四川省巴中市2020-2021学年高三上学期一诊考试数学（理科）试题（含答案）

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1、巴中市普通高中巴中市普通高中 20182018 级“一诊”考试级“一诊”考试 数学数学( (理科理科) ) (满分 150 分 120 分钟完卷) 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置. 2答选择题时请使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用 0.5 毫米黑色 墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效. 3考试结束后，考生将答题卡交回. 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分在每小题给出的四个选项中，

2、只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 1,0,1,2,450ABx xx ，则AB （ ） A1,0 B0,1 C0,1,2 D1,0,1,2 2若复数 2i = 1-i z，则复数z在复平面内对应点的坐标为（ ） A1, 1 B1,1 C1,1 D1, 1 3已知向量(1, 2),(2, 3),(3, )OAOBOCt，若, ,A B C三点共线，则实数t （ ） A4 B5 C4 D5 4如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员在8次射击训练中的训练成绩，根据图中数据，下列描 述中不正确的是（ ） A乙的成绩的众数为80 B甲的成绩

3、的中位数为83 C甲、乙的平均成绩相同 D乙的成绩比甲的成绩更稳定 5设 1 2021 2021 2020,log2020,sin2021abc ，则有（ ） Abca Bcba C abc Dcab 6设, a b是两条直线，, 是两个平面，则/ab的一个充分条件是（ ） A, / / ,ab B,/ /ab C,/ /ab D, / / ,ab 7若 5 2 a x x 的展开式中 4 x的系数为150，则 2 a （ ） A10 B15 C20 D25 8函数 2 ln 8 x yx的图象大致为（ ） A B C D 9直线2yx与抛物线 2 0yaxa交于, A B两点，O为坐标原点，

4、若| | |OAOBOAOB， 则a（ ） A 1 2 B1 C 3 2 D2 10 已知公差不为0的等差数列 n a的前n项和为 n S， 且 24 2aa， 设2 n a n b ， 数列 n b的前n项积为 n T. 给出以下四个结论： n S的最大值为 5 S； 38 SS；数列 n b是递增等比数列； 11 1.T 其中正确结 论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 11据我国古代数学名著九章算术记载： “堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱在 如图的“堑堵” 111 ABCABC中， 1 , 1, 2ACBC BCAA，D为棱 1 CC的中点，若直线 11 AB与A

5、D 所成角的余弦值为 3 4 ，则该 “堑堵”的外接球的表面积为（ ） A8 B12 C16 D32 12已知函数 f x对任意xR都有 (2)f xfx，当1x时， 1 ln2,01. , 0, x x x e f x x （其中e 为 自 然 对 数 的 底 数 ） ， 若 存 在 实 数, , ,a b c d abcd满 足( )( )( )()f af bf cf d， 则 4 () 3 a abcd be得取值范围为（ ） A 43 44 ln, 33e e B 2 444 , 3ee C 2 43 4 ln, 3e e D 2 43 4 ln, 3e e 二、填空题：本大题共二、

6、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13若 , x y满足约束条件 22 0 1 0 0 xy xy y ，则32zxy的最大值为 14若数列 n a对任意*nN满足： 123 23 n aaanan，则数列 1 n a n 的前n项和 为 15已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为 , 0F c，过F点垂直于C的渐近线的直线恰与 圆 22 20 xycx相切，则双曲线C的离心率为 16意大利画家达芬奇在绘制抱银貂的女子时曾思索女子脖子上的黑色项链的形状对应的曲线是什 么？即著名的“悬链线问题”.170

7、年后约翰伯努利与莱布尼茨得到悬链线的解析式为( )cosh x f xa a ， 其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，且cosh 2 xx ee x ，相应地双曲正弦函数为 sinh 2 xx ee x .若直线x m与双曲余弦曲线 1 C和双曲正弦函数曲线 2 C分别相交于点, A B， 曲线 1 C在 A点处的切线与曲线 2 C在B点处的切线相交于点P，给出如下结论： 函数sinh coshyxx为奇函数； sinh()sinh coshcosh sinhxyxyxy； BP的最小值为2； PAB的面积随m的增大而减小. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题三、解答题 ：共：共

