2020-2021学年浙江省台州市温岭市五校联考九年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、2020-2021 学年浙江省台州市温岭市五校联考九年级（上）期中数学试卷学年浙江省台州市温岭市五校联考九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多 选、错选，均不给分）选、错选，均不给分） 1关于 x 的方程 ax22x+10 是一元二次方程，则（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da1 2抛物线 y3（x1）2+1 的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 3受新冠肺炎疫情影响，某企业生

2、产总值从元月份的 500 万元，连续两个月降至 380 万元，设平均下降率 为 x，则可列方程（ ） A500（1x）2380 B500（1x）380 C500（12x）380 D500（1+x）2380 4在下列四个三角形中，不能由ABC 经过旋转或平移得到的是（ ） A B C D 5对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2（k1）x20 的根的情况为（ ） A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判定 6抛物线 yax2+ax+1 的一部分如图所示，那么该抛物线在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标是（ ） A （0，0） B （1，0） C （2，0） D （2.

3、5，0） 7把抛物线 yx2向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay（x1）23 By（x+1）23 Cy（x1）2+3 Dy（x+1）2+3 8已知 y 关于 x 的二次函数表达式是 yax2+4xa，下列结论错误的是（ ） A若 a1，函数的最大值是 5 B若 a1，当 x2 时，y 随 x 的增大而减少 C无论 a 为何值时，函数图象一定经过点（1，4） D无论 a 为何值时，函数图象与 x 轴有两个交点 9如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转至矩形 ABCD，使 得点 B恰好落在对角线 BD 上，连接

4、 DD，则 DD的长度为（ ） A B C+1 D2 10如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx24x 与 x 轴交于 O，A 两点，点 B 为 x 轴上一点且 AB 3，将 AB 绕点 A 逆时针旋转 45得到 AC，使得点 C 恰好落在抛物线上，点 P 为抛物线上一点，连 接 AP，PC，PCAC，则PAC 的面积为（ ） A9 B C D3 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11已知关于 x 的一元二次方程 x2a0 有一个根是 x2，则 a 的值为 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）中，函数值 y 与自变量

5、x 的部分对应值如下表： x 5 4 3 2 1 y 0 2 5 6 5 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c2 的根是 13如图，若被击打的小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间的关系为 h35t5t2， 则小球从飞出到落地所用时间为 s 14 如果关于x的一元二次方程 （xa） 22b有两个相等的实数根x1x25， 则a ， b 15如图，在 RtABC 中，已知C90，B70，点 D 在边 BC 上，BD2CD现将ABC 绕着 点 D 按顺时针旋转一定的角度后，使得点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上设旋转角为 （0 180） ，那么 16图 1 是一个

6、高脚杯截面图，杯体 CBD 呈抛物线状（杯体厚度不计） ，点 B 是抛物线的顶点，AB9， EF2，点 A 是 EF 的中点，当高脚杯中装满液体时，液面 CD4，此时最大深度（液面到最低点 的距离）为 12，将高脚杯绕点 F 缓缓倾斜倒出部分液体，当EFH30时停止，此时液面为 GD，则 液面 GD 到平面 l 的距离是 ；此时杯体内液体的最大深度为 三、解答题（第三、解答题（第 1720 题，每题题，每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 2223 题，每题题，每题 12 分，第分，第 24 题题 14 分，共分，共 80 分）分） 17解方程： （1）x22x50； （2）

7、 （x+1）2（x21）0 18已知 x1 是一元二次方程 x2+ax+b0 的一个根，求 a2+b22ab2 的值 19已知二次函数 y（x1）2 （1）完成下表： x y （2）在坐标系中描点，画出该二次函数的图象 （3）根据图象回答问题： 方程 y（x1）2的解是 ； 当 x 取 时，y0； 当 x 取 时，y 有最大值 20如图所示的平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，2） ，B（1，3） ，C（1，1） ， 请按如下要求画图： （1）以坐标原点 O 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转 90，得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）ABC 以 x 轴为对称轴的对

