2020年江西省吉安市吉水县中考模拟试数学卷（含答案解析）

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1、2020 年江西省吉安市吉水县中考数学模拟试卷年江西省吉安市吉水县中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1的倒数是（ ） A B C3 D3 2据统计去年来国内旅游人数达到 9.98 亿人次，用科学记数法表示 9.98 亿正确的是（ ） A9.98107 B9.98108 CO998109 D99.8107 3下面立体图形的左视图为（ ） A B C D 4 某服装专卖店销售的 A 款品牌西服去年销售总额为 50000 元， 今年该款西服每件售价比去年便宜 400 元， 若售出的件数相同，则该款西服销售总

2、额将比去年降低 20%，求今年该款西服的每件售价若设今年该 款西服的每件售价为 x 元，那么可列方程为（ ） A B C D 5如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图：分别以点 A、D 为圆心，以大于AD 的长为 半径在 AD 两侧作弧，交于两点 M、N；连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F；连接 DE、DF若 BD6，AF4，CD3，则下列说法中正确的是（ ） ADF 平分ADC BAF3CF CBE8 DDADB 6如图，在等边ABC 中，D 为 AC 边上的一点，连接 BD，M 为 BD 上一点，且AMD60，AM 交 BC 于 E当 M 为 BD 中点时，的值为（

3、 ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7计算：501530 8一次体检中，某班学生视力情况如下表： 视力情况 0.7 以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0 以上 人数所占的百分比 5% 8% 15% 20% 40% 12% 从表中看出全班视力情况的众数是 9已知不等式组的解集中共有 5 个整数，则 a 的取值范围为 10如图，在半圆 AOB 中，半径 OA2，C、D 两点在半圆上，若四边形 OACD 为菱形，则图中阴影部分 的面积是 11如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这

4、些小正方形的顶点上，AB 与 CD 相交于 点 P，则 tanAPD 的值为 12如图，等边三角形 ABC 中，AB5，延长 BC 至点 P，使 CP3，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 a 角（0 a60） ， 得到DBE， 连接 DP、 EP， 则当DPE 为等腰三角形时， 点 D 到直线 BP 的距离为 三、 （本大题共三、 （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13解方程组 14如图，点 D 在射线 AE 上，ABCD，CDE140，求A 的度数 15已知（x2+）2+|y+2+|0，求（x+2y）2（x2y）2的值 16如图，AD 是ABC 的中线

5、，tanB，cosC，AC求： （1）BC 的长； （2）sinADC 的值 17已知矩形 ABCD 的顶点 A、D 在圆上，B、C 两点在圆内，请仅用没有刻度的直尺作图 （1）如图 1，已知圆心 O，请作出直线 lAD； （2）如图 2，未知圆心 O，请作出直线 lAD 18先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题 （温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半 天考一科） 小明： “听说下周会进行连续两天的期中考试 ” 刘老师： “是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚 ” 小宇： “我估计是星期四、星期五 ” （1）求小宇猜对的概率； （2）若考试已定在星期四、星期

6、五进行，但各科考试顺序没定，请用恰当的方法求同一天考语文、数学 的概率 四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 19为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到 1h） ，抽样调查了部分学生，并 用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出扇形统计图中百分数 a 的值为 ，所抽查的学生人数为 （2）求出平均睡眠时间为 8 小时的人数，并补全频数直方图 （3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数 （4）如果该校共有学生 1200 名，请你估计睡眠不足（少于 8 小时）的学生数 20某校规划在一块长 AD

7、为 18m，宽 AB 为 13m 的长方形场地 ABCD 上，设计分别与 AD，AB 平行的横 向通道和纵向通道（通道面积不超过总面积的） ，其余部分铺上草皮 （1）如图 1，若设计两条通道，一条横向，一条纵向，4 块草坪为全等的长方形，每块草坪的两边之比 为 3：4，并且纵向通道的宽度是横向通道宽度的 2 倍，问横向通道的宽是多少？ （2）如图 2，为设计得更美观，其中草坪为全等的正方形，草坪为全等的长方形（两边 长 BN：BM2：3） ，通道宽度都相等，问：此时通道的宽度又是多少呢？ 21如图，菱形 OABC 的边 OC 在 x 轴正半轴上，点 B 的坐标为（8，4） （1）请求出菱形的边

