江苏省无锡市2021届高三下教学质量检测试卷数学试题（含答案解析）

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1、 第 1 页 共 28 页 无锡市 2021 届高三年级下学期教学质量检测试卷 数学试题 2021.02 (总分总分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟) 注意事项：注意事项： 1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项

2、是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的) ) 1设集合 M=|21 x x， 1 |0 1 x Nx x ，则 MN（ ） A0，1) B(0，1) C(1，+) D(1，+) 2复数 4 1+ 3 i i 的虚部为（ ） A1 B1 C i D i 3函数 f(x) lnxx x 的大致图象为（ ） 第 2 页 共 28 页 4 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分无钱，令上二 人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为： “已知甲、乙、并、丁、戊五人分 5 钱， 甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，且甲、乙、并、丁、戊所得依

3、次 为等差数列问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，戊 所得为（ ） A 4 5 钱 B 3 4 钱 C 3 5 钱 D 2 3 钱 5 若双曲线 22 22 100 xy ab ab ，的一条渐近线被圆 22 420 xyy所截得的弦长 为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 B 2 3 3 C2 D2 6果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度已知某种水果失去新鲜度 h 与 其采摘后时间 t（天）满足的函数关系式为 t hm a若采摘后 10 天，这种水果失去的 新鲜度为 10%，采摘后 20 天，这种水果失去的新鲜度为 20%那么采摘下来的这种水

4、果在多长时间后失去 50%新鲜度（已知lg20.3，结果取整数） （ ） A 23 天 B 33 天 C 43 天 D 50 天 7已知直角三角形 ABC 中，90A ，AB=2，AC=4，点 P 在以 A 为圆心且与边 BC 相切的圆上，则PB PC的最大值为（ ） A 16 16 5 5 B 168 5 5 C 16 5 D 56 5 第 3 页 共 28 页 8已知函数 40 2log10 x a eax f x xx ， ， 在定义域上单调递增，且关于 x 的方程 2fxx恰有一个实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） A 1 1 4 ， B 1 1 4 e ， C 1 1 e ， D

5、 (0，1) 二、多项选择题二、多项选择题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的全部选对的得有多项符合题目要求的全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分) ) 9.有 3 台车床加工同一型号的零件.第 1 台加工的次品率为 6% ，第 2，3 台加工的次品 率均为 5%，加工出来的零件混放在一起.已知第 1，2，3 台车床的零件数分别占总数的 25%，30%，45%，则下列选项正确的有( ) A任取一

6、个零件是第 1 台生产出来的次品概率为 0. 06 B任取一个零件是次品的概率为 0. 0525 C如果取到的零件是次品，且是第 2 台车床加工的概率为 2 7 D如果取到的零件是次品，且是第 3 台车床加工的概率为 2 7 10已知函数 sin00f xx，将 yf x的图象上所有点向右平移 2 3 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg x的图 象.若 g x为偶函数，且最小正周期为 2 ，则下列说法正确的是（ ） 第 4 页 共 28 页 A yf x的图象关于0 12 ，对称 B f x在 5 0 12 ，上单调递减 C g x 1 2 的解为 62

7、32 kk kZ ， D方程 2 x f xg 在 5 0 4 ，上有 2 个解 11如图，正四棱锥 SBCDE 底面边长与侧棱长均为 a，正三棱锥 ASBE 底面边长与 侧棱长均为 a，则下列说法正确的是（ ） AASCD B正四棱锥 SBCDE 的外接球半径为 2 2 a C正四棱锥 SBCDE 的内切球半径为 2 1 2 a D由正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱 12曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线 22 22 100 xy ab ab ，上点 00 P xy，处的曲率半径公式为 3 22 2 22 00 44 xy R

8、a b ab ， 则下列说法正确的是（ ） A对于半径为 R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为 R 第 5 页 共 28 页 B椭圆 22 22 100 xy ab ab ，上一点处的曲率半径的最大值为 a C椭圆 22 22 100 xy ab ab ，上一点处的曲率半径的最小值为 2 b a D对于椭圆 2 2 2 11 x ya a 上一点 0 1 2 y ，处的曲率半径随着 a 的增大而减小 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题三、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13设 X 是一个离散型随机变量，

