2021年中考一轮数学复习学案：轴对称与中心对称

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1、轴对称与中心对称轴对称与中心对称 1轴对称与轴对称图形 轴对称图形：如果把一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做_ 轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段 图形的轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的 图形变化叫做图形的轴对称，这条直线叫做_ 图形的轴对称的性质：成轴对称的两个图形是_ 【知识拓展】 轴对称 轴对称图形 区别 轴对称是指两个全等图形之间的相互位 置关系 轴对称图形是指具有轴对称性质的一个图形 联系 把轴对称的两个图形看成一个整体， 就是 轴对称图形 轴

2、对称图形中对称的两个部分的关系就是轴 对称 2.中心对称与中心对称图形 中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转 180 后，所得到的图形能够和原来的图形互相_，那么这 个图形叫做中心对称图形，这个点叫做_ 中心对称：把一个图形绕着一个点 O 旋转 180 后，能够与另外一个图形_，那么就说这两个图形关于这 个点 O 成中心对称 中心对称图形的性质：对称中心平分连结两个对称点的线段 【知识拓展】 中心对称 中心对称图形 区别 中心对称是指两个全等图形之间的相互位置 关系 中心对称图形是指具有中心对称性质的一 个图形 联系 把中心对称的两个图形看成一个整体，就是中 心对称图形 中心对称图形中对称

3、的两个部分之间的关 系就是中心对称 1轴对称图形与中心对称图形的识别 (1)轴对称图形的判别：判断一个图形是否是轴对称图形，关键是看能否找到至少有一条直线，使图形沿着 该直线对折后，两部分能够完全重合若找得到，则是轴对称图形，反之不是轴对称图形； (2)中心对称图形的判别：判断一个图形是否是中心对称图形，关键是看能否找到一点，使这个图形绕着这个点旋转 180 后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合若找得到，则是中心对称图形，反之不是中心对称图形 2镜面对称 镜子中的像和原来的物体关于镜面成轴对称，即“垂直于镜面上下对称，平行于镜面左右对称” 3求最短线路问题 利用轴对称可以解决在直线上找一点

4、，使它到直线同侧两点距离之和最小的问题此类题是中考的热点考题 类型一 轴对称与轴对称图形 典例 2019 北京下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( ) 跟踪训练 如图 314，由 6 个小正方形组成的 23 网格中，任意选取 5 个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是 轴对称图形的概率是_ 思维升华 判断是不是轴对称图形，就是看沿着某一条直线对折后两部分是不是重合，重合的就是轴对称图形 类型二 中心对称与中心对称图形 典例 2019 郴州下图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 跟踪训练 2019 绵阳对如图 315 的对称性表述，正确的是( ) A.轴对称图形

5、 B中心对称图形 C既是轴对称图形又是中心对称图形 D既不是轴对称图形又不是中心对称图形 类型三 图形折叠与轴对称 典例 2019 资阳如图 316， 在ABC 中， 已知 AC3， BC4， 点 D 为边 AB 的中点， 连结 CD， 过点 A 作 AECD 于点 E，将ACE 沿直线 AC 翻折到ACE的位置若 CEAB，则 CE_ 跟踪训练 1.一张矩形纸片 ABCD，已知 AB3，AD2，小明按图 317 的步骤折叠纸片，则线段 DG 的长为( ) A. 2 B2 2 C1 D2 22019 重庆如图 318，在ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连结 BD，把BDC 沿 BD 翻折

6、，得到BDC，DC 与 AB 交于点 E，连结 AC，若 ADAC2，BD3，则点 D 到 BC的距离为( ) A.3 3 2 B.3 21 7 C. 7 D. 13 32019 淮安如图 319，在矩形 ABCD 中，AB3，BC2，H 是 AB 的中点，将CBH 沿 CH 折叠，点 B 落在 矩形内点 P 处，连结 AP，则 tanHAP_. 思维升华 (1)图形折叠的本质是轴对称，折叠前后的两部分全等；(2)折叠问题常与坐标系、矩形、菱形、正方形以 及勾股定理结合在一起注意数形结合思想的应用，及折叠中的对应关系 类型四 利用轴对称解决最短线路问题 典例 2018 滨州如图 3110，AO

7、B60 ，点 P 是AOB 内的定点且 OP 3，若点 M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是( ) A.3 6 2 B.3 3 2 C6 D3 跟踪训练 1.2020 原创如图 3111，BAC30 ，M 为 AC 上一点，AM2，点 P 是 AB 上的一动点，PQAC， 垂足为点 Q，则 PMPQ 的最小值为_,P 点坐标为 。 32020 原创如图 3113，已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 8 3，E 为 AB 的中点，若 P 为对角线 BD 上一 动点，则 EPAP 的最小值为_ 4如图 3114 所示，正方形 ABCD 的边长为 6

8、，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上 有一点 P，使 PDPE 的和最小，则这个最小值为_ 52019 聊城改编如图 3115，在 RtABO 中，OBA90 ，A(4，4)，点 C 在边 AB 上，且AC CB 1 3，点 D 为 OB 的中点， 点 P 为边 OA 上的动点， 当点 P 在 OA 上移动时， 使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为_ 思维升华 有关几条线段的和最短的问题，一般都把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来 解决 1成轴对称的图形是处于特殊相对位置的两个全等图形，但全等图形不一定是轴对称图形 2折叠问题