8、长； （2）若反比例函数 y经过菱形对角线的交点 D，且与边 BC 交于点 E，请求出点 E 的坐标 五、 （本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 22如图，O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E、F （1）若EF 时，求证：ADCABC； （2）若EF42时，求A 的度数； （3）若E，F，且 请你用含有 、 的代数式表示A 的大小 23如图，抛物线 C1：y1ax2+2ax（a0）与 x 轴交于点 A，顶点为点 P （1）直接写出抛物线 C1的对称轴是 ，用含 a 的代数式表示顶点 P 的坐标 ； （2）把抛物线 C1绕点 M（m，0）旋转 180得到抛物

9、线 C2（其中 m0） ，抛物线 C2与 x 轴右侧的交 点为点 B，顶点为点 Q 当 m1 时，求线段 AB 的长； 在的条件下，是否存在ABP 为等腰三角形，若存在请求出 a 的值，若不存在，请说明理由； 当四边形 APBQ 为矩形时， 请求出 m 与 a 之间的数量关系， 并直接写出当 a3 时矩形 APBQ 的面积 六、 （本大题共 12 分） 24如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C90，BE30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 ； 设B

10、DC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC60，点 D 是角平分线上一点，BDCD4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCFSBDE，请直接写出相应的 BF 的长 2020 年江西省吉安市吉水县中考数学模拟试卷年江西省吉安市吉水县中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（

11、共一选择题（共 6 小题）小题） 1的倒数是（ ） A B C3 D3 【分析】根据倒数的定义求解即可 【解答】解：的倒数是3， 故选：D 2据统计去年来国内旅游人数达到 9.98 亿人次，用科学记数法表示 9.98 亿正确的是（ ） A9.98107 B9.98108 CO998109 D99.8107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 9.98 亿用科学记数法表示为：

12、9.98108 故选：B 3下面立体图形的左视图为（ ） A B C D 【分析】根据左视图的定义判断即可 【解答】解：下面立体图形的左视图为 B 故选：D 4 某服装专卖店销售的 A 款品牌西服去年销售总额为 50000 元， 今年该款西服每件售价比去年便宜 400 元， 若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低 20%，求今年该款西服的每件售价若设今年该 款西服的每件售价为 x 元，那么可列方程为（ ） A B C D 【分析】设今年该款西服的每件售价为 x 元，则去年的售价为 x+400，再利用售出的件数相同，得出等 式 【解答】解：设今年该款西服的每件售价为 x 元，那么可列方

13、程为： 故选：A 5如图，在ABC 中，AD 平分BAC，按如下步骤作图：分别以点 A、D 为圆心，以大于AD 的长为 半径在 AD 两侧作弧，交于两点 M、N；连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F；连接 DE、DF若 BD6，AF4，CD3，则下列说法中正确的是（ ） ADF 平分ADC BAF3CF CBE8 DDADB 【分析】 根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线， 推出 AEDE， AFDF， 求出 DEAC， DFAE， 得出四边形 AEDF 是菱形，根据菱形的性质得出 AEDEDFAF，根据平行线分线段成比例定理得出 ，代入求出即可 【解答】解：根据作法可知：M

14、N 是线段 AD 的垂直平分线， AEDE，AFDF， EADEDA， AD 平分BAC， BADCAD， EDACAD， DEAC， 同理 DFAE， 四边形 AEDF 是菱形， AEDEDFAF， AF4， AEDEDFAF4， DEAC， ， BD6，AE4，CD3， ， BE8， 故选：C 6如图，在等边ABC 中，D 为 AC 边上的一点，连接 BD，M 为 BD 上一点，且AMD60，AM 交 BC 于 E当 M 为 BD 中点时，的值为（ ） A B C D 【分析】作 DKBC，交 AE 于 K首先证明 BEDKCD，CEAD，设 BECDDKa，ADEC b，由 DKEC，可