9、其分布列为： X 1 2 3 P 1 2 1q qq2 则 X 的数学期望为 14 (12x)5(13x)4 的展开式中按 x 的升幂排列的第 3 项的系数为_. 15我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异” ，即祖暅原理：夹在两个平 行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面 的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图 1)在 xOy 平面上，将双曲线的 一支 2 2 1 4 x y及其渐近线 1 2 yx和直线 y=0，y= 2 围成的封闭图形记为 D，如图 2 中 阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为，利用祖暅原理试求的体积为

10、_ 第 6 页 共 28 页 图 1 图 2 16若 ln1x axb x 对于0 x，恒成立，当 a=0 时，b 的最小值为 ；当 a0 时， b a 的最小值是 (第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题四、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ) 17(本小题满分 10 分) 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，请在cos3 sinbbCcB； 2coscosbaCcA； 222 4 3 3 ABC abcS这三个条件中任意选择一个，完成 下列问题

11、： （1）求C； （2）若 a5，c7，延长 CB 到 D，使 21 cos 7 ADC，求线段 BD 的长度. 注：如果选择多个条件解得，按第一个解答计分. 第 7 页 共 28 页 18(本小题满分 12 分) 已知等差数列的首项为 2，前 n 项和为 Sn，正项等比数列bn的首项为 1，且满足， 前 n 项和为 a32b2，S5b2b4 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 33 1loglog n nnn cSb ，求数列cn的前 26 项和 19(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADBC，BAD120，ABAD2， 点 M 在线段 P

12、D 上，且 DM2MP，PB平面 MAC （1）求证：平面 MAC平面 PAD； （2）若 PA3，求平面 PAB 和平面 MAC 所成锐二面角的余弦值 第 8 页 共 28 页 20.(本小题满分 12 分) 已知某班有 50 位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查， ，他们综合评价 成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表： 综合评价成 绩（单位： 分） 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100) 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 8 12 4 3 1 （1）请根据以上统计数据填写下面 22 列联表，并回答：是否

13、有 95%的把握认为“综 合评价成绩以 80 分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？ 综合评价成绩小 于 80 分的人数 综合评价成绩不小 于 80 分的人数 合计 赞成 不赞成 合计 （2）若采用分层抽样在综合评价成绩在60，70)，70，80)的学生中随机抽取 10 人进 行追踪调查， 并选其中 3 人担任辩论赛主持人， 求担任主持人的 3 人中至少有 1 人在60， 70)的概率 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 参考数据： P 2 0 Kk 0.10 0.05 0.010 0.005 第 9 页 共 28 页 k0 2.706 3.841 6

14、.635 7.879 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 22 22 100 xy ab ab ，过点点(2，1)，离心率位 3 2 ，抛物线 2 16yx 的准线 l 交 x 轴于点 A，过点 A 作直线交椭圆 C 于 M，N （1）求椭圆 C 的标准方程和点 A 的坐标； （2）若 M 是线段 AN 的中点，求直线 MN 的方程； （3）设 P，Q 是直线 l 上关于 x 轴对称的两点，问：直线 PM 于 QN 的交点是否在一条 定直线上？请说明你的理由 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 ln ae f xx x ，其中 e 是自然对数的底数 （1）设直线 2 2yx

15、e 是曲线 1yf xx的一条切线，求 a 的值； （2）若aR ，使得 0f xma对0 x ，恒成立，求实数 m 的取值范围 第 10 页 共 28 页 无锡市 2021 届高三年级下学期教学质量检测试卷 数 学 试 题 2021.02 (总分总分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟) 注意事项：注意事项： 1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、单项选择题一、

16、单项选择题( (本大题共本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的) ) 1设集合 M=|21 x x， 1 |0 1 x Nx x ，则 MN（ ） A0，1) B(0，1) C(1，+) D(1，+) 【答案】B 2复数 4 1+ 3 i i 的虚部为（ ） A1 B1 C i D i 【答案】A 第 11 页 共 28 页 3函数 f(x) lnxx x 的大致图象为（ ） 【答案】A 4 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分