8、 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17211721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . ( (一一) )必考题：共必考题：共 6060 分分. . 17在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.已知 3 sinsin,. 3 () 2 bAaBb （1）求ABC的外接圆直径； （2）求ABC周长的取值范围. 18为让中学生融入社会，更好地体验生活，某中学在 2020 年暑假

9、组织开展了丰富多彩的社会综合实践活 动，有一个综合实践活动小组以“冷饮销量与温度的关系”为主题开展调查研究，定点调研记录了某冷饮 销售点的销售情况， 对收集的数据经初步整理得到了如下数据表， 并得知销量y与温度t间有线性相关关系. 数组序号 1 2 3 4 5 温度t/摄氏度 29 31 33 35 37 销量y/杯 30 34 40 46 51 该小组确定的研究方案是：用这5组数据中任意3组数据求出线性回归方程，用另外2组数据进行检验. （1）记选取的3组数据的序号相邻的个数为X(注：0X 表示3组数据的序号互不相邻)，求X的分布 列及期望； （2）根据第2,3,4三组数据，求出销量y关于温

10、度t的线性回归方程ybta.由所求得线性回归方程得 到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2杯，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的 线性回归方程是否可靠？ 附：参考公式： 1 2 1 ,. n ii i n i i ttyy baybt tt 19如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA 平面ABCD， 2PAABAC， 45ABC，E是棱PC的中点，F是平面ABE与棱PD的交点. （1）证明：平面PBC 平面ABE； （2）求二面角CAFE的余弦值. 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 左右焦点分别为 12 (-1,0), (1,0)FF，上

11、顶点为B，直线 1 BF与椭圆 C的另一个交点为D，且 11 3BFFD. （1）求椭圆C的方程； （2）设过 2 F的直线l与椭圆C交于,P Q两点，若BPBQ，求三角形BPQ的面积. 21已知函数 2 ( )2() x f xeax aR （1）讨论函数 f x的极值点个数； （2）当函数 f x有两个极值点时，设 f x的极大值为M，证明：2Me. ( (二二) ) 选考题：共选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222，2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分题计分. . 22 【选修44：坐标系与参数方程

12、】 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的极坐标方程为2 2cos 4 ，曲线 2 C的参数方程为 2cos 2sin x y ，(为参数，且0). （1）设直线l与曲线C的交点为,M N，求MN的值； （2）记直线l与x轴，y轴分别交于, A B两点，点P在曲线 2 C上，求AB BP 的取值范围. 23 【选修4 5:不等式选讲】 已知函数( ) |4|1|,f xxxxR （1）解不等式：( ) 5f x ； （2）记( )f x的最小值为m，若0,0ab厖，且

13、abm，试证明： 112 . 213ab 巴中市普通高中巴中市普通高中 20182018 级“一诊”考试级“一诊”考试 文科数学参考答案及评分标准文科数学参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 1-5：CBADB 6-10：BBCDB 11、12AD 二、填空题二、填空题 136 14 1 n n 152 16 三、解答题三、解答题 17解： （1）方法 1（利用正弦定理的化边为角变形） 由sinsin 3 bAaB 及正弦定理，得：sinsinsinsin 3 BAAB 由(0, )A知：sin0A sinsincoscossin 33 BBB 化简得： 13 sincos 22 BB t

14、an3B 又(0, ),B故 3 B 由正弦定理得，ABC外接圆的直径： 3 2 21 sin sin 3 b R B . 方法 2（利用正弦定理的化边为角变形） 由sinsin 3 bAaB 及正弦定理，得：sinsinsinsin 3 BAAB 由(0, )A知：sin0A sinsincoscossin 33 BBB 化简得： 13 sincossin0 223 BBB 又(0, )B，故 3 B 由正弦定理得，ABC外接圆的直径： 3 2 21 sin sin 3 b R B . 方法 3（利用正弦定理的等积变形） 在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB ，可得sinsinb