8、称图形为A2B2C2，请画出A2B2C2； （3）请同学观察画出的A1B1C1和A2B2C2图形，写出它们的一种对称关系（若中心对称，请写出或 画出对称中心位置，若轴对称，请写出或画出对称轴） 21网店店主小李进了一批某种商品，每件进价 10 元预售一段时间后发现：每天销售量 y（件）与售价 x （元/件）之间成一次函数关系：y2x+60 （1）小李想每天赚取利润 150 元，又要使所进的货尽快脱手，则售价定为多少合适？ （2）小李想每天赚取利润 300 元这个想法能实现吗？为什么？ 22如图，点 M，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，且MAN45把ADN 绕点 A 顺时针旋转

9、 90得到ABE （1）求证：AEMANM （2）若 BM3，DN2，求正方形 ABCD 的边长 23跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距 AB 为 6 米，到地 面的距离 AO 和 BD 均为 0.9 米， 身高为 1.4 米的小丽站在距点 O 的水平距离为 1 米的点 F 处，绳子甩到 最高处时刚好通过她的头顶点 E以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式 为 yax2+bx+0.9 （1）求该抛物线的解析式 （2）如果小华站在 OD 之间，且离点 O 的距离为 3 米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶上方 0.4 米处，求小华

10、的身高是多少？此时小华若向点 O 方向走多少米，就能让绳子甩到最高处时，绳子刚好通 过他的头顶 （3）如果有若干个与小华同身高的同学一起站在 OD 之间玩跳绳，现知只要绳子甩到最高处时超过她们 的头顶且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于 0.55 米就可以一起玩，问最多可以几个同学一起 玩 24旋转与等腰直角三角形、正方形：把共顶点的一个等腰直角三角形和正方形中的一个绕一点旋转到一 定位置，探究图形的几何性质，为我们提供一个动态的数学环境 已知等腰直角三角形 ABC 和正方形 BDEF 有一个公共的顶点 B，ABBD （1）如图 1，AF 与 CD 的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）

11、将正方形 BDEF 绕着点 B 顺时针旋转 角（0360） ， 如图 2，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由 若 AB4，BD2，当正方形 BDEF 绕着点 B 顺时针旋转到点 A、D、F 三点共线时，连接 CD， 则 CD 的长度为 ； （在备用图中补全图形求解） 如图 3，若 BC，AC4AD，当正方形 BDEF 绕着点 B 顺时针旋转，当点 D 在 AC 上时，延长 CB 交 AF 的延长线于点 G，连接 GE，则 GE 的长度为 2020-2021 学年浙江省台州市温岭市五校联考九年级（上）期中数学试卷学年浙江省台州市温岭市五校联考九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考

12、答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1关于 x 的方程 ax22x+10 是一元二次方程，则（ ） Aa0 Ba0 Ca0 Da1 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可 【解答】解：关于 x 的方程 ax22x+10 是一元二次方程， a0， 故选：C 2抛物线 y3（x1）2+1 的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （1，1） D （1，1） 【分析】已知抛物线顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k） 【解答】解：抛物线 y3（x1）2+1 是顶点式， 顶点坐标是（1，1） 故选：A 3受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的 50

13、0 万元，连续两个月降至 380 万元，设平均下降率 为 x，则可列方程（ ） A500（1x）2380 B500（1x）380 C500（12x）380 D500（1+x）2380 【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于 x 的一元二次方程，即可得 出结论 【解答】解：依题意，得：500（1x）2380 故选：A 4在下列四个三角形中，不能由ABC 经过旋转或平移得到的是（ ） A B C D 【分析】根据平移的定义，旋转的定义，轴对称的定义，可得答案 【解答】解：A、图形由原图形平移得到，故 A 正确； B、图形由原图形轴对称得到，故 B 错误； C、图形由原图