15、得，推出，即 a2+abb20，可得（）2+（）10，求出 即可解决问题 【解答】解：作 DKBC，交 AE 于 K ABC 是等边三角形， ABCBAC，ABCC60， AMD60ABM+BAM， ABM+CBD60， BAECBD， 在ABE 和BCD 中， ， ABEBCD， BECD，CEAD， BMDM，DMKBME，KDMEBM， MBEMDK， BEDKCD，设 BECDDKa，ADECb， DKEC， ， ， a2+abb20， （）2+（）10， 或（舍弃） ， ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7计算：501530 3430 【分析】根据度化成分乘以

16、 60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案 【解答】解：原式496015303430 故答案为：3430 8一次体检中，某班学生视力情况如下表： 视力情况 0.7 以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0 以上 人数所占的百分比 5% 8% 15% 20% 40% 12% 从表中看出全班视力情况的众数是 1.0 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个 【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，1.0 占全班人数的 40%，故 1.0 是众数 故答案为：1.0 9已知不等式组的解集中共有 5 个整数，则 a 的取值范围为 7a8 【分析】根据不等式

17、组的解集中共有 5 个整数解，求出 a 的范围即可 【解答】解：不等式组的解集中共有 5 个整数， a 的范围为 7a8， 故答案为 7a8 10如图，在半圆 AOB 中，半径 OA2，C、D 两点在半圆上，若四边形 OACD 为菱形，则图中阴影部分 的面积是 22 【分析】连接 OC，AD，证明OAC 是等边三角形，进而求出 AD 的长，求出菱形的面积，进而求出阴 影部分的面积 【解答】解：连接 OC，AD， 四边形 OACD 是菱形，且 OAOC， OAC 是等边三角形， OA2， OE1，AE， AD2， 菱形 OACD 的面积是222， 阴影部分的面积是 22， 故答案为 22 11如

18、图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与 CD 相交于 点 P，则 tanAPD 的值为 2 【分析】首先连接 BE，由题意易得 BFCF，ACPBDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易 得 DP：CP1：3，即可得 PF：CFPF：BF1：2，在 RtPBF 中，即可求得 tanBPF 的值，继而 求得答案 【解答】解：如图，连接 BE， 四边形 BCED 是正方形， DFCFCD，BFBE，CDBE，BECD， BFCF， 根据题意得：ACBD， ACPBDP， DP：CPBD：AC1：3， DP：DF1：2， DPPFCFBF， 在 RtP

19、BF 中，tanBPF2， APDBPF， tanAPD2 故答案为：2 12如图，等边三角形 ABC 中，AB5，延长 BC 至点 P，使 CP3，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 a 角（0 a60） ，得到DBE，连接 DP、EP，则当DPE 为等腰三角形时，点 D 到直线 BP 的距离为 3 或或 【分析】当DPE 为等腰三角形时，分三种情形当 PDDE5 时，则 BDDP，如图 1，过 D 作 DF PB 于 F当 PEDE5 时，如图 2，作 PMBD 交 BD 的延长线于 M作 EFPB 于 F作 DG PB 于 G当 PDPE5 时，如图 3，分别构建方程求解即可 【解答】解：在

20、等边三角形 ABC 中，AB5， BCAB5， BP8， 将ABC 绕点 B 顺时针旋转 a 角（0a60） ，得到DBE， BDDEBE5， 当DPE 为等腰三角形时， 当 PDDE5 时，则 BDDP，如图 1，过 D 作 DFPB 于 F，则 BFPFBP4， DF3， 点 D 到直线 BP 的距离为 3； 当 PEDE5 时，如图 2，作 PMBD 交 BD 的延长线于 M作 EFPB 于 F作 DGPB 于 G EBEDEP， BDE+BED90，EDP+DEP90， BDE+EDP+BEP180， BDP+PDM180， PDMBEPBEF， tanPDMtanBEF，设 PM4k