15、AaB 代入sincos 6 bAaB ，得：sincos 6 aBaB 即sincoscossinsin 66 BBB 化简得： 13 sincos 22 BB tan3B 又(0, )B，故 3 B 由正弦定理得，ABC外接圆的直径： 3 2 21 sin sin 3 b R B . （2）方法 1 由（1）知， 3 B ，故 2 3 AC ，且 2 0 3 A 由（1）及正弦定理，得：1 sinsinsin abc ABC 2 sinsinsinsin 3 acACAA 31 3sincos3sin 226 AAA 由 2 0 3 A ，知： 5 666 A 1 sin1 26 A ，故

16、 3 3sin3 26 A 即： 3 3 2 ac 3 3 3 2 abc 即ABC的周长的取值范围 3 3 3, 2 . 方法 2 由（1）知 3 B ，由余弦定理得： 222 bacac 2 2222 1 ()3()3() 24 ac bacacacac 当且仅当ac时，取等号 3 2 b 2 ()3ac，即3ac 又 3 2 acb，故 3 3 2 ac 3 3 3 2 abc 即ABC的周长的取值范围为 3 3 3, 2 . 方法 3 由（1）知： 3 B ，且ABC的外接圆直径为1 由正弦定理，得：1 sinsinsin abc ABC 3 sinsinsinsinsin 2 abc

17、ABCAC 由 3 B 且,0,0ABCAB可设： , 333 3 Ax Cx x 则：sinsinsinsin2sincos3cos 333 ACxxxx 由, 3 3 x 知： 3 3cos3 2 x，当0 x即 3 AC 时取等号 33 3 33 22 abc 即ABC的周长的取值范围为 3 3 3, 2 18解： （1）由题意知，0,2,3X 0X 表示选取3组数据序号恰有两组相邻，故选出的3组序号可为： 用于检验的两组数据序号的所有可能结果如下： 124;125;1 34;145;235;245 总共6种 故 3 5 66 (2) 10 P X C 3X 表示选取3组数据序号彼此相邻

18、，故选出的3组序号可为： 1 23;234;345 共3种 故 3 5 33 (3) 10 P X C X的分布列为 X 0 2 3 P 1 10 6 10 3 10 16321 023 10101010 EX 注：计算2P X 也可用分布列的性质，即 6 (2)1(0)(3) 10 P XP XP X （2）由题意， 11 (31 3335)33,(344046)40 33 ty 3 1 2 ( 6)0 02 624 ii i ttyy 3 2 222 1 ( 2)028 i i tt 1 2 1 24 3 8 n ii i n i i ttyy b tt 403 3359aybt y 关于

19、t的线性回归方程为359yt 当29t 时，3 295928y ，有|3028| 2 当37t 时，3 375952y ，有|51 52| 12 回归方程为359yt 是可靠的. 19解： （1）方法 1 ,45ABACABC ABAC PA 平面ABCD，AB 平面ABCD PAAB ,ACPAA AC平面PAC，PA平面PAC AB平面PAC 由PC 平面PAC得：ABPC 连结AE，由PAAC且PEEC知：AEPC 又,AEABA AB AE平面ABE PC平面ABE PC 平面PBC 平面PAC 平面PBC 方法 2 ,45ABACABC ABAC PA 平面ABCD，PA平面PAC

