2021年中考数学一轮复习《勾股定理的应用》自主复习达标测评（含答案）

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1、中考一轮复习勾股定理的应用自主复习达标测评中考一轮复习勾股定理的应用自主复习达标测评 1为了打造“绿洲” ，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知 AB10 米，BC15 米，B150，这种草皮每平方米售价 2a 元，则购买这种草皮需（ ）元 A75a B50a Ca D150a 2一根旗杆在离地面 3 米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 4 米处，旗杆折断之前的高度是（ ） A5 米 B7 米 C8 米 D9 米 3一架长 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为 6m若梯子顶端下滑 1m，那么梯子底端在水平 方向上滑动了（ ） A1m B小于 1m C大于 1m D无法

2、确定 4如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边 AC6m，BC8m，考虑到这块绿地周围还有足 够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 BC 为一直角边的直角三角 形，则扩充方案共有（ ） A2 种 B3 种 C4 种 D5 种 5如图，甲船以 20 海里/时的速度从港口 O 出发向西北方向航行，乙船以 15 海里/时的速度同时从港口 O 出发向东北方向航行，则 2 小时后，两船相距（ ） A40 海里 B45 海里 C50 海里 D55 海里 6如图，有两棵树分别用线段 AB 和 CD 表示，树高 AB15 米，CD7 米，两树间的距离 BD6 米，一 只

3、鸟从一棵树的树梢（点 A）飞到另一棵树的树梢（点 C） ，则这只鸟飞行的最短距离 AC（ ） A6 米 B8 米 C10 米 D12 米 7如图所示，一棵大树在离地面 9 米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部 12 米处这棵大树在折断之前 是 米 8将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm、高为 12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为 hcm，则 h 的最小值 ，h 的最大值 9 九章算术 中有一道 “引葭赴岸” 问题： “仅有池一丈， 葭生其中央， 出水一尺， 引葭赴岸， 适与岸齐 问 水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为 10 尺的正方形，一棵芦苇 A

4、B 生长在它的 中央，高出水面部分 BC 为 1 尺如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B 恰好 碰到岸边的 B（示意图如图，则水深为 尺 10如图，在离水面高度为 8 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为 17 米，几分钟后船 到达点 D 的位置，此时绳子 CD 的长为 10 米，问船向岸边移动了 米 11 甲、 乙两船同时从港口 A 出发， 甲船以 12 海里/时的速度向北偏东 35航行， 乙船向南偏东 55航行 2 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C、B 两船相距 40 海里，则乙船的速度是 12如图，一棵大树在离地面 3m、5m 两

5、处折成三段，中间一段 AB 恰好与地面平行，大树顶部落在离大树 底部 6m 处，则大树折断前的高度是 13如图，是矗立在高速公路地面上的一块交通警示牌，经测量得知 PA4 米，AB5 米，PAD45， PBC30，则警示牌的高 CD 为 （结果保留小数点后一位） 14如图，已知点 B 在点 A 的北偏东 32，点 C 在点 B 的北偏西 58，CB12，AB9，AC15，则 ABC 的面积为 15如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点 A 处绕着点 O 经过最低点 B最终荡到最高点 C 处，若 AOC90，点 A 与点 B 的高度差 AD1 米，水平距离 BD4 米，则点 C 与点 B 的高

6、度差 CE 为 米 16如图所示，等边ABC 表示一块地，DE，EF 为这块地中的两条路，且点 D 为 AB 的中点，DEAC， EFAB，已知 AE6m，求地块EFC 的周长 17如图所示，一架梯子 AB 斜靠在墙面上，且 AB 的长为 2.5 米 （1）若梯子底端离墙角的距离 OB 为 1.5 米，求这个梯子的顶端 A 距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端 A 下滑 0.5 米到点 A，那么梯子的底端 B 在水平方向滑动的距 离 BB为多少米？ 18如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中 ABAC，由于某种 原因，由 C 到 A 的路

7、现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A、H、B 在同 一条直线上） ，并新修一条路 CH，测得 CB1.5 千米，CH1.2 千米，HB0.9 千米 （1）问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求新路 CH 比原路 CA 少多少千米？ 19 台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力， 如图，有一台风中心沿东西方向 AB 由 A 行驶向 B，已知点 C 为一海港，且点 C 与直线 AB 上的两点 A， B 的距离分别为 AC300km，BC400km，又 AB500km，以台风中心为圆心

8、周围 250km 以内为受影响 区域 （1）求ACB 的度数； （2）海港 C 受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为 20 千米/小时，当台风运动到点 E 处时，海港 C 刚好受到影响，当台风运动到点 F 时，海港 C 刚好不受影响，即 CECF250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 20某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练已知：AB10，BC6，AC8；机器人从 点C 出发， 沿着ABC边按 CBAC 的方向匀速移动到点 C停止； 机器人移动速度为每秒 2个单位， 移动至拐角处调整方向需要 1 秒（即在 B、A 处拐弯时分别用时 1 秒） 设机器人所用时间为 t