14、形旋转得到，故 C 正确； D、图形由原图形旋转得到，故 D 正确； 故选：B 5对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2（k1）x20 的根的情况为（ ） A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法判定 【分析】先进行判别式的值，然后利用配方法和非负数的性质得到0，然后根据判别式的意义得到方 程根的情况 【解答】解：（k1）24（2） （k1）2+80， 方程有两个不相等的实数根 故选：C 6抛物线 yax2+ax+1 的一部分如图所示，那么该抛物线在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标是（ ） A （0，0） B （1，0） C （2，0） D （2.5，0） 【分析】

15、根据图象可知抛物线 yax2+ax+1 的对称轴为直线 x，可求得抛物线和 x 轴的另 一个交点坐标 【解答】解：抛物线 yax2+ax+1 的对称轴为直线 x， 抛物线与 x 轴的另一个交点与点（3，0）关于直线 x对称， 抛物线 yax2+ax+1 与 x 轴的另一个交点坐标为（2，0） 故选：C 7把抛物线 yx2向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay（x1）23 By（x+1）23 Cy（x1）2+3 Dy（x+1）2+3 【分析】利用二次函数平移的性质 【解答】解：当 yx2向左平移 1 个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（1，0） ，

16、 当向上平移 3 个单位时，顶点变为（1，3） ， 则平移后抛物线的解析式为 y（x+1）2+3 故选：D 8已知 y 关于 x 的二次函数表达式是 yax2+4xa，下列结论错误的是（ ） A若 a1，函数的最大值是 5 B若 a1，当 x2 时，y 随 x 的增大而减少 C无论 a 为何值时，函数图象一定经过点（1，4） D无论 a 为何值时，函数图象与 x 轴有两个交点 【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解 答本题 【解答】解：A、当 a1 时，yx2+4x+1（x2）2+5，则当 x2 时，函数取得最大值，此时 y 5，故选项 A

17、不符合题意； B、当 a1 时，yx2+4x+1，该函数图象开口向下，对称轴是直线 x2，则当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，故选项 B 不符合题意； C、由 yax2+4xaa（x21）+4x 知，x210 时，x1，则 y4，即无论 a 为何值时，函数图 象一定经过点（1，4） ，故选项 C 符合题意； D、由于16+4a20，所以无论 a 为何值时，函数图象与 x 轴有两个交点，故选项 D 不符合题意； 故选：C 9如图，在矩形 ABCD 中，AB1，BC将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转至矩形 ABCD，使 得点 B恰好落在对角线 BD 上，连接 DD，则 DD的长度为（ ）

18、 A B C+1 D2 【分析】 先求出ABD60， 利用旋转的性质即可得到 ABAB， 进而得到ABB是等边三角形， 于是得到BAB60， 再次利用旋转的性质得到DAD60， 结合 ADAD， 可得到ADD 是等边三角形，最后得到 DD的长度 【解答】解：矩形 ABCD 中，AB1，BC， ADBC， tanABD， ABD60， ABAB， ABB是等边三角形， BAB60， DAD60， ADAD， ADD是等边三角形， DDADBC， 故选：A 10如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx24x 与 x 轴交于 O，A 两点，点 B 为 x 轴上一点且 AB 3，将 AB 绕点 A 逆时

19、针旋转 45得到 AC，使得点 C 恰好落在抛物线上，点 P 为抛物线上一点，连 接 AP，PC，PCAC，则PAC 的面积为（ ） A9 B C D3 【分析】在 RtACN 中，CNACsinCABAABsin4533AN，故点 C（1，3） ，则 CMP 为等腰直角三角形，则点 P（1m，3+m） ，将点 M 的坐标代入 yx24x 并解得：m0（舍 去）或 1，故点 P 的坐标为（2，4） ，进而求解 【解答】解：对于 yx24x，令 yx24x0，解得 x0 或 4，故点 A（4，0） ， 过点 C 作 y 轴的平行线交过点 P 与 x 轴的平行线于点 M，交 x 轴于点 N， 在