20、平面PAC 平面ABCD 平面PAC平面ABCDAC AB平面PAC 由PC 面PAC得：ABPC 连结AE，由PAAC且PEEC知：AEPC 又,AEABA AB AE平面ABE PC平面ABE PC 平面PBC 平面PAC 平面PBC （2）方法 1 过E作EGAF，垂足为G，连结CG 由（1）知：PC 平面ABE PCAF AF平面CEG AFCG CGE为二面角CAFE的平面角由四边形ABCD是平面四边形得：/ABCD 又AB平面PCD，CD平面PCD /AB平面PCD 平面ABE平面PCDEF /ABEF 1 ,1 2 PFFD EFCD 222 11 3 22 AFPDCDCAPA

21、 在Rt AEF中，由等面积法得： 26 33 AEEF EG AF 又 2AECEEP tan3 CE CGE EG ，故 60CGE 二面角C AFE的余弦值为 1 2 方法 2 由（1）知，,AB AC AP两两垂直 以A为原点，,AB AC AP，的方向分别为 , ,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系 由已知，得：2,0,0 , 0,2,0 , 2,0,0 , 0,0,2 , 0,1,1BCDPE (0,2,0),( 2,2,0),(0, 2,2)ACADCP 由（1）知：平面ABEF的一个法向量为(0, 2,2)CP 由四边形ABCD是平行四边形得： /ABCD 又AB平面PCD

22、 CD，平面PCD. /AB平面PCD 平面ABE平面PCDEF /ABEF PFFD 故 1 1,1,1 2 AFADAP 设平面ACF的一个法向量为, ,nx y z 由 0, 0, n AC n AF 得 20, 0, y xyz 取1z 得：1,0,1n 21 cos, 2| |2 8 n CP n CP nCP 由几何形的结构知，二面角CAFE的余弦值为 1 2 . 20解： （1）方法 1 有题意，得上顶点为0,Bb，设 000 ,0D x yx 由 11 3BFFD及 1( 1,0) F 得： 0 311x ，解得 0 4 3 x 故直线 1 BF的方程为ybxb 由 00 22

23、 00 22 , 1, ybxb xy ab 消去y解得： 2 0 2 2 1 a x a 2 2 24 13 a a ，解得 2 2,a 故 2 1b 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 方法 2 由题意，得上顶点为(0, ),Bb设 000 ,0D x yx 由 11 3BFFD及 1( 1,0) F 得： 0 311x ，且 0 3yb 解得： 0 4 3 x ，且 0 3 b y 由点D在椭圆上得： 2 22 16 1, 99 b ab 解得 2 2a 22 11ba 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 方法 3 由己知得：椭圆的上顶点为(0, ),Bb，离心率为 1 eBFa

24、 a ， 设 000 ,0D x yx ，由 11 3BFFD及 1( 1,0) F 得： 1 3 a DF ，且 0 311x ，解得 0 4 3 x 由椭圆的焦半径公式，得： 10 4 3 DFaexa a 4 , 33 a a a 化简得 2 2a 22 11ba 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y （2）由（1）知及题意，直线l不过点B且与x轴不重合 设直线l的方程为 1122 1(1),1,1,xmymP myyQ myy 由BPBQ得： 0BP BQ 1212 11110mymyyy 变形化简得： 2 1212 1(1)20 *my ymyy 由 22 1, 220, xmy

25、xy 消去x整理得： 22 2210mymy 222 (2 )42810mmm 恒成立 由韦达定理，得： 1212 22 21 , 22 m yyy y mm 代入 *式得： 2 22 12 (1) 20 22 mm m mm 化简得： 2 230mm 由1m及上式解得3m 直线l的方程为310 xy 方法 1 2 8180m ，由弦长公式及求根公式得： 21 10 8020 2 |10 1111 PQyy 又点B到直线l的距离为 42 10 510 d 112 1020 28 5 | 2251111 BPQ SdPQ . 方法 2 设直线l与y轴的交点为E，则 14 0, 33 EBE 由