17、无钱，令上二 人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为： “已知甲、乙、并、丁、戊五人分 5 钱， 甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，且甲、乙、并、丁、戊所得依次 为等差数列问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，戊 所得为（ ） A 4 5 钱 B 3 4 钱 C 3 5 钱 D 2 3 钱 【答案】D 5 若双曲线 22 22 100 xy ab ab ，的一条渐近线被圆 22 420 xyy所截得的弦长 为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3 B 2 3 3 C2 D2 第 12 页 共 28 页 【答案】C 6果农采摘水果，采摘下来的水果

18、会慢慢失去新鲜度已知某种水果失去新鲜度 h 与 其采摘后时间 t（天）满足的函数关系式为 t hm a若采摘后 10 天，这种水果失去的 新鲜度为 10%，采摘后 20 天，这种水果失去的新鲜度为 20%那么采摘下来的这种水 果在多长时间后失去 50%新鲜度（已知lg20.3，结果取整数） （ ） A 23 天 B 33 天 C 43 天 D 50 天 【答案】B 7已知直角三角形 ABC 中，90A ，AB=2，AC=4，点 P 在以 A 为圆心且与边 BC 相切的圆上，则PB PC的最大值为（ ） A 16 16 5 5 B 168 5 5 C 16 5 D 56 5 【答案】D 第 13

19、 页 共 28 页 8已知函数 40 2log10 x a eax f x xx ， ， 在定义域上单调递增，且关于 x 的方程 2fxx恰有一个实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） A 1 1 4 ， B 1 1 4 e ， C 1 1 e ， D (0，1) 【答案】C 第 14 页 共 28 页 二、多项选择题二、多项选择题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求的全部选对的得有多项符合题目要求的全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分

20、，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分) ) 9.有 3 台车床加工同一型号的零件.第 1 台加工的次品率为 6% ，第 2，3 台加工的次品 率均为 5%，加工出来的零件混放在一起.已知第 1，2，3 台车床的零件数分别占总数的 25%，30%，45%，则下列选项正确的有( ) A任取一个零件是第 1 台生产出来的次品概率为 0. 06 B任取一个零件是次品的概率为 0. 0525 C如果取到的零件是次品，且是第 2 台车床加工的概率为 2 7 D如果取到的零件是次品，且是第 3 台车床加工的概率为 2 7 【答案】BC 10已知函数 sin00f xx，将 yf x的图象上所有点向右平移

21、 2 3 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标不变，得到函数 yg x的图 象.若 g x为偶函数，且最小正周期为 2 ，则下列说法正确的是（ ） 第 15 页 共 28 页 A yf x的图象关于0 12 ，对称 B f x在 5 0 12 ，上单调递减 C g x 1 2 的解为 6232 kk kZ ， D方程 2 x f xg 在 5 0 4 ，上有 2 个解 【答案】AC 11如图，正四棱锥 SBCDE 底面边长与侧棱长均为 a，正三棱锥 ASBE 底面边长与 侧棱长均为 a，则下列说法正确的是（ ） AASCD B正四棱锥 SBCDE 的外接球半径为 2 2 a

22、C正四棱锥 SBCDE 的内切球半径为 2 1 2 a D由正四棱锥 SBCDE 与正三棱锥 ASBE 拼成的多面体是一个三棱柱 【答案】ABD 所以可拼成一个三棱柱 第 16 页 共 28 页 12曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线 22 22 100 xy ab ab ，上点 00 P xy，处的曲率半径公式为 3 22 2 22 00 44 xy Ra b ab ， 则下列说法正确的是（ ） A对于半径为 R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为 R B椭圆 22 22 100 xy ab ab ，上一点处的曲率半径的最大值为 a C椭圆 22 22 100 x