21、，DM3k， 在 RtMPB 中，BM2+PM2PB2， （5+3k）2+（4k）282， 解得 k或（舍弃） ， BDPMPBDG， 58DG， DG 方法二：因为 EBEDEP，所以 B、D、P 在以 E 为圆心的圆上，DPB30，设 DGx，则 PG 根号 3x，BG8根号 3x，在 RtBDG 中，用勾股定理求解即可 当 PDPE5 时，如图 3， 由旋转知，BDBEDE5，PBPB， DBPEBP， DBPEBP， BDBE， BPDE， EFDE； 综上所述，点 D 到直线 BP 的距离为 3 或或 故答案为 3 或或 三解答题三解答题 13解方程组 【分析】方程组利用代入消元负求

22、解即可 【解答】解：， 由得：xy+2 把代入得：2（y+2）+y3y2， 解得：y， 把 y代入得 x， 方程组的解为： 14如图，点 D 在射线 AE 上，ABCD，CDE140，求A 的度数 【分析】延长 CD，先根据补角的定义得出EDF 的度数，再由平行线的性质即可得出结论 【解答】解：延长 CD， CDE140， EDF40 ABCD， AEDF40 15已知（x2+）2+|y+2+|0，求（x+2y）2（x2y）2的值 【分析】利用非负数的性质求出 x 与 y 的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值 【解答】解：（x2+）2+|y+2+|0， x2，y2， 又（x+2y

23、）2（x2y）2x2+4xy+4y2x2+4xy4y28xy， 把 x2，y2代入得，原式8（2）（2）8 16如图，AD 是ABC 的中线，tanB，cosC，AC求： （1）BC 的长； （2）sinADC 的值 【分析】 （1）过点 A 作 AEBC 于点 E，根据 cosC，求出C45，求出 AECE1，根据 tanB ，求出 BE 的长即可； （2）根据 AD 是ABC 的中线，求出 BD 的长，得到 DE 的长，得到答案 【解答】解： （1）过点 A 作 AEBC 于点 E， cosC， C45， 在 RtACE 中，CEACcosC1， AECE1， 在 RtABE 中，tanB

24、，即， BE3AE3， BCBE+CE4； （2）AD 是ABC 的中线， CDBC2， DECDCE1， AEBC，DEAE， ADC45， sinADC 17已知矩形 ABCD 的顶点 A、D 在圆上，B、C 两点在圆内，请仅用没有刻度的直尺作图 （1）如图 1，已知圆心 O，请作出直线 lAD； （2）如图 2，未知圆心 O，请作出直线 lAD 【分析】 （1）直接利用矩形的性质结合垂直平分线的判定方法得出答案； （2）直接利用利用矩形的性质结合圆周角定理进而得出答案 【解答】解： （1）如图 1，直线 l 为所求； （2）如图 2，直线 l 为所求 18先阅读下面某校八年级师生的对话内

25、容，再解答问题 （温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半 天考一科） 小明： “听说下周会进行连续两天的期中考试 ” 刘老师： “是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚 ” 小宇： “我估计是星期四、星期五 ” （1）求小宇猜对的概率； （2）若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序没定，请用恰当的方法求同一天考语文、数学 的概率 【分析】 （1）直接利用列举法写出所有可能，进而求出概率； （2）直接利用列表法或者树状图法列举出所有可能，进而求出答案 【解答】解： （1）连续两天考试则共有以下 4 种可能性：周一周二，周二周三，周三周四，周四周五， 在周四周五两天考

26、试的可能性只有 1 种，故 P（猜对） （2）方法一：依题意可列表得： 周四 语、数 语、物 语、英 数、物 数、英 物、英 周五 物、英 数、英 数、物 语、英 语、物 语、数 共有 6 种等可能性，其中同一天考语文、数学的有两种， P（恰好同一天考语文、数学） 方法二：依题意可画树状图如下： 共有 12 种等可能性，其中周四考语数的有 4 种， P（恰好同一天考语文、数学） 19为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到 1h） ，抽样调查了部分学生，并 用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图 请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）求出扇形统计图中百分数 a

27、的值为 45% ，所抽查的学生人数为 60 （2）求出平均睡眠时间为 8 小时的人数，并补全频数直方图 （3）求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数 （4）如果该校共有学生 1200 名，请你估计睡眠不足（少于 8 小时）的学生数 【分析】 （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意即可得到结果； （3）根据众数，平均数的定义即可得到结论； （4）根据题意列式计算即可 【解答】解： （1）a120%30%5%45%； 所抽查的学生人数为：35%60 人； 故答案为：45%，60； （2）平均睡眠时间为 8 小时的人数为：6030%18 人； （3）这部分学生的平均睡眠时间的众数是 7，