20、RtACN 中，CNACsinCABAABsin4533AN， 故点 C（1，3） ， CAN45，则ACN 为等腰直角三角形， 而 PCAC，则PCM45，故CMP 为等腰直角三角形， 设 PMmCM，则点 P（1m，3+m） ， 将点 P 的坐标代入 yx24x 并解得：m0（舍去）或 1， 故点 P 的坐标为（2，4） ， 由点 P、C 的坐标得：PC， 则PAC 的面积ACPC33， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 11已知关于 x 的一元二次方程 x2a0 有一个根是 x2，则 a 的值为 4 【分析】将 x2 代入方程得到关于 a 的方程，解之即可 【解答】解

21、：将 x2 代入方程，得：4a0， 解得 a4， 故答案为：4 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）中，函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x 5 4 3 2 1 y 0 2 5 6 5 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c2 的根是 x10，x24 【分析】从表格看，函数的对称轴为 x2，根据函数的对称性，当 x0 时和 x2 时，y 均为2， 即可求解 【解答】解：从表格看，函数的对称轴为 x2， 根据函数的对称性，当 x0 时和 x2 时，y 均为2， 故一元二次方程 ax2+bx+c2 的根 x0 或4， 故答案为 x10，x24 13如图，若被击打的小球的

22、飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间的关系为 h35t5t2， 则小球从飞出到落地所用时间为 7 s 【分析】根据关系式，令 h0 即可求得 t 的值为飞行的时间 【解答】解：依题意，令 h0 得 035t5t2， 得 t（355t）0， 解得 t0（舍去）或 t7， 即小球从飞出到落地所用的时间为 7s 故答案为 7 14如果关于 x 的一元二次方程（xa） 22b 有两个相等的实数根 x1x25，则 a 5 ，b 2 【分析】根据题意得到（5a）22b0，从而得到 a 和 b 的值 【解答】解：方程（xa）22b 有两个相等的实数根 x1x25， 2b0，解得 b2， （

23、xa）20， 把 x5 代入得（5a）20，解得 a5 故答案为 5，2 15如图，在 RtABC 中，已知C90，B70，点 D 在边 BC 上，BD2CD现将ABC 绕着 点 D 按顺时针旋转一定的角度后，使得点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上设旋转角为 （0 180） ，那么 40或 120 【分析】分两种情形：当点 B 落在 AB 上 B时，当点 B 落在 AC 上 B时，分别求解即可 【解答】解：当点 B 落在 AB 上 B时， DBDB BBDB70， BDB180707040， 即旋转角 40 当点 B 落在 AC 上 B时， BD2CD， BD2CD， 在 RtBCD 中

24、，cosBDC， BDC60， BDB18060120， 即旋转角 120 故答案为：40或 120 16图 1 是一个高脚杯截面图，杯体 CBD 呈抛物线状（杯体厚度不计） ，点 B 是抛物线的顶点，AB9， EF2，点 A 是 EF 的中点，当高脚杯中装满液体时，液面 CD4，此时最大深度（液面到最低点 的距离）为 12，将高脚杯绕点 F 缓缓倾斜倒出部分液体，当EFH30时停止，此时液面为 GD，则 液面 GD 到平面 l 的距离是 10 ；此时杯体内液体的最大深度为 【分析】以 A 为原点，直线 EF 为 x 轴，直线 AB 为 y 轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物 线的解

25、析式；将高脚杯绕点 F 倾斜后，仍以 A 为原点，直线 EF 为 x 轴，直线 AB 为 y 轴，建立平面直角 坐标系，分别用待定系数法求得直线 l 的解析式和直线 GD 的解析式，过点 M 作 MPl 于点 P，用三角 函数求得液面 GD 到平面 l 的距离； 过抛物线最低点 Q 作 QLl， 再将 QL 的解析式与抛物线的解析式联 立，得出关于 x 的一元二次方程，由判别式求得 q，最后用三角函数求得答案 【解答】解：以 A 为原点，直线 EF 为 x 轴，直线 AB 为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图： 由题意得： A（0，0） ，B（0，9） ，C（2，21） ，D（2，21） ，