23、y ab ab ，上一点处的曲率半径的最小值为 2 b a D对于椭圆 2 2 2 11 x ya a 上一点 0 1 2 y ，处的曲率半径随着 a 的增大而减小 【答案】AC 第 17 页 共 28 页 第 18 页 共 28 页 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题三、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为： X 1 2 3 P 1 2 1q qq2 则 X 的数学期望为 【答案】 2 1+ 2 14 (12x)5(13x)4 的展开式中按 x 的升幂排列的第

24、3 项的系数为_. 第 19 页 共 28 页 【答案】-26 15我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异” ，即祖暅原理：夹在两个平 行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面 的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图 1)在 xOy 平面上，将双曲线的 一支 2 2 1 4 x y及其渐近线 1 2 yx和直线 y=0，y= 2 围成的封闭图形记为 D，如图 2 中 阴影部分记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为，利用祖暅原理试求的体积为 _ 图 1 图 2 【答案】8 第 20 页 共 28 页 16若 ln1x axb x 对于0 x

25、，恒成立，当 a=0 时，b 的最小值为 ；当 a0 时， b a 的最小值是 (第一空 2 分，第二空 3 分) 【答案】1， 1 e 四、解答题四、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ) 17(本小题满分 10 分) 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，请在cos3 sinbbCcB； 2coscosbaCcA； 222 4 3 3 ABC abcS这三个条件中任意选择一个，完成 下列问题： （1）求C； 第 21 页 共 28 页 （2）若 a5，c

26、7，延长 CB 到 D，使 21 cos 7 ADC，求线段 BD 的长度. 注：如果选择多个条件解得，按第一个解答计分. 【解析】【解析】 第 22 页 共 28 页 18(本小题满分 12 分) 已知等差数列的首项为 2，前 n 项和为 Sn，正项等比数列bn的首项为 1，且满足， 前 n 项和为 a32b2，S5b2b4 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 33 1loglog n nnn cSb ，求数列cn的前 26 项和 【解析】【解析】 第 23 页 共 28 页 19(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADBC，BAD120，A

27、BAD2， 点 M 在线段 PD 上，且 DM2MP，PB平面 MAC （1）求证：平面 MAC平面 PAD； （2）若 PA3，求平面 PAB 和平面 MAC 所成锐二面角的余弦值 【解析】【解析】 第 24 页 共 28 页 20.(本小题满分 12 分) 已知某班有 50 位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查， ，他们综合评价 成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表： 综合评价成 绩（单位： 分） 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100) 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 8 12 4 3 1 （1）请根

28、据以上统计数据填写下面 22 列联表，并回答：是否有 95%的把握认为“综 第 25 页 共 28 页 合评价成绩以 80 分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？ 综合评价成绩小 于 80 分的人数 综合评价成绩不小 于 80 分的人数 合计 赞成 不赞成 合计 （2）若采用分层抽样在综合评价成绩在60，70)，70，80)的学生中随机抽取 10 人进 行追踪调查， 并选其中 3 人担任辩论赛主持人， 求担任主持人的 3 人中至少有 1 人在60， 70)的概率 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中nabcd 参考数据： P 2 0 Kk 0.10 0.05 0.

29、010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】 （1） 第 26 页 共 28 页 （2） 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 22 22 100 xy ab ab ，过点点(2，1)，离心率位 3 2 ，抛物线 2 16yx 的准线 l 交 x 轴于点 A，过点 A 作直线交椭圆 C 于 M，N （1）求椭圆 C 的标准方程和点 A 的坐标； （2）若 M 是线段 AN 的中点，求直线 MN 的方程； （3）设 P，Q 是直线 l 上关于 x 轴对称的两点，问：直线 PM 于 QN 的交点是否在一条 定直线上？请说明你的理由 【解析】 第 27 页 共 28 页 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 ln ae f xx x ，其中 e 是自然对数的底数 第 28 页 共 28 页 （1）设直线 2 2yx e 是曲线 1yf xx的一条切线，求 a 的值； （2）若aR ，使得 0f xma对0 x ，恒成立，求实数 m 的取值范围 【解析】