26、22 310, 220, xy xy 消去y，化简得： 2 114160 xx 解得： 11 26 526 5 , 1111 xx 21 12 5 11 xx 2121 128 5 . 2311 BPQBPEBQE SSSBE xxxx 方法 3 由（1）得： 2 2BF 由求根公式得： 21 4 5 11 yy 设点,P Q到直线 2: 10BFxy 分别为 12 ,d d，则： 12 1221 44416 5 22211 2 yy ddyy 22 12 28 5 . 211 BPQBPFBQF SSSdd 21解： （1）方法 1 f x的定义域为 ,2 x fxeaxR 记( )2 x

27、g xeax ，则( )2 x g xea 当0a时，( )( )20 x f xfxe，故 f x无极值点 当0a时，( )0, ( )g xg x 在R上是增函数 又 1 0 1 21210(0)2 a geeg a g x在R内有唯一零点 0 1 ,0 x a ，此时 00 0fxg x 当 0 xx时，( )( )0fxg x；当 0 xx时，( )( )0fxg x ( )f x 有唯一极值点 当0a，由( )0g x 得lnxa 由于当lnxa时，( )0g x ；当lnxa时( )0g x min ( )ln21 lng xgaaa i若1 ln0a，即0a e 时， ( )(

28、) 0fxg x f x在R上是增函数，无极值点 ii若1 ln0a，即ae时， min ( )0g x 又(0)20, (2ln )2 (2ln )0ggaa aa ( )2ln ()aaa ae，则当ae时 22 ( )110a ae ( )a 在( ,)e 上是增函数 ( )( )220aeae (2ln )0ga ( )g x 有两个零点 12 ,x x，且 12 0lnxax 当 1 xx，或 2 xx时，( )( )0g xfx；当 12 ;xxx时( )( )0g xfx 函数( )f x有两个极值点 综上所述，当0a时，函数( )f x有唯一极值点； 当0 a e剟时，函数(

29、)f x无极值点； 当ae时，函数( )f x有两个极值点. 方法 2 ( )f x的定义域为,( )2 x R fxeax 由(0)2 f 知，0不是函数( )fx 的零点 于是由( )0fx 得00 x e ax x 设( ),0, x e g xa x x 则 2 (1) ( ) x xe g x x 当 0 x，或01x时， ( )0g x ；当1x 时，( )0g x ( )g x 在(,0)和(0,1)上是减函数，在(1,)上是增函数 ( )(1)g xgea 极小 设( )1 x h xex，则( )1 x h xe 当0 x时， ( )0h xh x ， 单减；当0 x时，(

30、)0, ( )h xh x 单增 min ( )(0)0h xh，故 1 x ex 于是，当0 x时， 11 1 x ex xxx ； 当01x时， 11 1 x ex xxx 当 0 x时， ( )g x的取值范围为(,)a 当01x，( )g x的取值范围为(,)ea 当1x，( )g x的取值范围为(,)ea 当 0a 即0a时，函数 ( )g x仅在减区间,0 有唯一零点 当0aea剟即0 a e剟时，函数( )g x无零点 当0e a即ae，函数( )g x两个零点 当 0a时，函数 ( )f x有唯一极值点； 当0 a e剟时，函数( )f x无极值点； 当ae时，函数( )f x

31、有两个极值点. 方法 3 ( )f x的定义域为,( )2 x R fxeax 由( )0fx 得： x eax 于是( )fx 零点个数转化为函数 x ye与直线y ax 的公共点个数 由导数的几何意义可知： 过原点O仅有一条直线y ex 与曲线 x ye相切，切点为1, e 此时 0fx ，函数 f x无极值点 如图： 当0a时，直线y ax 与曲线 x ye有且仅有一个交点 0 0 (,) x x e，且 0 0 x 此时，若 0 xx，则 0fx； 若 0 xx，则 0fx 故 0 x是函数 f x的唯一极值点 当0ae时， 直线y ax 与曲线 x ye无公共点，函数 f x无极值点

