bx+2 经过点 A(1,0) ,B(4,0) ,代入 A、B 两点坐标,可解得 抛物线解析式为y = 1 2x 2 + 3 2x + 2; (2)由题意可知 C(0,2) ,A(1,0) ,B(4,0) ,AB=5,OC=2,SABC=ABOC=52=5
22、,SABC=S ABD,SABD=5=,设 D(x,y) ,AB|y|=5|y|=,解得|y|=3, 当 y=3 时,由x 2+ x+2=3,解得 x=1 或 x=2,此时 D 点坐标为(1,3)或(2,3) ; 当 y=3 时,由x 2+ x+2=3,解得 x=2(舍去)或 x=5,此时 D 点坐标为(5,3) ; 综上可知存在满足条件的点 D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(5,3) ; (3) 【构造方法 1】 ,如图 1,过点 C 作 FCBC 交直线 BE 于点 F,作 FMy 轴于点 M,由CBF=45可得BCF 是等腰直 角三角形, 易证CMFBOC(AAS),MF=OC=2,
23、HC=BO=4,F (2, 6) , B (4, 0) , 直线 BE 解析式为 y=3x+12, y x C B A o 联立直线 BE 和抛物线解析式可得 y = 3x + 12 y = 1 2x 2 + 3 2x + 2 ,解得x = 4 y = 0或 x = 5 y = 3, E(5,3) ,BE=(5 4)2+ (3 0)2= 10 【构造方法 2】 ,如图 2,过点 C 作 FCBE 于点 F,作 FMy 轴于点 M,作 BNMF 于点 N,由CBF=45可得BCF 是等腰直角三角形, 易证CMFFNB(AAS),设 MF=BN=a,MC=FN=b,则,a + b = 4 a b
24、= 2, , a = 3 b = 1, F (3, 3) , B (4, 0) ,直线 BE 解析式为 y=3x+12, 联立直线 BE 和抛物线解析式可得 y = 3x + 12 y = 1 2x 2 + 3 2x + 2 ,解得x = 4 y = 0或 x = 5 y = 3, E(5,3) ,BE=(5 4)2+ (3 0)2= 10 5.(2016 深圳)如图,抛物线y = ax2+ 2x 3与 x 轴交于 A、B 两点,且 B(1 , 0) 。 (1)求抛物线的解析式和点 A 的坐标; (2)如图 1,点 P 是直线y = x上的动点,当直线y = x平分APB 时,求点 P 的坐标
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