9、 秒时，其 所在位置用点 P 表示（机器人大小不计） （1）点 C 到 AB 边的距离是 ； （2）是否存在这样的时刻，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 21某中学 A，B 两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ABCD，学校为了绿化环境，计划在空地上 种植花草，经测量ABC90，AB20 米，BC15 米，CD7 米，AD24 米 （1）求出四边形空地 ABCD 的面积； （2）若每种植 1 平方米的花草需要投入 120 元，求学校共需投入多少元 22如图，距沿海某城市 A 正南 220 千米的 B 处，有一台风中心，其最大风力为 12 级，每远离台风

10、中心 20 千米，风力就减弱 1 级，该中心正以每小时 15 千米的速度沿北偏东 30的 BC 方向移动，且风力不 变，若城市 A 所受风力达到或超过 4 级，则称为受台风影响 （1）A 城市是否会受台风影响？为什么？ （2）若会，将持续多长时间？ （3）该城市受台风影响的最大风力为几级？ 23如图，BF，CG 分别是ABC 的高线，点 D，E 分别是 BC，GF 的中点，连结 DF，DG，DE （1）求证：DFG 是等腰三角形； （2）若 BC10，FG6，求 DE 的长 24在 RtABC 中，BAC90，ABAC2，ADBC 于点 D （1）如图 1 所示，点 M，N 分别在线段 AD，

11、AB 上，且BMN90，当AMN30时，求线段 AM 的长； （2）如图 2，点 M 在线段 AD 的延长线上，点 N 在线段 AC 上， （1）中其他条件不变 线段 AM 的长为 ； 求线段 AN 的长 参考答案参考答案 1解：如图，作 BA 边的高 CD，设与 AB 的延长线交于点 D， ABC150， DBC30， CDBD，BC15 米， CD7.5 米， AB10 米， SABCABCD107.537.5（平方米） ， 每平方米售价 2a 元， 购买这种草皮至少为 37.52a75a（元） ， 故选：A 2解：如图，由题意，ACBC，AC3 米，BC4 米，旗杆折断之前的高度高度就是

12、 AC+AB 在 RtACB 中，C90，AC3 米，BC4 米， AB（米） ， 旗杆折断之前的高度高度AC+AB3+58（米） ， 故选：C 3解：在ABC 中，ACB90，AB10 米，BC6 米，由勾股定理得 AC8 米， A1BC1中，C90，A1B110 米，B1C7 米，由勾股定理得 A1C米， AB1ACB1C（8）米 ， ， 梯子底端在水平方向上滑动了小于 1m， 故选：B 4解：如图 1 所示：ABBD， 如图 2 所示：ABAD， 如图 3 所示：BDAD， 故选：B 5解： 两船行驶的方向是西北方向和东北方向， BOC90， 两小时后，两艘船分别行驶了 20240 海里

13、，15230 海里， 根据勾股定理得：50（海里） 故选：C 6解：如图，设大树高为 AB15m， 小树高为 CD7m， 过 C 点作 CEAB 于 E，则 EBDC 是矩形， 连接 AC， EB7m，EC6m，AEABEB1578（m） ， 在 RtAEC 中，AC10m， 故小鸟至少飞行 10m 故选：C 7解：因为 AB9 米，AC12 米， 根据勾股定理得 BC15（米） ， 于是折断前树的高度是 15+924（米） 故答案为：24 8解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h最大241212（cm） 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小， 此时，在杯子内部分13（cm） ， 故 h

14、241311（cm） 故 h 的取值范围是 11h12cm 故答案为：11cm；12cm 9解：依题意画出图形，设芦苇长 ABABx 尺，则水深 AC（x1）尺， 因为 BE10 尺，所以 BC5 尺 在 RtABC 中，52+（x1）2x2， 解之得 x13， 即水深 12 尺，芦苇长 13 尺 故答案为：12 10解：在 RtABC 中： CAB90，BC17 米，AC8 米， AB15（米） ， CD10（米） ， AD6（米） ， BDABAD1569（米） ， 答：船向岸边移动了 9 米， 故答案为：9 11解：甲的速度是 12 海里/时，时间是 2 小时， AC24 海里 EAC3

15、5，FAB55， CAB90 BC40 海里， AB32 海里 乙船也用 2 小时， 乙船的速度是 16 海里/时 故答案为：16 海里/时 12解：如图，作 BEDC 于点 E， 由题意得：ADBE3m，ABDE2m， DC6m， EC4m， 由勾股定理得：BC5（m） ， 大树的高度为 5+510（m） ， 故答案为：10m 13解：PAD45，DPA90， PDA45， DPAP4m， PBC30，AB8 米， tan30， 解得：DC（34）m1.2（米） ， 答：警示牌的高 CD 为 1.2 米 故答案为：1.2（米） 14解：CB12，AB9，AC15， AC2CB2+AB2， A

16、BC 是直角三角形， ABC 的面积， 故答案为：54 15解：作 AFBO 于 F，CGBO 于 G， AOCAOF+COG90， AOF+OAF90， COGOAF， 在AOF 与OCG 中， ， AOFOCG（AAS） ， OGAFBD4 米， 设 AOx 米， 在 RtAFO 中，AF2+OF2AO2，即 42+（x1）2x2， 解得 x8.5 则 CEGBOBOG8.544.5（米） 故答案为：4.5 16解：ABC 是等边三角形， A60， DEAC， ADE30， AD2AE12（cm） ， 点 D 为 AB 中点， AB2AD24（cm） ， ACBCAB24（cm） ， EC