26、设抛物线的解析式为：yax2+9， 将 D（2，21）代入得： 21a+9， 解得：a1， yx2+9 将高脚杯绕点 F 倾斜后， 仍以 A 为原点， 直线 EF 为 x 轴， 直线 AB 为 y 轴， 建立平面直角坐标系， 如图： 由题意得： A（0，0） ，F（，0） ，E（，0） ，B（0，9） ，C（2，21） ，D（2，21） ， 由题可知，直线 l 与 x 轴的夹角为 30，GDl， l 经过点 F（，0） ，且EFH30， 设直线 l 的解析式为：yx+b， 将 F（，0）代入，解得 b1， yx1， 又GDl， kGDkl， 设直线 GD 的解析式为 yx+p， 将 D（2，2

27、1）代入，解得 p19， yx+19， M（0，19） ，N（0，1） ， 过点 M 作 MPl 于点 P， EFH30，FAN90， ANF60， MPMNsin60 19（1） 10 过抛物线最低点 Q 作 QLl，L 为 QL 于 MP 的交点， 设直线 QL 的解析式为 yx+q， 由得： x2x+9q0， 只有一个交点 Q， 0， 4（9q）0， q， ML（19）sin60 故答案为：10， 三解答题三解答题 17解方程： （1）x22x50； （2） （x+1）2（x21）0 【分析】 （1）利用配方法求解可得答案； （2）利用因式分解法求解可得答案 【解答】解： （1）x22x

28、50， （x1）26， 则 x1， x， 即 x1，x2； （2）（x+1）2（x21）0 （x+1）2（x1） （x+1）0， （x+1） （32x）0， 则 x+10 或 32x0， 解得 x11，x2 18已知 x1 是一元二次方程 x2+ax+b0 的一个根，求 a2+b22ab2 的值 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x1 代入关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b0，求得 ab 1；然后整体代入求值 【解答】解：x1 是一元二次方程 x2+ax+b0 的一个根， ab1 a2+b22ab2 （ab）22 1 19已知二次函数 y（x1）2 （1）完成下表： x 3 2 1

29、 0 1 2 3 4 y 8 2 0 2 （2）在坐标系中描点，画出该二次函数的图象 （3）根据图象回答问题： 方程 y（x1）2的解是 x10，x22 ； 当 x 取 1 时，y0； 当 x 取 1 时，y 有最大值 【分析】 （1）选取合适的 x 的值，求出对应的 y 的值即可完成表格， ； （2）利用描点法画出函数图象； （3）根据图象即可求得 【解答】解： （1）完成表格如下： x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 8 2 0 2 （2）描点，画出该二次函数图象如下： ； （3）由图象可知：方程 y（x1）2的解是 x10，x22， 故答案为 x10，x22； 当 x 取1 时，y0

30、； 故答案为1； 当 x 取 1 时，y 有最大值 故答案为 1 20如图所示的平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，2） ，B（1，3） ，C（1，1） ， 请按如下要求画图： （1）以坐标原点 O 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转 90，得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）ABC 以 x 轴为对称轴的对称图形为A2B2C2，请画出A2B2C2； （3）请同学观察画出的A1B1C1和A2B2C2图形，写出它们的一种对称关系（若中心对称，请写出或 画出对称中心位置，若轴对称，请写出或画出对称轴） 【分析】 （1）分别作出点 A、B、C 绕点 O 顺时针旋转 90得到

31、的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出点 A、B、C 关于 x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）结合图形可得A1B1C1和A2B2C2图形关于直线 yx 对称 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求 （2）如图所示，A2B2C2即为所求 （3）A1B1C1和A2B2C2图形关于直线 yx 对称 21网店店主小李进了一批某种商品，每件进价 10 元预售一段时间后发现：每天销售量 y（件）与售价 x （元/件）之间成一次函数关系：y2x+60 （1）小李想每天赚取利润 150 元，又要使所进的货尽快脱手，则售价定为多少合适？ （2）小李想每天赚取利润 300 元这个想法