9、实质是轴对称问题，折叠就是轴对称，折叠前后对应边相等，对应角相等 3等边三角形不是中心对称图形 折纸中的模糊认识 遵义中考把一张长方形纸片按如图 3116，图的方式从右向左连续对折两次后得到图，再在图中挖去一 个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是( ) 第第 11 课时课时 平移与旋转平移与旋转 1平移 定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离， 这样的图形运动叫做图形的_ 图形平移有两个基本条件：(1)图形平移的方向就是这个图形上的某一点到平移后的图形对应点的方向； (2)图形平移的距离就是连结一对对应点的线段的长度平移的

10、性质：(1)平移不改变图形的_； (2)一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线_(或在同一条直线上)且相等 2旋转 定义：在平面内，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个 方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做_，这个固定的点叫做_ 图形旋转有三个基本条件：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度 旋转的性质：(1)图形经过旋转所得的图形和原图形_； (2)对应点到旋转中心的距离_任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于_ 1判断图形是何种变换(平移，旋转) 方法：图形的平移或者旋转是指图形的整体变换，经过平移后的图形与原图形

11、相比，只改变了位置而不改变图形的 大小，这是得出图形平移的基本特征的依据；旋转前后图形上的每一点都绕着旋转中心转了同样的角度，对应点到 旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等要正确利用平移、旋转的性质，变化过程中的不变量是解决问 题的关键在网格中找旋转后的图形可以分步进行 2图形平移、旋转与其他知识的综合运用 应用图形变换的概念与性质探究几何图形的特征，可解决图形中的一些等量关系图形平移、旋转与代数、几何、 函数的综合运用是近年中考的热点试题 类型一 图形的平移 典例 2019 枣庄如图 326，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到ABC的位置已知ABC 的面积为 16，阴 影部

12、分三角形的面积 9.若 AA1，则 AD 等于( ) 图图 326 A2 B3 C4 D.3 2 跟踪训练 1.2020 原创如图 327，把ABC 沿着 BC 的方向平移到DEF 的位置，它们重叠部分的面积是ABC 面积的一半，若 BC 3，则ABC 移动的距离是( ) 图图 327 A. 3 2 B. 2 2 C. 6 2 D. 3 6 2 2如图 328，菱形 ABCD 的对角线 AC4 cm，把它沿着对角线 AC 方向平移 1 cm，得到菱形 EFGH，则图中阴 影部分图形的面积与四边形 EMCN 的面积之比为( ) A43 B32 C149 D79 思维升华 本题主要考查平移的基本性

13、质：(1)平移不改变图形的形状和大小；(2)经过平移，对应点所连的线段平行 且相等，对应线段平行且相等，对应角相等 类型二 图形的旋转 典例 2018 宁波如图 329，在ABC 中，ACB90 ，ACBC，D 是 AB 边上一点(点 D 与 A，B 不重合)，连 结 CD，将线段 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 90 得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连结 BE. (1)求证：ACDBCE； (2)当 ADBF 时，求BEF 的度数 跟踪训练 1.2019 常德如图 3210， 已知ABC 是等腰三角形， ABAC， BAC45 ， 点 D 在 AC 边上， 将ABD 绕点 A

14、 逆时针旋转 45 得到ACD，且点 D，D，B 三点在同一条直线上，则ABD 的度数是_ 22019 镇江将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转到 FECG 的位置(如图 3211)，使得点 D 落在 对角线 CF 上，EF 与 AD 相交于点 H，则 HD_(结果保留根号) 类型三 利用平移、旋转和轴对称作图 典例 2019 宁波图 3212，都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有 5 个小等边三角形 已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得 6 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； (2)使得 6 个阴

15、影小等边三角形组成一个中心对称图形 跟踪训练 2018 温州如图 3213，P，Q 是方格纸中的两格点，请按要求画出以 PQ 为对角线的格点四边形 (1)在图中画出一个面积最小的PAQB； (2)在图中画出一个四边形 PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线 CD 由线段 PQ 以某 一格点为旋转中心旋转得到 类型四 与旋转有关的证明问题 典例 2019 绍兴如图 3214是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰直角三 角形，摆动臂 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD30，DM10. (1)在旋转过程中， .当

16、 A，D，M 三点在同一直线上时，求 AM 的长 .当 A，D，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长 (2)若摆动臂AD顺时针旋转90 ， 点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处， 连结D1D2， 如图， 此时AD2C 135 ，CD260，求 BD2的长 跟踪训练 2019 荆州如图 3215，等腰直角三角形 OEF 的直角顶点 O 为正方形 ABCD 的中心，点 C，D 分别 在 OE 和 OF 上，现将OEF 绕点 O 逆时针旋转 角(0 90 )，连结 AF，DE(如图) (1)在图中，AOF_；(用含 的式子表示) (2)在图中猜想 AF 与 DE 的数量关系，并证明你的结论 1在描述旋转时，必须指出它是顺时针旋转多少度还是逆时针旋转多少度，不能只说旋转多少度 2图形平移是指图形的整体平移，平移只改变位置，不改变图形的大小