28、平均数7.2 小时； （4）1200 名睡眠不足（少于 8 小时）的学生数1200780 人 20某校规划在一块长 AD 为 18m，宽 AB 为 13m 的长方形场地 ABCD 上，设计分别与 AD，AB 平行的横 向通道和纵向通道（通道面积不超过总面积的） ，其余部分铺上草皮 （1）如图 1，若设计两条通道，一条横向，一条纵向，4 块草坪为全等的长方形，每块草坪的两边之比 为 3：4，并且纵向通道的宽度是横向通道宽度的 2 倍，问横向通道的宽是多少？ （2）如图 2，为设计得更美观，其中草坪为全等的正方形，草坪为全等的长方形（两边 长 BN：BM2：3） ，通道宽度都相等，问：此时通道的宽

29、度又是多少呢？ 【分析】 （1）设横向通道的宽度为 xm，根据每块草坪的两边之比为 3：4 列出关于 x 的方程： 或，再分别求解可得； （2）设通道宽度为 ym，BN2am，根据矩形的长宽列出方程组，解之可得 【解答】解： （1）设横向通道的宽度为 xm， 则或， 解得：x1 或 x6.6（此时通道面积过大，舍去） ， 所以横向通道的宽度为 1m （2）设通道宽度为 ym，BN2am， 则， 解得， 所以此时通道的宽度为 1 m 21如图，菱形 OABC 的边 OC 在 x 轴正半轴上，点 B 的坐标为（8，4） （1）请求出菱形的边长； （2）若反比例函数 y经过菱形对角线的交点 D，且与

30、边 BC 交于点 E，请求出点 E 的坐标 【分析】 （1）过 B 作 BMx 轴于点 M，根据 B 的坐标求出 BM4，在 RtBCM 中，根据勾股定理得出 方程，求出方程的解即可； （2）求出反比例函数解析式，求出直线 BC，求出直线 BC 和反比例函数的交点坐标，即可得出答案 【解答】解： （1）如图，BMx 轴于点 M， 点 B 的坐标为（8，4） ，OCBC， CM8BC， 在 RtBCM 中，BC2CM2+BM2，即 BC2（8BC）2+42， 解得，BC5，即菱形的边长为 5； （2）D 是 OB 的中点， 点 D 的坐标为： （4，2） ， 点 D 在反比例函数 y上， kxy

31、428，y， 又OC5， C（5，0） ， 可求直线 BC 为 yx， 令x，解得 x16，x21（舍去） ， 当 x6 时，y， 点 E 的坐标为（6，） 22如图，O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E、F （1）若EF 时，求证：ADCABC； （2）若EF42时，求A 的度数； （3）若E，F，且 请你用含有 、 的代数式表示A 的大小 【分析】 （1）根据外角的性质即可得到结论； （2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果； （3）连结 EF，如图，根据圆内接四边形的性质得ECDA，再根据三角形外角性质得ECD1+ 2，则A1+2，然后根据三角形内角和定理

32、有A+1+2+E+F180，即 2A+ 180，再解方程即可 【解答】解： （1）EF， DCEBCF， ADCE+DCE，ABCF+BCF， ADCABC； （2）由（1）知ADCABC， EDCABC， EDCADC， ADC90， A904248； （3）连结 EF，如图， 四边形 ABCD 为圆的内接四边形， ECDA， ECD1+2， A1+2， A+1+2+AEB+AFD180， 2A+180， A90 23如图，抛物线 C1：y1ax2+2ax（a0）与 x 轴交于点 A，顶点为点 P （1） 直接写出抛物线C1的对称轴是 直线x1 ， 用含a的代数式表示顶点P的坐标 （1， a