32、能实现吗？为什么？ 【分析】 （1）由题意得，每天销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价） 销售量，从而列出关系式； （2）利用利润（定价进价）销售量列出方程，解方程即可 【解答】解： （1）由题意得出： （x10）y150，即（x10） （2x+60）150 整理，得2x2+80 x600150； 解得 x115，x225 使所进的货尽快脱手， x115 符合题意 答：售价定为 15 元合适； （2）由题意，知（x10） （2x+60）300， 整理，得 x240 x+4500 160018002000， 该方程无解不能完成任务 22如图，点 M，N 分别在正方形 AB

33、CD 的边 BC，CD 上，且MAN45把ADN 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABE （1）求证：AEMANM （2）若 BM3，DN2，求正方形 ABCD 的边长 【分析】 （1）想办法证明MAEMAN45，根据 SAS 证明三角形全等即可 （2） 设 CDBCx， 则 CMx3， CNx2， 在 RtMCN 中， 利用勾股定理构建方程即可解决问题 【解答】 （1）证明：由旋转的性质得，ADNABE， DANBAE，AEAN，DABE90， ABC+ABE90， 点 E，点 B，点 C 三点共线， DAB90，MAN45， MAEBAE+BAMDAN+BAM45， MAEMAN， MAMA

34、， AEMANM（SAS） （2）解：设 CDBCx，则 CMx3，CNx2， AEMANM， EMMN， BEDN， MNBM+DN5， C90， MN2CM2+CN2， 25（x2）2+（x3）2， 解得，x6 或1（舍弃） ， 正方形 ABCD 的边长为 6 23跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距 AB 为 6 米，到地 面的距离 AO 和 BD 均为 0.9 米， 身高为 1.4 米的小丽站在距点 O 的水平距离为 1 米的点 F 处，绳子甩到 最高处时刚好通过她的头顶点 E以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式 为 ya

35、x2+bx+0.9 （1）求该抛物线的解析式 （2）如果小华站在 OD 之间，且离点 O 的距离为 3 米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶上方 0.4 米处，求小华的身高是多少？此时小华若向点 O 方向走多少米，就能让绳子甩到最高处时，绳子刚好通 过他的头顶 （3）如果有若干个与小华同身高的同学一起站在 OD 之间玩跳绳，现知只要绳子甩到最高处时超过她们 的头顶且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于 0.55 米就可以一起玩，问最多可以几个同学一起 玩 【分析】 （1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点 E（1，1.4） ，B（6，0.9）坐标 代入即可； （2） 小

36、华站在 OD 之间， 且离点 O 的距离为 3 米， 即 OF3， 求当 x3 时的函数值即可得出小华身高； 将 y1.4 代入解析式求出 x 的值，再减去 1 即可得出答案； （3）求出 y1.4 时 x 的值，再用两者之间的差除以 0.55，取整得出答案 【解答】解： （1）由题意得把点 E（1，1.4） ，B（6，0.9） ，代入 yax2+bx+0.9 得， ， 解得， 所求的抛物线的解析式是 y0.1x2+0.6x+0.9； （2）把 x3 代入 y0.1x2+0.6x+0.9 得：y0.132+0.63+0.91.8； 1.80.41.4（米） ， 小华的身高是 1.4 米； 把

37、y1.4 代入 y0.1x 2+0.6x+0.9 得0.1x2+0.6x+0.91.4， 解得：x11，x25（舍） ， 则 312（米） ， 此时小华向点 O 方向走 2 米就能让绳子甩到最高处时绳子刚好通过他的头顶 （3）当 y1.4 时，0.1x2+0.6x+0.91.4， 解得 x11，x25， 514， 40.557.27， 最多可以 8 个同学一起玩 24旋转与等腰直角三角形、正方形：把共顶点的一个等腰直角三角形和正方形中的一个绕一点旋转到一 定位置，探究图形的几何性质，为我们提供一个动态的数学环境 已知等腰直角三角形 ABC 和正方形 BDEF 有一个公共的顶点 B，ABBD （