17、ACAE24618（cm） ， EFAB， CEFA60，EFCB60， EFC 是等边三角形， EFC 的周长18354（cm） 17解： （1）根据勾股定理： 所以梯子距离地面的高度为：AO（米） ； （2）梯子下滑了 0.5 米即梯子距离地面的高度为 OA（20.5）1.5（米） ， 根据勾股定理：OB2（米） ， 所以当梯子的顶端下滑 0.5 米时，梯子的底端水平后移了 21.50.5（米） ， 答：当梯子的顶端下滑 0.5 米时，梯子的底端水平后移了 0.5 米 18解： （1）是， 理由是：在CHB 中， CH2+BH2（1.2）2+（0.9）22.25， BC22.25， CH2

18、+BH2BC2， CHAB， 所以 CH 是从村庄 C 到河边的最近路； （2）设 ACx 千米， 在 RtACH 中，由已知得 ACx，AHx0.9，CH1.2， 由勾股定理得：AC2AH2+CH2 x2（x0.9）2+（1.2）2， 解这个方程，得 x1.25， 1.251.20.05（千米） 答：新路 CH 比原路 CA 少 0.05 千米 19解： （1）AC300km，BC400km，AB500km， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，ACB90； （2）海港 C 受台风影响， 理由：过点 C 作 CDAB， ABC 是直角三角形， ACBCCDAB， 300400500

19、CD， CD240（km） ， 以台风中心为圆心周围 250km 以内为受影响区域， 海港 C 受台风影响； （3）当 EC250km，FC250km 时，正好影响 C 港口， ED70（km） ， EF140km， 台风的速度为 20 千米/小时， 140207（小时） 答：台风影响该海港持续的时间为 7 小时 20解： （1）AB10，BC6，AC8， 62+82102， AB2BC2+AC2， ABC 是直角三角形， 点 C 到 AB 边的距离； （2）使PBC 为等腰三角形时，P 在 AB 上时， BCBP， BP2（t1）6， 2（t1）66， 解得：t7（s） ； CBCP， 可得

20、：， 解得：t7.6（s） ； PBCP， 2t8， 解得：t6.5（s） ； 当 P 在 AC 上，CBCP， 82（t2）166， 解得：t11（s） 综上所述，t 的值为 7 或 7.6 或 6.5 或 11 秒 故答案为： （1）4.8 21解： （1）连接 AC 在 RtABC 中，因为ABC90，AB20，BC15， 所以 AC25（米） 在ADC 中，因为 CD7，AD24，AC25， 所以 AD2+CD2242+72625AC2 所以ADC 是直角三角形，且ADC90 所以 S四边形ABCDSABC+SADC1520+724234（平方米） 所以四边形空地 ABCD 的面积为

21、234 平方米 （2）12023428 080（元） 所以学校共需投入 28 080 元 22解： （1）该城市会受到这次台风的影响 理由是：如图，过 A 作 ADBC 于 D在 RtABD 中， ABD30，AB220， ， 城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响， 受台风影响范围的半径为 20（124）160 110160， 该城市会受到这次台风的影响 （2）如图以 A 为圆心，160 为半径作A 交 BC 于 E、F 则 AEAF160 台风影响该市持续的路程为：EF2DE260 台风影响该市的持续时间 t60154（小时） （3）AD 距台风中心最近， 该城市受到这次台风最大风力

22、为：12（11020）6.5（级） 23 （1）证明：BF，CG 分别是ABC 的高线， BFAC，CGAB，且点 D 为 BC 的中点， DFBC，DGBC， DFDG， DFG 是等腰三角形； （2）解：由（1）知，DFDGBC5 点 E 为 GF 的中点，FG6， EFGF3，且 DGGF， 在直角DEF 中，由勾股定理知，DE4 24解： （1）BAC90，ABAC，ADBC， ABCACB45，BADCAD45， ABCBADCADACB45， ， 在 RtABC 中，BAC90，ABAC2， 根据勾股定理， ， AMN30，BMN90， BMD180903060， MBD30， B

23、M2DM， 在 RtBDM 中，BDM90， 由勾股定理得，BM2DM2BD2， 即， 解得， ； （2）BAC90，ABAC，ADBC， ABCACB45，BADCAD45， ABCBADCADACB45， ， 在 RtABC 中，BAC90，ABAC2， 根据勾股定理， ， AMN30，BMN90， BMD180903060， MBD30， BM2DM， 在 RtBDM 中，BDM90， 由勾股定理得，BM2DM2BD2， 即， 解得， AMAD+DM； 故答案为：； 如图 2，过点 M 作 MEBC 交 AB 的延长线于点 E， ADBC， ADB90， AMEADB90， E45BAD， MEMA，ECAD45， AMN30，BMN90，AME90， BME30AMN， BMENMA（ASA） ， BEAN， 在 RtAME 中，AME90， 由， 根据勾股定理， ANBEAEAB