33、） ； （2）把抛物线 C1绕点 M（m，0）旋转 180得到抛物线 C2（其中 m0） ，抛物线 C2与 x 轴右侧的交 点为点 B，顶点为点 Q 当 m1 时，求线段 AB 的长； 在的条件下，是否存在ABP 为等腰三角形，若存在请求出 a 的值，若不存在，请说明理由； 当四边形 APBQ 为矩形时， 请求出 m 与 a 之间的数量关系， 并直接写出当 a3 时矩形 APBQ 的面积 【分析】 （1）将抛物线的一般形式化为顶点式，即可得出结论； （2）先求出点 A 的坐标，即可确定出 AM，即可得出结论； 先求出点 B 的坐标，进而表示出 AP，BP，分三种情况建立方程求解即可； 先得到四

34、边形 APBQ 为平行四边形，再由矩形判断出APHPBH 即可得出 a22m+3，即可解答 此题 【解答】解： （1）抛物线 C1：y1ax2+2axa（x+1）2a， x1，P（1，a） 故答案为：直线 x1， （1，a） ， （2）由旋转知，MAMB， 当 y10 时，x12，x20， A（2，0） ， AO2， M（1，0） ， AM3， AB2MA236； A（2，0） ，AB6， B（4，0） A（2，0） ，P（1，a） ， ， 当 ABAP 时，1+a262，解得：（负值已舍去） ； 当 ABBP 时，25+a262，解得：（负值已舍去） ； 当 APBP 时，1+a225+a2

35、，不成立， 即当 a 取或时，ABP 为等腰三角形； 如图，过点 P 作 PHx 轴于 H， 点 A 与点 B，点 P 与点 Q 均关于 M 点成中心对称， 故四边形 APBQ 为平行四边形， 当APB90时，四边形 APBQ 为矩形， 此时APHPBH， ， 即， a22m+3， ， 当 a3 时， S（2m+4）a（23+4）330 24如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C90，BE30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 DEAC ； 设BDC

36、的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 S1S2 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC60，点 D 是角平分线上一点，BDCD4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCFSBDE，请直接写出相应的 BF 的长 【分析】 （1）根据旋转的性质可得 ACCD，然后求出ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质 可得ACD60，然后根据内错角

37、相等，两直线平行解答； 根据等边三角形的性质可得 ACAD，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 ACAB， 然后求出 ACBD， 再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离， 然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （2）根据旋转的性质可得 BCCE，ACCD，再求出ACNDCM，然后利用“角角边”证明ACN 和DCM 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 ANDM， 然后利用等底等高的三角形的面积相等证明； （3）过点 D 作 DF1BE，求出四边形 BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得 BEDF1，然后根据等 底等高的三角形的面

38、积相等可知点 F1为所求的点，过点 D 作 DF2BD，求出F1DF260，从而得 到DF1F2是等边三角形，然后求出 DF1DF2，再求出CDF1CDF2，利用“边角边”证明CDF1 和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点 F2也是所求的点，然后在等腰BDE 中求出 BE 的 长，即可得解 【解答】解： （1）DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上， ACCD， BAC90B903060， ACD 是等边三角形， ACD60， 又CDEBAC60， ACDCDE， DEAC； B30，C90， CDACAB， BDADAC， 根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD

39、 上的高相等， BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ， 即 S1S2； 故答案为：DEAC；S1S2； （2）如图，DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到， BCCE，ACCD， ACN+BCN90，DCM+BCN1809090， ACNDCM， 在ACN 和DCM 中， ， ACNDCM（AAS） ， ANDM， BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ， 即 S1S2； （3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1是菱形， 所以 BEDF1，且 BE、DF1上的高相等， 此时 SDCF1SBDE； 过点 D 作 DF2BD， ABC60，F1DBE， F2F1DABC60， BF1DF1，F1BDABC30，F2DB90， F1DF2ABC60， DF1F2是等边三角形， DF1DF2， BDCD，ABC60，点 D 是角平分线上一点， DBCDCB6030， CDF1180BCD18030150， CDF236015060150， CDF1CDF2， 在CDF1和CDF2中， ， CDF1CDF2（SAS） ， 点 F2也是所求的点， ABC60，点 D 是角平分线上一点，DEAB， DBCBDEABD6030， 又BD4， BE4cos302， BF1，BF2BF1+F1F2+， 故 BF 的长为或