38、1）如图 1，AF 与 CD 的数量关系为 AFCD ，位置关系为 AFCD ； （2）将正方形 BDEF 绕着点 B 顺时针旋转 角（0360） ， 如图 2，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由 若 AB4，BD2，当正方形 BDEF 绕着点 B 顺时针旋转到点 A、D、F 三点共线时，连接 CD， 则 CD 的长度为 2+2 或 22 ； （在备用图中补全图形求解） 如图 3，若 BC，AC4AD，当正方形 BDEF 绕着点 B 顺时针旋转，当点 D 在 AC 上时，延长 CB 交 AF 的延长线于点 G，连接 GE，则 GE 的长度为 【分析】 （1）先证ABFCBD（SAS） ，

39、得 AFCD，BAFBCD，再证出CHF90，即可 得出 AFCD； （2） 设 AF 交 BC 于点 M， 交 CD 于点 N， 先证ABFCBD （SAS） ， 得 AFCD， FABDCB， 再证出CNMABM90，即可得出 AFCD； 分两种情况，连接 BE 交 DF 于 O，求出 DFBEBD4，OBODOFDF2，再由勾股 定理求出 AO2，分别求出 AF，即可得出答案； 过 B 作 BHAC 于 H， 过 E 作 EMDA 于 M， ENAF 于 N， 则 BHAHAC2， BHDDME 90，证DMEBHD（AAS） ，得 DMBH2，EMDH1，再证矩形 AMEN 是正方形，

40、得 AN ENAM1，然后证BFGBDA（ASA） ，得 GFAD1，则 AGAF+GF4，求出 GNAG AN3，由勾股定理即可得出答案 【解答】解： （1）AF 与 CD 的数量关系为：AFCD，位置关系为：AFCD，理由如下： 延长 AF 交 CD 于 H，如图 1 所示： 等腰直角三角形 ABC 和正方形 BDEF 有一个公共的顶点 B， ABCB，BFBD，ABFCBD90， BAF+AFB90， 在ABF 和CBD 中 ， ABFCBD（SAS） ， AFCD，BAFBCD， CFHAFB， BCD+CFHBAF+AFB90， CHF90， AFCD； 故答案为：AFCD，AFCD

41、； （2）第（1）问的结论仍然成立，理由如下： 设 AF 交 BC 于点 M，交 CD 于点 N，如图 2 所示： ABC 是等腰直角三角形， ABBC，ABC90， 四边形 BDEF 是正方形， BDBF，FBD90， ABC+CBFFBD+CBF， 即ABFDBC， ABFCBD（SAS） ， AFCD，FABDCB， AMBNMC， CNMABM90， AFCD； 分两种情况： a、如图 4 所示：连接 BE 交 DF 于 O， 四边形 BDEF 是正方形， BDDEEF，BEDF，DEF90，OBOEODOF， DFBEBD24，OBODOFDF2， AO2， AFAO+OF2+2，

42、由（1）得：AFCD， CD2+2； b、如图 5 所示：连接 BE 交 DF 于 O， 同上得：OBODOFDF2， AO2， AFAOOF22， 由（1）得：AFCD， CD22； 综上所述，当正方形 BDEF 绕着点 B 顺时针旋转到点 A、D、F 三点共线时，则 CD 的长度为 2+2 或 22； 故答案为：2+2 或 22； ABC 是等腰直角三角形，ABC90， ACBC24， AC4AD， ADAC1， 过 B 作 BHAC 于 H，过 E 作 EMDA 于 M，ENAF 于 N，如图 3 所示： 则 BHAHAC2，BHDDME90，四边形 AMEN 是矩形， DHAHAD1， 四边形 BDEF 是正方形， DEBDBF，DBFBDE90， BDH+EDMBDH+DBH90， EDMDBH， DMEBHD（AAS） ， DMBH2，EMDH1， AMDMAD1， AMEM， 矩形 AMEN 是正方形， ANENAM1， 由得：ABFCBD（SAS） ， AFCDACAD3，AFBCDB， BFGBDA， ABG1809090， ABGDBF， FBGDBA， BFGBDA（ASA） ， GFAD1， AGAF+GF4， GNAGAN3， 在 RtGEN 中，由勾股定理得：GE， 故答案为：