32、 当ae时， 直线y ax 与曲线 x ye有两个交点 12 12 , xx x ex e 此时，若 1 xx，或 2 xx，则 0fx； 若 2 xxx，则 0fx 故 1 x是函数 f x的唯一极大值点， 2 x函数 f x的唯一极小值点 综上可知：当0a时， 函数 f x有唯一极值点； 当0ae时，函数 f x无极值点； 当ae时，函数 f x有两个极值点. （2）方法 1 由（1）知：当ae时，函数， f x有两个极值点，且 1 x为极大值点， 1 0ln .xa 02 ( )(0)202f xMfea 极大 又(0)20,(ln )(1)2()0ffafea 1 (0,1)x 由 1

33、 0fx得： 1 1 x axe 111 1111 ( )22$1) xxx f xMf xexeex x 极大 记( )(2)(0,1) x h xex x， 则对(0,1)x ，恒有( )(1)0 x h xex 函数( )h x在0,1上是增函数 ( )(1)h xhe ，即 ( )f xMe 极大 综上可得：2Me 方法 2 由（1）知：当ae时，函数， f x有两个极值点，且 1 x为极大值点， 1 0ln .xa 此时， 1 2 1 ( )2 x f xMeax 极大 ，且(0)2Mf 1 ,0lnaexa 11 22 11 22 xx Meaxeex 又(0)20,(ln )(1

34、)2()0ffafea 1 (0,1)x 设 2 ( )2(0,1) x F xeex x 由（1）知， F x在0,1上是增函数 1F xFe 2.Me ( (二二) )选考题选考题 22 【选修44：坐标系与参与方程】 解（1）方法 1 由 2 1, 2 2 2, 2 xt yt 消去参数t得：直线l的普通方程为10 xy 由2 2cos 4 得：2cos2sin 2 2 cos2 sin 由互化公式得： 1 C的直角坐标方程为 22 220 xyxy 故曲线 1 C为圆 22 (1)(1)2xy 于是，圆心(1,1)到直线10 xy 的距离 12 22 d 2 2 2 | 2 ( 2)6

35、 2 MN . 方法 2 由2 2cos 4 得：2cos2sin 化为直角坐标方程得： 22 220 xyxy 设点,M N对应的参数分别 12 ,t t 由参数的几何意义得： 12 |MNtt 代 2 1, 2 2 2, 2 xt yt 入 22 220 xyxy消去 , x y整理得：2 3 230tt 于是 2 (3 2)1260 由求根公式得： 1,2 3 26 2 t 12 6MNtt. （2）曲线 2 C的参数方程为 2cos , 2sin , x y （为参数，且0 剟）. 由点P在曲线 2 C上，设(2cos ,2sin ),(0)P剟 又由(1,0),(0,1)AB得： (

36、 1,1),(2cos ,2sin1)(0)ABBP 剟 2cos2sin12 2sin1 4 AB BP 由0 剟知： 3 , 444 剟 故 2 sin1 24 剟 3,2 21AB BP 23 【选修45：不等式选讲】 解： （1） 25,1, ( ) |4|1|3,14, 25,4, xx f xxxx xx 剟 于是由( ) 5f x 得： 25 5, 1, x x 或14x剟，或 25 5, 4. x x 解得：01x ，或14x剟，或45x 整合得：05x剟 不等式的解集为 0 5xx剟（或表示为0,5）. （2）方法 1 ( ) |4|1|(4)(1)3f xxxxx（当且仅当等号14x剟成立） ( )f x 的最小值3m，即3ab 由0,0ab厖知：20,10ab 11111 (2)(1) 21621 ab abab 1121122 222 6216213 baba abab 当且仅当1a 且2b时，等号成立 112 213ab . 方法 2 由（1）知： min ( )3mf x，故3ab 11111 (2)(1) 21621 ab abab 由0,0ab厖知：20,10ab 由柯西不等式得： 2 1111 (2)(1)214 2121 abab abab 当且仅当21ab 且3ab，即1,2ab时，等号成立 112 213ab .